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TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill BARDOUSSE Yanis}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (5x - 2)(- 10x - 2)$
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\item $g(x) = (- 9x - 2)^{2}$
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\item $h(x) = 8 + x(- 2x - 1)$
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\item $i(x) = - 10x^{2} + x(- 5x + 4)$
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\item $j(x) = - 9(x - 1)(x - 7)$
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\item $k(x) = - 10(x + 7)(x + 9)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (5x - 2)(- 10x - 2)\\&= 5x \times - 10x + 5x(- 2) - 2 \times - 10x - 2(- 2)\\&= 5(- 10) \times x^{1 + 1} - 2 \times 5 \times x - 2(- 10) \times x + 4\\&= - 10x + 20x - 50x^{2} + 4\\&= (- 10 + 20) \times x - 50x^{2} + 4\\&= - 50x^{2} + 10x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 50$, $b = 10$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 9x - 2)^{2}\\&= (- 9x - 2)(- 9x - 2)\\&= - 9x \times - 9x - 9x(- 2) - 2 \times - 9x - 2(- 2)\\&= - 9(- 9) \times x^{1 + 1} - 2(- 9) \times x - 2(- 9) \times x + 4\\&= 18x + 18x + 81x^{2} + 4\\&= (18 + 18) \times x + 81x^{2} + 4\\&= 81x^{2} + 36x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = 36$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 8 + x(- 2x - 1)\\&= 8 + x \times - 2x + x(- 1)\\&= - 2x^{2} - x + 8
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 2$, $b = - 1$ et $c = 8$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 10x^{2} + x(- 5x + 4)\\&= - 10x^{2} + x \times - 5x + x \times 4\\&= - 10x^{2} - 5x^{2} + 4x\\&= - 10x^{2} - 5x^{2} + 4x\\&= (- 10 - 5) \times x^{2} + 4x\\&= - 15x^{2} + 4x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 15$, $b = 4$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 9(x - 1)(x - 7)\\&= (- 9x - 9(- 1))(x - 7)\\&= (- 9x + 9)(x - 7)\\&= - 9x \times x - 9x(- 7) + 9x + 9(- 7)\\&= - 7(- 9) \times x - 63 - 9x^{2} + 9x\\&= 63x - 63 - 9x^{2} + 9x\\&= - 9x^{2} + 63x + 9x - 63\\&= - 9x^{2} + (63 + 9) \times x - 63\\&= - 9x^{2} + 72x - 63
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 72$ et $c = - 63$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 10(x + 7)(x + 9)\\&= (- 10x - 10 \times 7)(x + 9)\\&= (- 10x - 70)(x + 9)\\&= - 10x \times x - 10x \times 9 - 70x - 70 \times 9\\&= 9(- 10) \times x - 630 - 10x^{2} - 70x\\&= - 90x - 630 - 10x^{2} - 70x\\&= - 10x^{2} - 90x - 70x - 630\\&= - 10x^{2} + (- 90 - 70) \times x - 630\\&= - 10x^{2} - 160x - 630
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 160$ et $c = - 630$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 7x^{2} - 77x + 168$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 7 \times 1^{2} - 77 \times 1 + 168=7 \times 1 - 77 + 168=7 + 91=98
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\]
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\[
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f(-1) = 7 \times - 1^{2} - 77(- 1) + 168=7 \times 1 + 77 + 168=7 + 245=252
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 14x - 77
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 34m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(34 - 2x) = - 2x^{2} + 34x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 34x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 34$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 34 & \geq 0 \\
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- 4x + 34 + - 34 &\geq 0 + - 34 \\
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- 4x &\geq - 34 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 34}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{17}{2} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{17}{2}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{17}{2}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{17}{2}) = \dfrac{578}{4}$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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