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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill TODESCHINI Alissa}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 8x - 2)(- 7x - 2)$
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\item $g(x) = (6x + 5)^{2}$
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\item $h(x) = - 4 + x(6x - 1)$
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\item $i(x) = - 7x^{2} + x(- 6x - 3)$
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\item $j(x) = - 9(x - 4)(x - 4)$
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\item $k(x) = 8(x - 2)(x - 4)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 8x - 2)(- 7x - 2)\\&= - 8x \times - 7x - 8x(- 2) - 2 \times - 7x - 2(- 2)\\&= - 8(- 7) \times x^{1 + 1} - 2(- 8) \times x - 2(- 7) \times x + 4\\&= 16x + 14x + 56x^{2} + 4\\&= (16 + 14) \times x + 56x^{2} + 4\\&= 56x^{2} + 30x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 56$, $b = 30$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (6x + 5)^{2}\\&= (6x + 5)(6x + 5)\\&= 6x \times 6x + 6x \times 5 + 5 \times 6x + 5 \times 5\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} + 5 \times 6 \times x + 5 \times 6 \times x + 25\\&= 30x + 30x + 36x^{2} + 25\\&= (30 + 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} + 60x + 25
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = 60$ et $c = 25$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= - 4 + x(6x - 1)\\&= - 4 + x \times 6x + x(- 1)\\&= 6x^{2} - x - 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 1$ et $c = - 4$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 7x^{2} + x(- 6x - 3)\\&= - 7x^{2} + x \times - 6x + x(- 3)\\&= - 7x^{2} - 6x^{2} - 3x\\&= - 7x^{2} - 6x^{2} - 3x\\&= (- 7 - 6) \times x^{2} - 3x\\&= - 13x^{2} - 3x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 13$, $b = - 3$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 9(x - 4)(x - 4)\\&= (- 9x - 9(- 4))(x - 4)\\&= (- 9x + 36)(x - 4)\\&= - 9x \times x - 9x(- 4) + 36x + 36(- 4)\\&= - 4(- 9) \times x - 144 - 9x^{2} + 36x\\&= 36x - 144 - 9x^{2} + 36x\\&= - 9x^{2} + 36x + 36x - 144\\&= - 9x^{2} + (36 + 36) \times x - 144\\&= - 9x^{2} + 72x - 144
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 72$ et $c = - 144$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 8(x - 2)(x - 4)\\&= (8x + 8(- 2))(x - 4)\\&= (8x - 16)(x - 4)\\&= 8x \times x + 8x(- 4) - 16x - 16(- 4)\\&= - 4 \times 8 \times x + 64 + 8x^{2} - 16x\\&= - 32x + 64 + 8x^{2} - 16x\\&= 8x^{2} - 32x - 16x + 64\\&= 8x^{2} + (- 32 - 16) \times x + 64\\&= 8x^{2} - 48x + 64
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 48$ et $c = 64$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 2x^{2} - 162$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 2 \times 1^{2} - 162=2 \times 1 - 162=2 - 162=- 160
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\]
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\[
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|
f(-1) = 2 \times - 1^{2} - 162=2 \times 1 - 162=2 - 162=- 160
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 4x
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 37 & \geq 0 \\
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- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
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- 4x &\geq - 37 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{37}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
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|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
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|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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