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TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill YANIK Azra}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 9x + 7)(- 5x + 7)$
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\item $g(x) = (6x - 5)^{2}$
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\item $h(x) = - 8 + x(- 3x - 7)$
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\item $i(x) = - 3x^{2} + x(- 3x + 3)$
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\item $j(x) = 4(x - 3)(x - 1)$
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\item $k(x) = - 6(x + 8)(x + 4)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 9x + 7)(- 5x + 7)\\&= - 9x \times - 5x - 9x \times 7 + 7 \times - 5x + 7 \times 7\\&= - 9(- 5) \times x^{1 + 1} + 7(- 9) \times x + 7(- 5) \times x + 49\\&= - 63x - 35x + 45x^{2} + 49\\&= (- 63 - 35) \times x + 45x^{2} + 49\\&= 45x^{2} - 98x + 49
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 45$, $b = - 98$ et $c = 49$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (6x - 5)^{2}\\&= (6x - 5)(6x - 5)\\&= 6x \times 6x + 6x(- 5) - 5 \times 6x - 5(- 5)\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} - 5 \times 6 \times x - 5 \times 6 \times x + 25\\&= - 30x - 30x + 36x^{2} + 25\\&= (- 30 - 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} - 60x + 25
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 60$ et $c = 25$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= - 8 + x(- 3x - 7)\\&= - 8 + x \times - 3x + x(- 7)\\&= - 3x^{2} - 7x - 8
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = - 7$ et $c = - 8$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 3x^{2} + x(- 3x + 3)\\&= - 3x^{2} + x \times - 3x + x \times 3\\&= - 3x^{2} - 3x^{2} + 3x\\&= - 3x^{2} - 3x^{2} + 3x\\&= (- 3 - 3) \times x^{2} + 3x\\&= - 6x^{2} + 3x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = 3$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 4(x - 3)(x - 1)\\&= (4x + 4(- 3))(x - 1)\\&= (4x - 12)(x - 1)\\&= 4x \times x + 4x(- 1) - 12x - 12(- 1)\\&= - 1 \times 4 \times x + 12 + 4x^{2} - 12x\\&= - 4x + 12 + 4x^{2} - 12x\\&= 4x^{2} - 4x - 12x + 12\\&= 4x^{2} + (- 4 - 12) \times x + 12\\&= 4x^{2} - 16x + 12
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 16$ et $c = 12$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 6(x + 8)(x + 4)\\&= (- 6x - 6 \times 8)(x + 4)\\&= (- 6x - 48)(x + 4)\\&= - 6x \times x - 6x \times 4 - 48x - 48 \times 4\\&= 4(- 6) \times x - 192 - 6x^{2} - 48x\\&= - 24x - 192 - 6x^{2} - 48x\\&= - 6x^{2} - 24x - 48x - 192\\&= - 6x^{2} + (- 24 - 48) \times x - 192\\&= - 6x^{2} - 72x - 192
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 72$ et $c = - 192$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = - 2x^{2} - 32x - 120$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = - 2 \times 1^{2} - 32 \times 1 - 120=- 2 \times 1 - 32 - 120=- 2 - 152=- 154
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\]
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\[
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f(-1) = - 2 \times - 1^{2} - 32(- 1) - 120=- 2 \times 1 + 32 - 120=- 2 - 88=- 90
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = - 4x - 32
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 30m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(30 - 2x) = - 2x^{2} + 30x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 30x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 30$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 30 & \geq 0 \\
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- 4x + 30 + - 30 &\geq 0 + - 30 \\
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- 4x &\geq - 30 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 30}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{15}{2} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{2}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{2}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{2}) = \dfrac{450}{4}$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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