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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
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\date{avril 2022}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{3}
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\section{Colinéarité et déterminant}
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\begin{definition}[Colinéarité]
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Soit $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs non nuls.
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S'il existe un nombre $k$ tel que $\vect{u} = k \vect{v}$ on dira alors que $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont \textbf{colinéaires}.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
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\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
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\draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (3, 3);
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\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above] {$\vect{v}$} (5, 3);
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\draw [->, very thick] (4, 5) -- node [midway, above] {$\vect{w}$} (2, 4);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{definition}
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\paragraph{Exemples}
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\begin{itemize}
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\item Dans l'illustration précédentes, $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ sont colinéaires car
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\\
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\item $\vect{u}\,\vectCoord{2}{5}$ et $\vect{v}\, \vectCoord{-10}{-25}$ sont colinéaires car
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\\
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\item $\vect{u}\,\vectCoord{2}{5}$ et $\vect{v}\, \vectCoord{4}{15}$ ne sont pas colinéaires car
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\\
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\end{itemize}
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\begin{definition}[ Déterminant ]
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On appelle \textbf{déterminant} des vecteurs $\vect{u}\; \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{x_v}{y_v}$ le nombre
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\[
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det(\vect{u}, \vect{v}) = x_u\times y_v - x_v\times y_u
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\]
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Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si $det(\vect{u}, \vect{v}) = 0$.
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\end{definition}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{propriete}[ Parallélisme ]
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Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires.
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple}: Soient $A(0; 0)$, $B(1; 1)$, $C(3; 5)$ et $D(5; 7)$. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles.
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\\[1cm]
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\begin{propriete}[ Allignement ]
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Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires.
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple}: Soient $A(4; 2)$, $B(10; -5)$ et $C(-8; 16)$. Démontrer que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
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\\[1cm]
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\end{multicols}
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\afaire{compléter les explications}
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\end{document}
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