Feat(2nd): import chapitre sur coordonnées de vecteurs
continuous-integration/drone/push Build is passing
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continuous-integration/drone/push Build is passing
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e861bf2827
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f5f8893d1d
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
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\date{mai 2023}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Coordonnées de vecteurs}
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\begin{definition}[Coordonnées de vecteur]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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On se place dans un repère $(O, \vect{i}, \vect{j})$, alors les coordonnées du vecteur $\vect{u}$ sont notées $\vectCoord{x}{y}$ où
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\begin{itemize}
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\item $x$ correspond au déplacement de $\vect{u}$ dans la direction $\vect{i}$.
|
||||
\item $y$ correspond au déplacement de $\vect{u}$ dans la direction $\vect{j}$.
|
||||
\end{itemize}
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||||
On note aussi
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\[
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\vect{u} = x \vect{i} + y \vect{j}
|
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
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\draw [->, very thick] (4, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (1, 4);
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||||
\draw [->, thick] (4, 2) -- node [midway, below] {$x$} (1, 2);
|
||||
\draw [->, thick] (1, 2) -- node [midway, left] {$y$} (1, 4);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{minipage}
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||||
\end{definition}
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\paragraph{Exemples}:~
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
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||||
\draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (4, 3);
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||||
\draw (4, 2) node {x} node [below right] {$A$};
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||||
\draw (2, 0) node {x} node [below left] {$B$};
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\end{tikzpicture}
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||||
\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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||||
\begin{itemize}
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\item Coordonnée du vecteur $\vect{u}$
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\\[0.5cm]
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||||
\item Coordonnée du vecteur $\vect{OA}$
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\\[0.5cm]
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\item Coordonnée du vecteur $\vect{AB}$
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\\[0.5cm]
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\item Vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $\vectCoord{1}{-4}$
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\afaire{Trouver les coordonnées manquantes et tracer le vecteur $\vect{v}$}
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\begin{propriete}[ Calculer les coordonnées d'un vecteur ]
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On se place dans un repère $(O, \vect{i}, \vect{j})$. On définit deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ du plan.
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||||
Alors les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont (attention l'ordre est important):
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\[
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\vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A}
|
||||
\]
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\end{propriete}
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||||
\paragraph{Exemples}:~
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Soient $A(2; 4)$ et $B(-2; 10)$ calculons les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$
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\vfill
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||||
\afaire{Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$}
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\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,74 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
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\date{mai 2023}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Opération sur les coordonnées de vecteurs}
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\begin{propriete}[Addition de vecteurs]
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||||
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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||||
Soient $\vect{u} \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $\vect{v}\vectCoord{x_v}{y_v}$ deux vecteurs alors
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||||
\[
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||||
\vect{u}+\vect{v} \quad \vectCoord{x_u + x_v}{y_u + y_v}
|
||||
\]
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||||
On peut faire un calcul similaire pour la soustraction de vecteurs.
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\end{minipage}
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||||
\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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||||
\begin{tikzpicture}
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\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
|
||||
\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, below] {$\vect{u}$} (3, 2);
|
||||
\draw [->, very thick] (3, 2) -- node [midway, below] {$\vect{v}$} (4, 4);
|
||||
\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above left] {$\vect{u} + \vect{v}$} (4, 4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{propriete}
|
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||||
\paragraph{Exemple}: Soient 3 vecteurs $\vect{u} \vectCoord{2}{4}$, $\vect{v} \vectCoord{1}{-2}$ et $\vect{w} \vectCoord{-6}{5}$. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $\vect{u} + \vect{v} $
|
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\\[0.5cm]
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||||
\item $\vect{u} + \vect{v} - \vect{w} $
|
||||
\\[0.5cm]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||||
\afaire{compléter les exemples}
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||||
\end{minipage}
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||||
\begin{definition}[Multiplication par un réel]
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||||
Soient $\vect{u}\vectCoord{x}{y}$ un vecteur et $k$ un nombre réel. Alors le vecteur $k\vect{u}$ est le vecteur de coordonnées
|
||||
\[
|
||||
k\vect{v}\quad \vectCoord{kx}{ky}
|
||||
\]
|
||||
On dira alors que $\vect{u}$ et $k\vect{u}$ sont \textbf{colinéaires}.
|
||||
\end{definition}
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||||
\paragraph{Exemple}: On reprend les vecteurs de l'exemple précédent. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
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||||
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $5\vect{u} $
|
||||
\\[0.5cm]
|
||||
\item $\vect{u} + 2\vect{v}$
|
||||
\\[0.5cm]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||||
\afaire{compléter les exemples}
|
||||
\end{minipage}
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\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,38 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
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||||
\date{mai 2023}
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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||||
\section{Norme d'un vecteur}
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||||
\begin{definition}[Norme d'un vecteur]
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||||
La "longueur" d'un vecteur est appelé sa \textbf{norme}.
|
||||
|
||||
Soit $\vect{u} \; \vectCoord{x}{y}$ un vecteur, alors sa norme est
|
||||
\[
|
||||
|| \vect{u}|| = \sqrt{x^2+y^2}
|
||||
\]
|
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|
||||
\end{definition}
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||||
|
||||
\paragraph{Exemple}: Soit $\vect{u} \; \vectCoord{3}{-2}$, la norme de ce vecteur est
|
||||
\\[2cm]
|
||||
\afaire{calculer la norme du vecteur $\vect{u}$}
|
||||
|
||||
\paragraph{Remarque} dans le cas d'un vecteur où l'on connait les extrémités, la norme est la distance entre les extrémités.
|
||||
|
||||
Ainsi si on a $A(2; 4)$ et $B(-2; 1)$ la norme de $\vect{AB}$ est
|
||||
\\[2cm]
|
||||
\afaire{calculer la norme du vecteur $\vect{AB}$ et en déduire la distance $AB$}
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\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,72 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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||||
\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
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||||
\date{avril 2022}
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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\setcounter{section}{3}
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\section{Colinéarité et déterminant}
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||||
\begin{definition}[Colinéarité]
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|
||||
Soit $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs non nuls.
|
||||
|
||||
S'il existe un nombre $k$ tel que $\vect{u} = k \vect{v}$ on dira alors que $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont \textbf{colinéaires}.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
|
||||
\draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (3, 3);
|
||||
\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above] {$\vect{v}$} (5, 3);
|
||||
\draw [->, very thick] (4, 5) -- node [midway, above] {$\vect{w}$} (2, 4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\paragraph{Exemples}
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\begin{itemize}
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||||
\item Dans l'illustration précédentes, $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ sont colinéaires car
|
||||
\\
|
||||
\item $\vect{u}\,\vectCoord{2}{5}$ et $\vect{v}\, \vectCoord{-10}{-25}$ sont colinéaires car
|
||||
\\
|
||||
\item $\vect{u}\,\vectCoord{2}{5}$ et $\vect{v}\, \vectCoord{4}{15}$ ne sont pas colinéaires car
|
||||
\\
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[ Déterminant ]
|
||||
On appelle \textbf{déterminant} des vecteurs $\vect{u}\; \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{x_v}{y_v}$ le nombre
|
||||
\[
|
||||
det(\vect{u}, \vect{v}) = x_u\times y_v - x_v\times y_u
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si $det(\vect{u}, \vect{v}) = 0$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{propriete}[ Parallélisme ]
|
||||
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\paragraph{Exemple}: Soient $A(0; 0)$, $B(1; 1)$, $C(3; 5)$ et $D(5; 7)$. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles.
|
||||
\\[1cm]
|
||||
|
||||
\begin{propriete}[ Allignement ]
|
||||
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\paragraph{Exemple}: Soient $A(4; 2)$, $B(10; -5)$ et $C(-8; 16)$. Démontrer que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
|
||||
\\[1cm]
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\afaire{compléter les explications}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,311 @@
|
|||
\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée et repère}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
\noindent
|
||||
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$.
|
||||
\item Placer les points suivants
|
||||
\[
|
||||
A(2; 4) \qquad B(-2; 3) \qquad C(4; -2) \qquad D(-1; -4)
|
||||
\]
|
||||
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs
|
||||
\[
|
||||
\vect{AB} \qquad
|
||||
\vect{AC} \qquad
|
||||
\vect{AD} \qquad
|
||||
\vect{CD} \qquad
|
||||
\vect{DC} \qquad
|
||||
\vect{BC}
|
||||
\]
|
||||
\item Lire graphiquement les coordonnées des points suivants
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $Z$ image de $A$ par la translation de vecteur $\vect{w}$
|
||||
\item $Y$ image de $B$ par la translation de vecteur $\vect{v}$
|
||||
\item $X$ image de $C$ par la translation de vecteur $\vect{w}$
|
||||
\item $S$ image de $D$ par la translation de vecteur $2\vect{u}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\repereOIJ{-5}{5}{-5}{5}
|
||||
\draw [->, very thick] (-4, 1) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} ++(2, 3);
|
||||
\draw [->, very thick] (2, 4) -- node [midway, above] {$\vect{v}$} ++(2, -1);
|
||||
\draw [->, very thick] (0, 0) -- node [midway, above] {$\vect{w}$} ++(-3, -2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\[
|
||||
\vect{u} = \vectCoord{2}{3} \qquad
|
||||
\vect{v} = \vectCoord{2}{-1} \qquad
|
||||
\vect{w} = \vectCoord{-3}{-2} \qquad
|
||||
\]
|
||||
\item
|
||||
\item
|
||||
\[
|
||||
\vect{AB} = \vectCoord{-4}{-1} \qquad
|
||||
\vect{AC} = \vectCoord{2}{-6} \qquad
|
||||
\vect{AD} = \vectCoord{-3}{-8} \qquad
|
||||
\vect{CD} = \vectCoord{-5}{-2} \qquad
|
||||
\vect{DC} = \vectCoord{5}{2} \qquad
|
||||
\vect{BC} = \vectCoord{-6}{-5} \qquad
|
||||
\]
|
||||
\item
|
||||
\[
|
||||
Z (-1; 2) \qquad
|
||||
Y (0; 2) \qquad
|
||||
X (1; -4) \qquad
|
||||
S (3; 2) \qquad
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Calculs de coordonnées}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
On définit les points suivants
|
||||
\[
|
||||
A(2; 4) \qquad
|
||||
B(5; 1) \qquad
|
||||
C(-6; -3) \qquad
|
||||
D(1; -6) \qquad
|
||||
E(0; -2) \qquad
|
||||
F(\frac{1}{2}; -2) \qquad
|
||||
G(\frac{1}{4}; \frac{2}{3}) \qquad
|
||||
\]
|
||||
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\vect{AB}$
|
||||
\item $\vect{AC}$
|
||||
\item $\vect{DE}$
|
||||
\item $\vect{ED}$
|
||||
\item $\vect{AE}$
|
||||
\item $\vect{BE}$
|
||||
\item $\vect{EC}$
|
||||
\item $\vect{FG}$
|
||||
\item $\vect{FA}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\vect{AB} = \vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \vectCoord{5 - 2}{1 - 4} = \vectCoord{3}{-3}$
|
||||
\item $\vect{AC} = \vectCoord{x_C - x_A}{y_C - y_A} = \vectCoord{-6 - 2}{-3 - 4} = \vectCoord{-8}{-7}$
|
||||
\item $\vect{DE} = \vectCoord{x_E - x_D}{y_E - y_D} = \vectCoord{1 - 0}{-6 - (-2)} = \vectCoord{1}{-4}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Égalité entre vecteurs}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Dans les cas suivants, justifier si les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont égaux (leurs coordonnées doivent être égales)
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A(-2; -1)$, $B(1; 3)$, $C(1; 1)$ et $D(-2; -1)$
|
||||
\item $A(0; -1)$, $B(1; 0)$, $C(0; -2)$ et $D(1; -1)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item On donne 3 points $A(1; 2)$, $B(1; 4)$ et $C(x; 6)$. Quelle doit être la valeur de $x$ pour que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ soient égaux?
|
||||
\item On donne 4 points $A(x-1; 2)$, $B(-1; y-5)$, $C(0; -2)$ et $D(4; 3)$. Quelle doivent être les valeurs de $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ soient égaux?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
|
||||
\[
|
||||
\vect{AB} = \vectCoord{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \vectCoord{3}{2} \qquad
|
||||
\vect{CD} = \vectCoord{-2 - 1}{-1 - 1} = \vectCoord{-3}{-2} \qquad
|
||||
\]
|
||||
Donc les vecteurs ne sont pas égaux. Par contre, on peut noter que les coordonnées sont opposés, donc les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont opposés (même direction, même longueur, mais sens opposé)
|
||||
\item On calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
|
||||
\[
|
||||
\vect{AB} = \vectCoord{1 - 0}{0 - (-1)} = \vectCoord{1}{1} \qquad
|
||||
\vect{CD} = \vectCoord{1 - 0}{-1 - (-2)} = \vectCoord{1}{1} \qquad
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item On calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
|
||||
\[
|
||||
\vect{AB} = \vectCoord{1 - 1}{4 - 2} = \vectCoord{0}{2} \qquad
|
||||
\vect{BC} = \vectCoord{x - 1}{6 - 4} = \vectCoord{x-1}{2} \qquad
|
||||
\]
|
||||
Pour que les vecteurs soient égaux il faut que leurs coordonnées soient égales. Il faut donc que
|
||||
\[
|
||||
x-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc il faut que $x = 1$.
|
||||
\item On calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
|
||||
\[
|
||||
\vect{AB} = \vectCoord{-1 - (x-1)}{y-5-2} = \vectCoord{x}{y-7} \qquad
|
||||
\vect{CD} = \vectCoord{4 - 0}{3 - (-2)} = \vectCoord{4}{1} \qquad
|
||||
\]
|
||||
Pour que les vecteurs soient égaux il faut que leurs coordonnées soient égales. Il faut donc que
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||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\[
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||||
x = 4
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||||
\]
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||||
|
||||
\[
|
||||
y-7 = 1 \Leftrightarrow y = 8
|
||||
\]
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||||
\end{multicols}
|
||||
Donc il faut que $x = 4$ et que $y = 8$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée de points et transformations}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
Calculer les coordonnées des points suivants
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $B$ image du point $A(2; 3)$ par la translation de vecteur $\vect{u}\vectCoord{2}{4}$.
|
||||
\item $D$ image du point $C(-2; 5)$ par la translation de vecteur $\vect{v}\vectCoord{4}{-2}$.
|
||||
\item $F$ image du point $E(0; 3)$ par la translation de vecteur $\vect{v}\vectCoord{-3}{-2}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
% -------
|
||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Calculs avec les coordonnées de vecteurs}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
On définit les vecteurs suivants
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||||
\[
|
||||
\vect{u} \vectCoord{2}{5} \qquad
|
||||
\vect{v} \vectCoord{0}{2} \qquad
|
||||
\vect{w} \vectCoord{1}{-4} \qquad
|
||||
\vect{x} \vectCoord{-3}{2}
|
||||
\]
|
||||
et les points suivants
|
||||
\[
|
||||
A(2; 5) \qquad
|
||||
B(4; 1) \qquad
|
||||
C(2; -2) \qquad
|
||||
D(-3; 1)
|
||||
\]
|
||||
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
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||||
\begin{multicols}{4}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\vect{u} +\vect{x}$
|
||||
\item $\vect{w} +\vect{x}$
|
||||
|
||||
\item $\vect{w} - \vect{v}$
|
||||
\item $\vect{u} + \vect{x} + \vect{v} - 2\vect{w}$
|
||||
|
||||
\item $2\vect{w} +\vect{x} - 2\vect{x}$
|
||||
\item $\vect{AB} +\vect{x}$
|
||||
|
||||
\item $\vect{AC} + 2\vect{CD}$
|
||||
\item $\vect{AC} - 3\vect{AB}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Équilibre des forces}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Un objet est modélisé par un point $O$. On applique dessus 3 forces: $\vect{F_1} \; \vectCoord{0}{-5}$, $\vect{F_2} \; \vectCoord{-2}{2}$ et $\vect{F_3}\; \vectCoord{2}{3}$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Additionner ces trois forces.
|
||||
\item Expliquer pourquoi on peut dit que l'objet est en équilibre
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Un objet est modélisé par un point $O$. On applique dessus 3 forces: $\vect{F_1} \; \vectCoord{-1}{2}$, $\vect{F_2} \; \vectCoord{3}{1}$ et $\vect{F_3}\; \vectCoord{2}{2}$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que l'objet n'est pas en équilibre.
|
||||
\item Quelle doit être la quatrième force à appliquer pour que l'objet soit en équilibre.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée manquante}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
Soient $A(-3; 7)$, $B(0; -3)$ et $(-2; 3)$ trois points du plan et un point $M(x;y)$ dont il faudra déterminer les coordonnées dans chacun des cas suivants
|
||||
\begin{multicols}{4}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\vect{AM} = \dfrac{1}{2}\vect{CB}$
|
||||
\item $2\vect{AB} + 3\vect{CM} = \vect{0}$
|
||||
\item $\vect{BM} = 3\vect{AB} - \vect{CB}$
|
||||
\item $3\vect{BM} = 2\vect{AM}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
% -------
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Norme d'un vecteur}, step={3}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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||||
On définit les vecteurs suivants
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||||
\[
|
||||
\vect{u} \vectCoord{2}{5} \qquad
|
||||
\vect{v} \vectCoord{0}{2} \qquad
|
||||
\vect{w} \vectCoord{1}{-4} \qquad
|
||||
\vect{x} \vectCoord{-3}{2}
|
||||
\]
|
||||
et les points suivants
|
||||
\[
|
||||
A(2; 5) \qquad
|
||||
B(4; 1) \qquad
|
||||
C(2; \dfrac{1}{5}) \qquad
|
||||
D(\dfrac{2}{3}; 1)
|
||||
\]
|
||||
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer la norme des vecteurs: $\vect{u}$, $\vect{v}$, $\vect{w}$ et $\vect{x}$
|
||||
\item Calculer la norme des vecteurs: $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
|
||||
% -------
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Colinéarité}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
Dans chacun des cas suivant, dire si les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A(1; -4)$, $B(-4; 8)$ et $C(-6; 2)$
|
||||
\item $A(5; 5)$, $B(0; -1)$ et $C(10; 11)$
|
||||
\item $A\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{3}\right)$, $B\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{-2}{4}\right)$ et $C\left(\dfrac{-1}{2}; \dfrac{-11}{3}\right)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Alignement}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
Dans chacun des cas suivant, dire si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A(4; 2)$, $B(10; -5)$ et $C(-8; 16)$
|
||||
\item $A(9; 1)$, $B(6; -1)$ et $C(3; -3)$
|
||||
\item $A\left(\dfrac{-1}{5}; 1\right)$, $B\left(2; \dfrac{-1}{6}\right)$ et $C\left(\dfrac{10}{5}; 1\right)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée manquante}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer la valeur de $m$ pour que les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ soient colinéaires
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\vect{u}\; \vectCoord{-8}{8}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{m}{2}$
|
||||
\item $\vect{u}\; \vectCoord{m-1}{2}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{3}{-2}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\item Déterminer la valeur de $m$ pour que les points $A$, $B$ et $C$ soient alignés.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A(1; 3)$, $B(-2; 1)$ et $C(m; 2)$
|
||||
\item $A(-5; 1)$, $B(7; 1)$ et $C(1; m-2)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Problèmes de géométrie}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
||||
Soit $(O, \vect{i}, \vect{h})$ un repère orthonormé. Soit $A(0; 3)$, $B(-1; 1)$ et $C(-4; 2)$ trois points.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer les coordonnées de $I$ le milieu du segment $[BC]$.
|
||||
\item Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que
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||||
\[
|
||||
3\vect{DA}j+\vect{DB}+\vect{DC}= \vect{0}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que $D$, $A$ et $I$ sont alignés.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,70 @@
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|||
Coordonnées de vecteurs
|
||||
#######################
|
||||
|
||||
:date: 2023-04-27
|
||||
:modified: 2023-04-27
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:tags: Vecteurs
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||||
:category: 2nd
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||||
:summary: Introduction des coordonnées pour décrire les vecteurs.
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||||
Éléments du programme
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=====================
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Contenus:
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- Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur. Expression de la norme d’un vecteur.
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||||
- Expression des coordonnées de AB en fonction de celles de A et de B.
|
||||
- Produit d’un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs.
|
||||
- Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité.
|
||||
|
||||
Capacités:
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||||
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||||
- Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
|
||||
- Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
|
||||
- Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
|
||||
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||||
Progression
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===========
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||||
On réserve ce chapitre aux élèves voulant aller en 1G spé math (ou une autre spé scientifique) ou en sti2d. Les élèves sont en relative autonomie.
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||||
Plan de travail
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||||
.. image:: ./plan_de_travail.pdf
|
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:height: 200px
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:alt: Plan de travail
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||||
Étape 1: Calculer des coordonnées de vecteurs
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---------------------------------------------
|
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Bilan:
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||||
.. image:: ./1B_coordonnees.pdf
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Bilan sur les coordonnées de vecteurs
|
||||
|
||||
|
||||
Étape 2: Faire des calculs avec des vecteurs
|
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--------------------------------------------
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||||
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||||
.. image:: ./2B_operations.pdf
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Bilan sur les opérations sur les vecteurs
|
||||
|
||||
|
||||
Étape 3: Calculer une norme
|
||||
---------------------------
|
||||
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||||
.. image:: ./3B_norme_distance.pdf
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Bilan sur la norme d'un vecteur
|
||||
|
||||
Étape 4: Déterminant et colinéarité
|
||||
-----------------------------------
|
||||
|
||||
.. image:: ./4B_determinant_colinearite.pdf
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Déterminant et colinéarité de vecteurs
|
||||
Binary file not shown.
|
|
@ -0,0 +1,85 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usepackage{luacode}
|
||||
|
||||
\author{Benjamin Bertrand}
|
||||
\title{Vecteur et coordonnées - Plan de travail}
|
||||
\tribe{2nd}
|
||||
\date{Mai 2023}
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\DeclareExerciseCollection{banque}
|
||||
\xsimsetup{
|
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}
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||||
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||||
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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\bigskip
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||||
Savoir-faire de la séquence
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
|
||||
\item Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
|
||||
\item Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
|
||||
\item Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
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||||
Ordre des étapes à respecter
|
||||
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||||
\begin{center}
|
||||
\Ovalbox{
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node (E1) {1};
|
||||
\node (E2) [right of=E1] {2};
|
||||
\node (E4) [right of=E2] {4};
|
||||
\node (E3) [below right of=E1] {3};
|
||||
|
||||
\path[->] (E1) edge (E2);
|
||||
\path[->] (E2) edge (E4);
|
||||
\path[->] (E1) edge (E3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\section{Coordonnées de vecteur}
|
||||
|
||||
Reprendre le cours sur les coordonnées de vecteurs (Bilan 1).
|
||||
|
||||
\listsectionexercises
|
||||
|
||||
\section{Opération sur les vecteurs}
|
||||
|
||||
Reprendre le cours sur opérations sur les vecteurs (Bilan 2).
|
||||
|
||||
\listsectionexercises
|
||||
|
||||
\section{Norme et distance}
|
||||
|
||||
Reprendre le cours sur la norme d'un vecteur (Bilan 3).
|
||||
|
||||
\listsectionexercises
|
||||
|
||||
\section{Déterminant et colinéarité}
|
||||
|
||||
Reprendre le cours sur la colinéarité de vecteurs (Bilan 4).
|
||||
|
||||
\listsectionexercises
|
||||
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||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
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\pagebreak
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||||
\input{exercises.tex}
|
||||
\printcollection{banque}
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||||
|
||||
\end{document}
|
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Binary file not shown.
|
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@ -0,0 +1,29 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{luacode}
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\usetikzlibrary{shapes.geometric}
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|
||||
\author{Benjamin Bertrand}
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||||
\title{Coordonnées de vecteurs - Solutions}
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\tribe{2nd}
|
||||
\date{avril 2023}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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|
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solution/print=true,
|
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Reference in New Issue