2022-2023/1ST/Evaluations/DS_2023-02-01/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, points=6]
    \begin{enumerate}
        \item Mettre sous la forme d'une seule puissance \\
            $10^3 \times 10^{-7} = $
            \vfill
        \item Mettre sous la forme d'une seule puissance \\
            $\dfrac{(10^{-1})^2}{10^2}=$
            \vfill

        \item Augmenter de 15\% revient à multiplier par:
            \vfill
        \item Développer et réduire \\
            $(6x-3)(2x-1) = $
            \vfill
        \item Résoudre l'inéquation suivante\\
            $-6x + 30 \geq 4x$
            \vfill

        \item On nous propose un placement qui rapporte 100\euro par ans si l'on dépose la somme de \np{4000}\euro à l'ouverture.

            On modélise la quantité d'argent de ce placement par la suite $(u_n)$.

            Quelle est la nature de la suite ? Préciser les paramètres.
            \vfill

        \item Soit $(u_n)$ la suite géométrique de raison 5 et de premier terme 100. Calculer la valeur de $u_3$.
            \vfill

        \item Tracer le tableau de signes de la fonction $f$ représentée par le graphique ci-dessous.

            \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
                \begin{axis}[
                    axis lines = center,
                    grid = both,
                    xlabel = {x},
                    xtick distance=1,
                    ylabel = {$f(x)$},
                    ytick distance=1,
                    ]
                    \addplot[domain=-2:4,samples=20, color=red, very thick]{-(x-3)*(x+1)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Technique}, step={2}, points=6]
    On définit la fonction $f(x) = 0.5x^2 - 3x + 10$. On souhaite étudier les variations de cette fonction.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
        \item Étudier le signe de $f'(x)$. Pour quelle valeurs de $x$ le nombre $f'(x)$ est positif?
        \item En déduire les variations de la fonction $f$. Vous représenterez ces variations sous forme de tableau.
        \item Tracer sur l'annexe le graphique d'une fonction dont les variations correspondent au tableau obtenu à la question précédente.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{annexe}
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,
            ymin=-20,ymax=20,
            xstep=1,ystep=5]
            \tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
            \tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
            \tkzGrid
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{annexe}

\begin{exercise}[subtitle={Le virus!}, step={2}, points=6]
    On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de 130000 habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intFF{0}{40}$ par
    \begin{align*}
        f(x) &= -30x^2 + 1260x + 4000
    \end{align*}
    modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de $x$ jours de suivi de la propagation.
    \begin{enumerate}
        \item \textit{On donne en annexe la courbe représentative de la fonction $f$. Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique. Les résultats seront justifés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.}
            \begin{enumerate}
                % 1
                \item Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation.
                \item Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 10\% de la population est touchée par la maladie. Justifier qu'à partir de 13000 personnes contaminée, le conseil municipal ferme les crèches.
                \item Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermée?
            \end{enumerate}

        \item
            \begin{enumerate}
                % 1
                \item Déterminer,pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intFF{0}{40}$, l'expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
                    % 2
                \item Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ variant dans l'intervalle $\intFF{0}{40}$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
                    % 1
                \item Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal?\\
                    Combien y a-t-il alors de personnes touchées?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{annexe}
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=40,
        ymin=0,ymax=17500,
        xstep=5,ystep=2500]
        \tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
        \tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
        \tkzDrawX[label={\textit{Nombre de jours}},below= -12pt]
        \tkzDrawY[label={\textit{Nombre de personnes touchées}}, below=-10pt]
        \tkzGrid
        \tkzFct[domain=0:40,color=blue, very thick]{-30*\x*\x + 1260*\x+4000}
    \end{tikzpicture}
\end{annexe}

\begin{exercise}[subtitle={Probabilités}, step={2}, points=6]
    On joue 3 fois au même jeu de hasard où l'on sait que l'on a 1 chance sur 3 de gagner à chaque partie.
    \begin{enumerate}
        \item Faire un arbre représentant la situation.
        \item Lister les issues possibles. A-t-on une situation d'équiprobabilité?
        \item Quelle est la probabilité de gagner aux deux premières parties puis de perdre la dernière?
        \item Quelle est la probabilité de gagner une seule partie?
    \end{enumerate}

\end{exercise}