159 lines
6.8 KiB
TeX
159 lines
6.8 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
||
|
|
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||
|
|
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{ DM1 \hfill GNUI Kadia}
|
||
|
|
\tribe{1ST}
|
||
|
|
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||
|
|
\duree{}
|
||
|
|
|
||
|
|
\xsimsetup{
|
||
|
|
solution/print = false
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\pagestyle{empty}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
|
||
|
|
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||
|
|
|
||
|
|
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||
|
|
\begin{multicols}{2}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item $f(x) = (- 4x - 1)(- 8x - 1)$
|
||
|
|
\item $g(x) = (7x + 8)^{2}$
|
||
|
|
\item $h(x) = 3 + x(7x + 7)$
|
||
|
|
\item $i(x) = - 9x^{2} + x(- 3x + 10)$
|
||
|
|
\item $j(x) = - 5(x + 7)(x + 5)$
|
||
|
|
\item $k(x) = - 4(x - 6)(x + 2)$
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{multicols}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
f(x) &= (- 4x - 1)(- 8x - 1)\\&= - 4x \times - 8x - 4x(- 1) - 1 \times - 8x - 1(- 1)\\&= - 4(- 8) \times x^{1 + 1} - 1(- 4) \times x - 1(- 8) \times x + 1\\&= 4x + 8x + 32x^{2} + 1\\&= (4 + 8) \times x + 32x^{2} + 1\\&= 32x^{2} + 12x + 1
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 32$, $b = 12$ et $c = 1$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
g(x) &= (7x + 8)^{2}\\&= (7x + 8)(7x + 8)\\&= 7x \times 7x + 7x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= 7 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8 \times 7 \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= 56x + 56x + 49x^{2} + 64\\&= (56 + 56) \times x + 49x^{2} + 64\\&= 49x^{2} + 112x + 64
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 49$, $b = 112$ et $c = 64$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
h(x) &= 3 + x(7x + 7)\\&= 3 + x \times 7x + x \times 7\\&= 7x^{2} + 7x + 3
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = 7$ et $c = 3$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
i(x) &= - 9x^{2} + x(- 3x + 10)\\&= - 9x^{2} + x \times - 3x + x \times 10\\&= - 9x^{2} - 3x^{2} + 10x\\&= - 9x^{2} - 3x^{2} + 10x\\&= (- 9 - 3) \times x^{2} + 10x\\&= - 12x^{2} + 10x
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 12$, $b = 10$ et $c = 0$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
j(x) &= - 5(x + 7)(x + 5)\\&= (- 5x - 5 \times 7)(x + 5)\\&= (- 5x - 35)(x + 5)\\&= - 5x \times x - 5x \times 5 - 35x - 35 \times 5\\&= 5(- 5) \times x - 175 - 5x^{2} - 35x\\&= - 25x - 175 - 5x^{2} - 35x\\&= - 5x^{2} - 25x - 35x - 175\\&= - 5x^{2} + (- 25 - 35) \times x - 175\\&= - 5x^{2} - 60x - 175
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = - 60$ et $c = - 175$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
k(x) &= - 4(x - 6)(x + 2)\\&= (- 4x - 4(- 6))(x + 2)\\&= (- 4x + 24)(x + 2)\\&= - 4x \times x - 4x \times 2 + 24x + 24 \times 2\\&= 2(- 4) \times x + 48 - 4x^{2} + 24x\\&= - 8x + 48 - 4x^{2} + 24x\\&= - 4x^{2} - 8x + 24x + 48\\&= - 4x^{2} + (- 8 + 24) \times x + 48\\&= - 4x^{2} + 16x + 48
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = 16$ et $c = 48$.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||
|
|
Soit $f(x) = - 3x^{2} - 33x - 30$ une fonction définie sur $\R$.
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f(1) \qquad f(-2)
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Dériver la fonction $f$
|
||
|
|
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||
|
|
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f(1) = - 3 \times 1^{2} - 33 \times 1 - 30=- 3 \times 1 - 33 - 30=- 3 - 63=- 66
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f(-1) = - 3 \times - 1^{2} - 33(- 1) - 30=- 3 \times 1 + 33 - 30=- 3 + 3=0
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Dérivation
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f'(x) = - 6x - 33
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Pas de solutions automatiques.
|
||
|
|
\item Pas de solutions automatiques.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||
|
|
Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
|
||
|
|
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||
|
|
|
||
|
|
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||
|
|
|
||
|
|
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
|
||
|
|
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
A(x) & \geq 0 \\
|
||
|
|
- 4x + 35 & \geq 0 \\
|
||
|
|
- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
|
||
|
|
- 4x &\geq - 35 \\
|
||
|
|
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
|
||
|
|
x &\leq \dfrac{35}{4} \\
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||
|
|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
\end{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%% Local Variables:
|
||
|
|
%%% mode: latex
|
||
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
||
|
|
%%% End:
|