159 lines
6.7 KiB
TeX
159 lines
6.7 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
||
|
|
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||
|
|
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{ DM1 \hfill LAFAVERGES Joana}
|
||
|
|
\tribe{1ST}
|
||
|
|
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||
|
|
\duree{}
|
||
|
|
|
||
|
|
\xsimsetup{
|
||
|
|
solution/print = false
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\pagestyle{empty}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
|
||
|
|
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||
|
|
|
||
|
|
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||
|
|
\begin{multicols}{2}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item $f(x) = (10x + 7)(4x + 7)$
|
||
|
|
\item $g(x) = (- 5x - 3)^{2}$
|
||
|
|
\item $h(x) = - 4 + x(- 2x + 2)$
|
||
|
|
\item $i(x) = 3x^{2} + x(- 4x - 9)$
|
||
|
|
\item $j(x) = - 5(x + 3)(x - 10)$
|
||
|
|
\item $k(x) = 8(x - 2)(x - 6)$
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{multicols}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
f(x) &= (10x + 7)(4x + 7)\\&= 10x \times 4x + 10x \times 7 + 7 \times 4x + 7 \times 7\\&= 10 \times 4 \times x^{1 + 1} + 7 \times 10 \times x + 7 \times 4 \times x + 49\\&= 70x + 28x + 40x^{2} + 49\\&= (70 + 28) \times x + 40x^{2} + 49\\&= 40x^{2} + 98x + 49
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 40$, $b = 98$ et $c = 49$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
g(x) &= (- 5x - 3)^{2}\\&= (- 5x - 3)(- 5x - 3)\\&= - 5x \times - 5x - 5x(- 3) - 3 \times - 5x - 3(- 3)\\&= - 5(- 5) \times x^{1 + 1} - 3(- 5) \times x - 3(- 5) \times x + 9\\&= 15x + 15x + 25x^{2} + 9\\&= (15 + 15) \times x + 25x^{2} + 9\\&= 25x^{2} + 30x + 9
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = 30$ et $c = 9$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
h(x) &= - 4 + x(- 2x + 2)\\&= - 4 + x \times - 2x + x \times 2\\&= - 2x^{2} + 2x - 4
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 2$, $b = 2$ et $c = - 4$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
i(x) &= 3x^{2} + x(- 4x - 9)\\&= 3x^{2} + x \times - 4x + x(- 9)\\&= 3x^{2} - 4x^{2} - 9x\\&= 3x^{2} - 4x^{2} - 9x\\&= (3 - 4) \times x^{2} - 9x\\&= - x^{2} - 9x
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 9$ et $c = 0$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
j(x) &= - 5(x + 3)(x - 10)\\&= (- 5x - 5 \times 3)(x - 10)\\&= (- 5x - 15)(x - 10)\\&= - 5x \times x - 5x(- 10) - 15x - 15(- 10)\\&= - 10(- 5) \times x + 150 - 5x^{2} - 15x\\&= 50x + 150 - 5x^{2} - 15x\\&= - 5x^{2} + 50x - 15x + 150\\&= - 5x^{2} + (50 - 15) \times x + 150\\&= - 5x^{2} + 35x + 150
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 35$ et $c = 150$.
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
k(x) &= 8(x - 2)(x - 6)\\&= (8x + 8(- 2))(x - 6)\\&= (8x - 16)(x - 6)\\&= 8x \times x + 8x(- 6) - 16x - 16(- 6)\\&= - 6 \times 8 \times x + 96 + 8x^{2} - 16x\\&= - 48x + 96 + 8x^{2} - 16x\\&= 8x^{2} - 48x - 16x + 96\\&= 8x^{2} + (- 48 - 16) \times x + 96\\&= 8x^{2} - 64x + 96
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 64$ et $c = 96$.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||
|
|
Soit $f(x) = 6x^{2} - 36x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f(1) \qquad f(-2)
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Dériver la fonction $f$
|
||
|
|
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||
|
|
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f(1) = 6 \times 1^{2} - 36 \times 1 + 48=6 \times 1 - 36 + 48=6 + 12=18
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f(-1) = 6 \times - 1^{2} - 36(- 1) + 48=6 \times 1 + 36 + 48=6 + 84=90
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Dérivation
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f'(x) = 12x - 36
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Pas de solutions automatiques.
|
||
|
|
\item Pas de solutions automatiques.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||
|
|
Dans son garage, Jean a trouvé 27m de grillage. \\
|
||
|
|
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||
|
|
|
||
|
|
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||
|
|
|
||
|
|
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
A(x) = x(27 - 2x) = - 2x^{2} + 27x
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 27x$
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 27$
|
||
|
|
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||
|
|
\begin{align*}
|
||
|
|
A(x) & \geq 0 \\
|
||
|
|
- 4x + 27 & \geq 0 \\
|
||
|
|
- 4x + 27 + - 27 &\geq 0 + - 27 \\
|
||
|
|
- 4x &\geq - 27 \\
|
||
|
|
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 27}{- 4} \\
|
||
|
|
x &\leq \dfrac{27}{4} \\
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{27}{4}$
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{27}{4}$ ,}%
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||
|
|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{27}{4}) = \dfrac{1458}{16}$ , -/}%
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
\end{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%% Local Variables:
|
||
|
|
%%% mode: latex
|
||
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
||
|
|
%%% End:
|