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TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill THERET Olympe}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 6x + 8)(7x + 8)$
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\item $g(x) = (- 8x + 5)^{2}$
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\item $h(x) = 4 + x(2x - 3)$
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\item $i(x) = - 5x^{2} + x(8x + 5)$
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\item $j(x) = - 7(x + 10)(x - 4)$
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\item $k(x) = 3(x + 8)(x + 8)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 6x + 8)(7x + 8)\\&= - 6x \times 7x - 6x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= - 6 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8(- 6) \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= - 48x + 56x - 42x^{2} + 64\\&= (- 48 + 56) \times x - 42x^{2} + 64\\&= - 42x^{2} + 8x + 64
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 42$, $b = 8$ et $c = 64$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 8x + 5)^{2}\\&= (- 8x + 5)(- 8x + 5)\\&= - 8x \times - 8x - 8x \times 5 + 5 \times - 8x + 5 \times 5\\&= - 8(- 8) \times x^{1 + 1} + 5(- 8) \times x + 5(- 8) \times x + 25\\&= - 40x - 40x + 64x^{2} + 25\\&= (- 40 - 40) \times x + 64x^{2} + 25\\&= 64x^{2} - 80x + 25
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = - 80$ et $c = 25$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 4 + x(2x - 3)\\&= 4 + x \times 2x + x(- 3)\\&= 2x^{2} - 3x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = - 3$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 5x^{2} + x(8x + 5)\\&= - 5x^{2} + x \times 8x + x \times 5\\&= - 5x^{2} + 8x^{2} + 5x\\&= - 5x^{2} + 8x^{2} + 5x\\&= (- 5 + 8) \times x^{2} + 5x\\&= 3x^{2} + 5x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 5$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 7(x + 10)(x - 4)\\&= (- 7x - 7 \times 10)(x - 4)\\&= (- 7x - 70)(x - 4)\\&= - 7x \times x - 7x(- 4) - 70x - 70(- 4)\\&= - 4(- 7) \times x + 280 - 7x^{2} - 70x\\&= 28x + 280 - 7x^{2} - 70x\\&= - 7x^{2} + 28x - 70x + 280\\&= - 7x^{2} + (28 - 70) \times x + 280\\&= - 7x^{2} - 42x + 280
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 42$ et $c = 280$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 3(x + 8)(x + 8)\\&= (3x + 3 \times 8)(x + 8)\\&= (3x + 24)(x + 8)\\&= 3x \times x + 3x \times 8 + 24x + 24 \times 8\\&= 8 \times 3 \times x + 192 + 3x^{2} + 24x\\&= 24x + 192 + 3x^{2} + 24x\\&= 3x^{2} + 24x + 24x + 192\\&= 3x^{2} + (24 + 24) \times x + 192\\&= 3x^{2} + 48x + 192
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 48$ et $c = 192$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 5x^{2} - 70x + 240$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 5 \times 1^{2} - 70 \times 1 + 240=5 \times 1 - 70 + 240=5 + 170=175
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\]
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\[
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f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 70(- 1) + 240=5 \times 1 + 70 + 240=5 + 310=315
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 10x - 70
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 29 & \geq 0 \\
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- 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
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- 4x &\geq - 29 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{29}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
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|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
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|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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