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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
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\date{mai 2023}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Opération sur les coordonnées de vecteurs}
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\begin{propriete}[Addition de vecteurs]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Soient $\vect{u} \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $\vect{v}\vectCoord{x_v}{y_v}$ deux vecteurs alors
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\[
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\vect{u}+\vect{v} \quad \vectCoord{x_u + x_v}{y_u + y_v}
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\]
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On peut faire un calcul similaire pour la soustraction de vecteurs.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
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\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, below] {$\vect{u}$} (3, 2);
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\draw [->, very thick] (3, 2) -- node [midway, below] {$\vect{v}$} (4, 4);
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\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above left] {$\vect{u} + \vect{v}$} (4, 4);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple}: Soient 3 vecteurs $\vect{u} \vectCoord{2}{4}$, $\vect{v} \vectCoord{1}{-2}$ et $\vect{w} \vectCoord{-6}{5}$. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{itemize}
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\item $\vect{u} + \vect{v} $
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\\[0.5cm]
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\item $\vect{u} + \vect{v} - \vect{w} $
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\\[0.5cm]
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\afaire{compléter les exemples}
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\end{minipage}
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\begin{definition}[Multiplication par un réel]
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Soient $\vect{u}\vectCoord{x}{y}$ un vecteur et $k$ un nombre réel. Alors le vecteur $k\vect{u}$ est le vecteur de coordonnées
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\[
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k\vect{v}\quad \vectCoord{kx}{ky}
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\]
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On dira alors que $\vect{u}$ et $k\vect{u}$ sont \textbf{colinéaires}.
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\end{definition}
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\paragraph{Exemple}: On reprend les vecteurs de l'exemple précédent. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{itemize}
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\item $5\vect{u} $
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\\[0.5cm]
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\item $\vect{u} + 2\vect{v}$
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\\[0.5cm]
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\afaire{compléter les exemples}
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\end{minipage}
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\end{document}
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