Feat: Première grosse moitié du chapitre sur le nombre dérivée

1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/1B.tex

@@ -1,14 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
-\usepackage{myXsim}
-
-\author{Benjamin Bertrand}
-\title{Nombre dérivé et tangente - Cours}
-\date{novembre 2022}
-
-\pagestyle{empty}
-
-\begin{document}
-
-\maketitle
-
-\end{document}

1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/1B_taux_accroissement.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{pgfplots}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Nombre dérivé et tangente - Cours}
+\date{novembre 2022}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Taux d'accroissement}
+
+\begin{definition}[Taux d'accroissement]
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        Soit $f$ une fonction, $a$ et $b$ deux nombres.
+
+        \textbf{Le taux d'accroissement} de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ se calcule par
+        \[
+            \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
+        \]
+
+        \bigskip
+
+        On interprète ce nombre comme la pente de la droite qui relie les points de la droite d'abscisse $a$ et $b$.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                axis lines = center,
+                grid= both,
+                xlabel = {$x$},
+                xtick distance=1,
+                ylabel = {$f(x)$},
+                ytick distance=1,
+                ]
+                \addplot[domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{0.1*x^3 - 1.5*x + 1};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{definition}
+
+\paragraph{Exemples}
+\begin{itemize}
+    \item Calcul du taux d'accroissement entre $x = 1$ et $x = 4$ sur le graphique ci-dessus.
+
+    \vspace{2cm}
+
+    \item Soit $f(t) = 3t^2 + 2$ le taux d'accroissement entre $t=3$ et $t = 10$ est calculé:
+    \vspace{2cm}
+\end{itemize}
+
+\afaire{Traiter les exemples}
+
+
+\paragraph{Remarques}
+\begin{itemize}
+    \item Le taux d'accroissement est parfois nommé \textbf{taux de variations}.
+    \item En économie, quand la fonction $f$ représente les coûts, le taux d'accroissement est appelé \textbf{coût marginal}. Il permet de savoir quel sera le coût si l'on décide d'ajouter une unité.
+    \item En physique, quand la fonction $f$ représente la position, le taux d'accroissement est appelé \textbf{vitesse moyenne}.
+        \[
+            v_{moyenne} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p(t_2) - p(t_1)}{t_2 - t_1}
+        \]
+\end{itemize}
+
+\end{document}

1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/2B_tangente.tex

@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{pgfplots}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Nombre dérivé et tangente - Cours}
+\date{novembre 2022}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Tangente}
+
+\begin{definition}[Tangente]
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+    \textbf{La tangente} à une courbe en un point est la limite des cordes qui s'approchent du point.
+
+    \bigskip
+    Dans la pratique, c'est la \textbf{droite} qui vient se coller le plus possible à la courbe en ce point.
+\end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                axis lines = center,
+                grid= both,
+                xlabel = {$x$},
+                xtick distance=1,
+                ylabel = {$f(x)$},
+                ytick distance=1,
+                ymin = -2,
+                ]
+                \addplot[domain=0:4,samples=20, color=red, very thick]{(x-3)^2-1};
+                \addplot[mark=*, very thick, only marks] coordinates {(1,3) (3,-1)};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{definition}
+
+\afaire{Tracer les tangentes aux points}
+
+\end{document}

1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/exercises.tex

@@ -2,9 +2,9 @@
     On souhaite évaluer la situation financière d'une entreprise. Pour cela, nous avons les chiffres d'affaires de quelques années
 
     \begin{center}
-        \begin{tabular}{|p{5cm}|*{5}{c|}}
+        \begin{tabular}{|p{7cm}|*{5}{c|}}
             \hline
-            Année & 1980 & 1995 & 2000 & 2010 & 2020 \\
+            Année & 1980 & 1995 & 2000 & 2008 & 2020 \\
             \hline
             Chiffre d'affaires (en milliers d'euros) & 10 & 18 & 29 & 45 & 50 \\
             \hline
@@ -13,14 +13,302 @@
 
     \begin{enumerate}
         \item Tracer un repère et y placer les points pour représenter graphiquement le tableau.
-        \item Sur quel période, la progression du chiffre d'affaires a été le plus rapide?
+        \item Sur quel période, la progression du chiffre d'affaires a été le plus rapide ?
+        \item Trouver une façon de vérifier ce classement grâce au graphique.
+        \item Trouver un calcul qui permet de justifier ce classement sans ambigüités.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{annexe}
+    \begin{tabular}{|p{4cm}|*{4}{p{3cm}|}}
+        \hline
+        Période & 1980-1990 & 1990-2000 & 2000-2008 & 2008-2020 \\
+        \hline
+        Écart horizontal & & & & \\
+        \hline
+        Écart vertical & & & & \\
+        \hline
+        Rapport (vertical sur horizontal) & & & & \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+
+\end{annexe}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Vitesse moyenne d'une balle}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.55\linewidth}
+        On lance une balle et on décrit la hauteur ($h$ en m) en fonction du temps ($t$ en secondes) dans le graphique ci-contre
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la hauteur de la balle après 5 s ?
+        \item Calculer le taux de variation de la hauteur entre $t=0$ et $t=4$.
+        \item Calculer la vitesse moyenne entre $t=2$ et $t=10$.
+        \item Calculer la vitesse moyenne entre $t=10$ et $t=16$.
+        \item (*) Comment peut on deviner avant de faire le calcul le signe du taux de variation (ou de la vitesse moyenne)?
+    \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                axis lines = center,
+                grid = both,
+                xlabel = {$t$ en s},
+                xtick distance=2,
+                ylabel = {$h$ en m},
+                ytick distance=1,
+                ]
+                \addplot[domain=0:20,samples=20, color=red, very thick]{-0.1*x^2+2*x};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Taux de variations}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = 3x + 1$ entre $x = 1$ et $x = 5$.
+        \item Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = -2x + 10$ entre $x = -3$ et $x = 4$.
+        \item Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = x^2 + x + 1$ entre $x = 5$ et $x = 10$.
+        \item Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = x^2 - 5$ entre $x = -3$ et $x = 3$.
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
 \begin{solution}
-
+    \begin{enumerate}
+        \item On veut calculer
+            \[
+                \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}
+            \]
+            Pour cela, il faut tout d'abord calculer $f(5)$ et $f(1)$
+            \[
+                f(5) = 3\times 5 + 1 = 15 + 1 = 16
+                \qquad \qquad
+                f(1) = 3\times 1 + 1 = 3 + 1 = 4
+            \]
+            Donc le taux de variation est
+            \[
+                \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \frac{16 - 4}{5-1} = \frac{12}{4} = 3
+            \]
+            On peut interpréter cela en disant qu'en moyenne entre 1 et 5, la fonction a augmenté de 3 par unité.
+        \item
+            \[
+                f(4) = -2\times 4 + 10 = 2 \qquad \qquad
+                f(-3) = -2\times (-3) + 10 = 16
+            \]
+            \[
+                \frac{f(5) - f(-3)}{5 - (-3)} = \frac{2 - 16}{5 + 3} = \frac{-14}{8} = \frac{-7}{4}
+            \]
+        \item
+            \[
+                f(10) = 10^2 + 10 + 1 = 111
+                \qquad \qquad
+                f(5) = 5^2 + 5 + 1 = 31
+            \]
+            \[
+                \frac{f(10) - f(5)}{10 - 5} = \frac{111 - 31}{10 - 5} = \frac{142}{5} = 28.4
+            \]
+        \item
+            \[
+                f(3) = 3^2 - 5 = 4
+                \qquad \qquad
+                f(-3) = (-3)^2 - 5 = 4
+            \]
+            \[
+                \frac{f(3) - f(-3)}{3 - (-3)} = \frac{4 - 4}{6} = 0
+            \]
+    \end{enumerate}
 \end{solution}
 
+% Tangente et taux de variation
+\begin{exercise}[subtitle={Tangente}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
+    Dans cet exercice, nous allons étudier comment se comporte le taux d'accroissement et la corde quand on fixe un point et que l'on fait se rapprocher l'autre point. L'étude de ce comportement mènera au concept de tangente.
+    \begin{enumerate}
+        \item Avec une fonction représentée par le graphique ci-dessous.
 
-\begin{exercise}[subtitle={Résultats d'une entreprise}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
+            \begin{minipage}{0.45\linewidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                        axis lines = center,
+                        grid= both,
+                        xlabel = {$x$},
+                        xtick distance=1,
+                        ylabel = {$f(x)$},
+                        ytick distance=1,
+                        ymin = 0,
+                        ymax = 11,
+                        ]
+                        \addplot[domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{(x-3)^2 + 1};
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{minipage}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                \begin{enumerate}
+                    \item On fixe le point $A$ qui est sur la courbe à l'abscisse 1. Repérer ce point sur le graphique. Quelle est la valeur de $f(1)$?
+                    \item Représenter la corde entre $A$ et le point d'abscisse 5. Calculer le taux de variations entre 1 et 5.
+                    \item Représenter la corde entre $A$ et le point d'abscisse 4. Calculer le taux de variations entre 1 et 4.
+                    \item Faire la même chose pour l'abscisse 3, 2 puis 1,5.
+                \end{enumerate}
+            \end{minipage}
+
+            \begin{enumerate}
+                \setcounter{enumi}{4}
+                \item Que peut-on observer sur les cordes?
+            \end{enumerate}
+
+        \item Avec une fonction représentée par la formule: $f(x) = (x-3)^2 + 1$
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 2.
+                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 1,5.
+                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 1,25.
+                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 0.
+                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 0,5.
+                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 0,75.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Tracer des tangentes}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
+    Tracer les tangentes aux points marqués sur les graphiques
+
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                axis lines = center,
+                grid= both,
+                xlabel = {$x$},
+                xtick distance=1,
+                ylabel = {$f(x)$},
+                ytick distance=1,
+                ymin = 0,
+                ymax = 11,
+                ]
+                \addplot[domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{(x-3)^2 + 1};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(3,1)};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(1,5)};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(4,2)};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                axis lines = center,
+                grid= both,
+                xlabel = {$x$},
+                xtick distance=1,
+                ylabel = {$f(x)$},
+                ytick distance=1,
+                ymin = -6,
+                ymax = 6,
+                ]
+                \addplot[domain=-2:2,samples=50, color=red, very thick]{sin(deg(x*pi/2))*5};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-1,-5)};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(1.5,5*sin(deg(1.5*pi/2)))};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(0,0)};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Tracer une courbe}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item Tracer une courbe passant par les points.
+
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                        axis lines = center,
+                        grid= both,
+                        xlabel = {$x$},
+                        xtick distance=1,
+                        ylabel = {$f(x)$},
+                        ytick distance=1,
+                        ymin = -6,
+                        ymax = 6,
+                        ]
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-2,-3)};
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-1,-5)};
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(0,0)};
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(1.5,5)};
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(2,2)};
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+
+            \item Tracer une courbe passant par les points en respectant les tangentes.
+
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                        axis lines = center,
+                        grid= both,
+                        xlabel = {$x$},
+                        xtick distance=1,
+                        ylabel = {$f(x)$},
+                        ytick distance=1,
+                        ymin = -6,
+                        ymax = 6,
+                        ]
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-2,-3)};
+                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-2,-3) (-1.8, -3.5)};
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-1,-5)};
+                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-1.2,-5) (-0.8, -5)};
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(0,0)};
+                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-0.2,0) (0.2, 0)};
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(1.5,5)};
+                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(1.3, 4.8) (1.7, 5.2)};
+                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(2,2)};
+                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(1.8, 2) (2, 2)};
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+% Nombre dérivé et tangente
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Lire le nombre dérivé}, step={3}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
+    Sur les courbes suivantes, tracer les tangentes aux points puis lire graphiquement le nombre dérivé.
+    Tracer les tangentes aux points marqués sur les graphiques
+
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                axis lines = center,
+                grid= both,
+                xlabel = {$x$},
+                xtick distance=1,
+                ylabel = {$f(x)$},
+                ytick distance=1,
+                ]
+                \addplot[domain=-4:2,samples=20, color=red, very thick]{0.1*(x+1)^3 + 1};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(3,1)};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(1,5)};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(4,2)};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                axis lines = center,
+                grid= both,
+                xlabel = {$x$},
+                xtick distance=1,
+                ylabel = {$f(x)$},
+                ytick distance=1,
+                ymin = -6,
+                ymax = 6,
+                ]
+                \addplot[domain=-2:2,samples=50, color=red, very thick]{sin(deg(x*pi/2))*5};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-1,-5)};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(1.5,5*sin(deg(1.5*pi/2)))};
+                \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(0,0)};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Tracer la courbe avec les nombres dérivés}, step={3}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
 \end{exercise}

1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Nombre dérivé et tangente
 #########################
 
 :date: 2022-11-09
-:modified: 2022-11-09
+:modified: 2022-11-10
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Dérivation
 :category: 1ST
@@ -43,6 +43,13 @@ Commentaires
 Progression
 ===========
 
+Plan de travail
+
+.. image:: ./plan_de_travail.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Plan de travail
+
+
 Étape 1: Taux d'accroissement
 ------------------------------
 
@@ -57,9 +64,9 @@ Bilan: calculs et classement des périodes. Définition du taux d'accroissement
 
 Trois exercices où les élèves trouvent des images, tracent des droites et calculent le taux d'accroissement. À chaque fois, on part d'un seul point puis on se rapproche de plus en plus.
 
-Un exercice se base sur la lecture graphique, le suivant sur une formule et le dernier sur une programme qui calcul des images.
+Un exercice se base sur la lecture graphique, le suivant sur une formule et le dernier sur un programme qui calcul des images.
 
-Bilan: Notion de tangente.
+Bilan: Notion de tangente et taux de variations d'une fonction
 
 Étape 3: Les droites
 --------------------

1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/plan_de_travail.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
 \documentclass[a4paper,12pt]{article}
 \usepackage{myXsim}
+\usepackage{pgfplots}
 
 \author{Benjamin Bertrand}
 \title{Nombre dérivé et tangente - Plan de travail}
@@ -35,15 +36,11 @@ Savoir-faire de la séquence
 
 \listsectionexercises
 
-\section{Tangente}
+\section{Tangente et taux de variation}
 
 \listsectionexercises
 
-\section{Droite}
+\section{Tangente et nombre dérivé}
-
-\listsectionexercises
-
-\section{Nombre dérivé}
 
 \listsectionexercises
 
@@ -52,5 +49,7 @@ Savoir-faire de la séquence
 \input{exercises.tex}
 \printcollection{banque}
 
+\clearpage
+\printannexes
 
 \end{document}

1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/solutions.tex

@@ -23,6 +23,6 @@
 
 \input{exercises.tex}
 %\printcollection{banque}
-%\printsolutions{exercises}
+\printsolutions{exercises}
 
 \end{document}