Feat: exercices et cours sur les arbres pour les 1ST

1NSI/04_Fonctions_specifications_et_tests/1B.tex

@@ -2,8 +2,8 @@
 \usepackage{myXsim}
 
 \author{Benjamin Bertrand}
-\title{Repetition d'expériences - Cours}
-\date{novembre 2022}
+\title{Fonctions spécifications et tests - Cours}
+\date{décembre 2022}
 
 \pagestyle{empty}
 

1ST/04_Repetition_dexperiences/1B_arbres.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Repetition d'expériences - Cours}
+\date{novembre 2022}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Arbre de probabilités}
+
+\begin{definition}[Arbre de probabilités]
+    Lorsque l'on enchaine deux, ou plus, expériences aléatoires \textbf{indépendantes}, il peut être intéressant de représenter la situation avec un \textbf{arbre de probabilités}.
+
+    Un arbre de probabilités a les caractéristiques suivantes
+    \begin{itemize}
+        \item Chaque étage correspond à une expérience. Il y a donc autant d'étages que d'expériences.
+        \item Chaque noeud correspond à une issue d'une expérience.
+        \item On note les probabilités sur les branches qui relie les noeuds.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\paragraph{Exemples:}~
+\afaire{Tracer les arbres correspondant aux situations des exemples ci-dessous}
+\begin{multicols}{2}
+    \begin{itemize}
+        \item Lancé d'une pièce équilibré (donnant pille ou face) 3 fois :
+        \item Lancé de deux dés à 4 faces (donnant un nombre entre 1 et 4):
+    \end{itemize}
+\end{multicols}
+
+
+\end{document}

1ST/04_Repetition_dexperiences/2B_proba_arbre.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Repetition d'expériences - Cours}
+\date{novembre 2022}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\setcounter{section}{1}
+\section{Calculer des probabilités dans les arbres}
+
+\begin{propriete}[Probabilités dans les arbres]
+    \begin{itemize}
+        \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
+        \item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues.
+        \item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement.
+    \end{itemize}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples:}~
+On lance deux fois une pièce déséquilibré qui a 2 chance sur 3 de faire pile.
+
+\begin{center}
+    \begin{tikzpicture}[grow=down, sloped, scale=1.5]
+        \node {.}
+            child [red]  {node {.}
+                child {node {.}
+                    edge from parent
+                    node[above] {.}
+                }
+                child [black] {node {.}
+                    edge from parent
+                    node[above] {.}
+                }
+                edge from parent
+                node[above] {.}
+            }
+            child[missing] {}
+            child { node {.}
+                child {node {.}
+                    edge from parent
+                    node[above] {.}
+                }
+                child {node {.}
+                    edge from parent
+                    node[above] {.}
+                }
+                edge from parent
+                node[above] {.}
+            }%
+            ;
+    \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\afaire{Compléter les noeuds puis les probabilités sur l'arbre.}
+\end{document}

1ST/04_Repetition_dexperiences/3B_tableur.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{minted}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Repetition d'expériences - Cours}
+\date{novembre 2022}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\setcounter{section}{2}
+\section{Commandes tableur}
+
+\begin{enumerate}
+    \item Commande tableur pour générer un nombre aléatoire entre 0 et 1:
+        \begin{center}
+            \calc{ALEA()}
+        \end{center}
+    \item Commande pour faire une condition
+        \begin{center}
+            \calc{SI(condition; résultat pour le alors; résultat pour le sinon)}
+        \end{center}
+\end{enumerate}
+
+\section{Commandes python}
+\begin{itemize}
+    \item Commandes pour faire de l'aléatoire :
+
+        Il faut d'abord importer les fonctions:
+        \begin{center}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                \begin{minted}[bgcolor=base3,linenos]{python}
+from random import randint, random
+print(randint(1, 10))
+print(random())
+                \end{minted}
+            \end{minipage}
+        \end{center}
+        \begin{itemize}
+            \item La fonction \mintinline{python}{randint(a,b)} permet d'avoir un nombre entier aléatoire compris entre a et b
+            \item La fonction \mintinline{python}{random()} permet d'avoir un nombre aléatoire compris entre 0 et 1
+        \end{itemize}
+    \item Pour faire des conditions, on utilise
+        \begin{center}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                \begin{minted}[bgcolor=base3,linenos]{python}
+if condition:
+    # Ce qu'il faut faire si la condition est vraie
+else:
+    # Ce qu'il faut faire si la condition est fausse
+                \end{minted}
+            \end{minipage}
+        \end{center}
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Exemple}
+\afaire{Deviner ce que va affiche le programme suivant}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                \begin{minted}[bgcolor=base3,linenos]{python}
+age = 23
+if age > 18:
+    print("Tu es majeur")
+else:
+    print("Tu n'es pas majeur")
+                \end{minted}
+            \end{minipage}
+
+\end{document}

1ST/04_Repetition_dexperiences/exercises.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\begin{exercise}[subtitle={Le meilleur score}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }]
+\begin{exercise}[subtitle={Le meilleur score}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\searchMode}]
     On nous propose les jeux suivants :
 
         \begin{enumerate}[label={Règle \arabic*:}]
@@ -8,14 +8,160 @@
     À votre avis, laquelle de ces deux règles est la plus avantageuse pour le joueur ?
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Modéliser par un arbre}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }]
-    Représenter chacune des situations suivantes par un arbre de probabilité.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dé et boules}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\trainMode}]
+    Nous avons devant nous, un dé équilibré à 4 faces (numéroté de 1 à 4) et une urne avec 50 boules rouges et 50 boules noires.
+
+    L'expérience aléatoire consiste à lancer le dé, noter la quantité, tirer une boule et noter la couleur. Le résultat en l'association du nombre et de la couleur.
     \begin{enumerate}
-        \item Dans mon jardin, j'ai planté 2 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisiers qui donneront des fruits.
-        \item Bob mange à la cantine 2 fois par semaine. À chaque fois, il se demande s'il prend un dessert plutôt qu'un fromage ce qu'il fait 2 fois sur 3. On s'intéresse au nombre de fois où il a mangé du dessert en une semaine.
-        \item Dans un jeu vidéo, j'ai une chance sur 6 de commencer avec un compagnon de type "Terre". Je lance 3 parties et je m'intéresse au nombre de fois où j'ai commencé avec un compagnon de type "Terre".
-        \item Un examen comporte 3 épreuves. On a une chance sur 2 d'avoir la moyenne à l'épreuve de français, 20\% de chance d'avoir la moyenne en histoire et 80\% de chance d'avoir la moyenne en math. On s'intéresse au nombre de fois où l'on peut avoir la moyenne.
+        \item Faire un arbre qui représente la situation.
+        \item Faire la liste de tous les résultats possibles.
+        \item Quelle est la probabilité d'obtenir les résultats suivants ?
+            \begin{center}
+                4 - noire \qquad 2 - rouge \qquad 1 - noire
+            \end{center}
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-% Etape 2
+
+\begin{exercise}[subtitle={Lancé de pièces}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\trainMode}]
+    On lance 3 fois une pièce équilibrée. Pour chaque pièce, on note P pour pile et F pour face. On s'intéresse au mot obtenu.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+        \item Lister les issues possibles.
+        \item Calculer la probabilité des issues
+            \begin{center}
+                PPP \qquad PFP \qquad PPF ou FPP ou PFP
+            \end{center}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Jeu vidéo}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\trainMode}]
+    Dans un jeu vidéo qui se joue à 2, à chaque joueur est attribué au hasard une arme parmi une épée, un arc ou une baguette magique. Avec un ami, on commence une partie. On s'intéresse aux armes de notre équipe.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+        \item Lister les issues possibles.
+        \item Quelle est la probabilité que je commence avec une épée et que mon ami commence avec un arc ?
+        \item Quelle est la probabilité que mon ami ou moi commence avec une baguette magique ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={QCM}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\trainMode}]
+    On répond complètement au hasard à un QCM qui comporte 4 questions et où chaque question a deux réponses. On s'intéresse à la véracité des réponses.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+        \item Lister les issues possibles. A-t-on une situation d'équiprobabilité ?
+        \item Quelle est la probabilité que j'ai juste à la première question et faux aux autres ?
+        \item Quelle est la probabilité que j'ai juste à la première question et à la dernière ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+% Etape 2: cassé l'équiprobabilité
+
+\begin{exercise}[subtitle={QCM}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\searchMode}]
+    On répond complètement au hasard à un QCM qui comporte 2 questions et où chaque question a 3 réponses dont une seule de juste. On s'intéresse à la véracité des réponses.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+        \item Lister les issues possibles. A-t-on une situation d'équiprobabilité ?
+        \item Quelle est la probabilité que j'ai juste à la première question et faux aux autres ?
+        \item Quelle est la probabilité que j'ai juste à la première question et à la dernière ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Fraisiers}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\trainMode}]
+    Dans mon jardin, j'ai planté 2 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+        \item Lister les issues possibles. A-t-on une situation d'équiprobabilité ?
+        \item Quelle est la probabilité que tous les fraisiers donnent des fruits ?
+        \item Quelle est la probabilité que seul le premier fraisier donne des fruits ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Fromage ou dessert}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\trainMode}]
+    Bob mange à la cantine 2 fois par semaine. À chaque fois, il se demande s'il prend un dessert plutôt qu'un fromage ce qu'il fait 2 fois sur 3.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+        \item Lister les issues possibles. A-t-on une situation d'équiprobabilité ?
+        \item Quelle est la probabilité pour qu'il mange du fromage deux dans la semaine ?
+        \item Quelle est la probabilité pour qu'il mange une fois du dessert et une fois du fromage ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Jeux vidéo}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\trainMode}]
+    Dans un jeu vidéo, j'ai une chance sur 6 de commencer avec un compagnon de type "Terre". Je lance 3 parties.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+        \item Lister les issues possibles. A-t-on une situation d'équiprobabilité ?
+        \item Quelle est la probabilité d'avoir commencé la première partie avec un compagnon de type terre puis avec d'autres types ensuite ?
+        \item Quelle est la probabilité d'avoir commencé deux parties d'affilés avec un compagnon de type terre ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Epreuves}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\searchMode}]
+    Un examen comporte 3 épreuves. On a une chance sur 2 d'avoir la moyenne à l'épreuve de français, 20\% de chance d'avoir la moyenne en histoire et 80\% de chance d'avoir la moyenne en math.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+        \item Lister les issues possibles. A-t-on une situation d'équiprobabilité ?
+        \item Quelle est la probabilité que j'ai la moyenne en français et en math, mais pas en histoire ?
+        \item Quelle est la probabilité que j'ai la moyenne qu'en histoire ?
+        \item Quelle est la probabilité que d'avoir une seule fois la moyenne ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+% Etape 3
+
+\begin{exercise}[subtitle={Sur-réservation}, step={3}, origin={ma tête}, topics={ Repetition d'expériences }, tags={ probabilités }, mode={\computerMode}]
+    Pour obtenir un taux de remplissage convenable, les compagnies aériennes vendent régulièrement plus de place que n'en comporte l'avion car il arrive que des personnes ne se présentent pas au décollage. Si un passagers a réservé mais qu'il n'y a plus de place dans l'avion, il faudra par contre le dédommager. C'est pour cela qu'il faut évaluer le risque de surréservation.
+
+    On considère une ligne aérienne entre deux villes pour laquelle:
+    \begin{itemize}
+        \item Tous les avions ont 50 places.
+        \item 53 réservations sont vendues pour chaque vol (on supposera qu'elles sont toutes vendues)
+        \item Chaque personne ayant réservé a 9 chance sur 10 de se présenter à l'embarquement ( donc 1 chance sur 10 de ne pas se présenter).
+        \item Chaque personne ayant réservé une place se présente au non à l'embarquement indépendamment des autres personnes ayant réservé sur le même vol.
+    \end{itemize}
+
+    Pour évaluer les risques liés à une surréservation, nous allons \textbf{simuler} avec le tableur plusieurs vols sur cette ligne.
+
+    \begin{enumerate}[wide]
+        \item On commence par simuler un vol où 53 places ont été vendues.
+
+            \begin{minipage}{0.7\textwidth}
+                Pour savoir si une personne se présente ou non à l'embarquement, nous utiliserons la commande \calc{=SI(ALEA()>0.9;0;1)}. Cette commande renvoie:
+                \begin{itemize}
+                    \item 0 si le passager ne s'est pas présenté
+                    \item 1 s'il s'est présenté.
+                \end{itemize}
+                \begin{enumerate}
+                    \item Réaliser la simulation pour le premier vol
+                    \item Combien de personnes se sont-elles présentées à l'embarquement?
+                    \item Quelle formule peut-on rentrer en \texttt{B56} pour calculer ce nombre?
+                \end{enumerate}
+            \end{minipage}
+            \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+                \includegraphics[scale=0.27]{./fig/vol1}
+            \end{minipage}
+
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Réaliser cette simulation pour 100 vols de cette ligne.
+
+                    \includegraphics[scale=0.17]{./fig/vol100}
+
+                \item Quelle formule doit-on entrer en \texttt{CX56} pour calculer la moyenne du nombre de passager?
+                \item Pensez vous que le risque de surréservation est grand?
+            \end{enumerate}
+        \item On veut maintenant évaluer le risque de surréservation. Pour savoir si un vol est en surréservation, on utilise la commande \calc{=SI(nbr_passagers > 50;1;0)} (avec \lstinline|nbr_passagers| à remplacer le nom de la case)
+            \begin{enumerate}
+                \item Compléter le tableau pour connaître les vols en surréservation.
+
+                    \includegraphics[scale=0.15]{./fig/vol100_overbooking}
+
+                \item Quelle formule doit-on rentrer en \texttt{CX59} pour compter le nombre de vols en surréservation?
+                \item Quelle formule doit-on entrer dans \texttt{CX61} pour calculer la fréquence des vols en surréservation?
+            \end{enumerate}
+        \item Pensez vous que la compagnie va devoir souvent dédommager des voyageurs?
+        \item On suppose qu'un billet coûte 100\euro. Quand un client doit être dédommagé, cela coûte 250\euro à la compagnie. Expliquer pourquoi il est intéressant pour la compagnie de vendre des billets en surréservation.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}

1ST/04_Repetition_dexperiences/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Repetition d'expériences
 ########################
 
 :date: 2022-11-22
-:modified: 2022-11-22
+:modified: 2022-12-04
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Probabilités
 :category: 1ST
@@ -33,21 +33,46 @@ Commentaires
 Progression
 ===========
 
+Plan de travail
+
+.. image:: ./plan_de_travail.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Plan de travail
+
+
 Étape 1: Construction d'un arbre de probabilités
 ------------------------------------------------
 
 Activité de recherche en groupe pour modéliser des expériences aléatoires où on répète une expérience.
 
-Exercices techniques à modéliser par un arbre.
+Exercices techniques à modéliser par un arbre. Les arbres restent à chaque fois basés sur des repetitions d'expériences équiprobables.
 
 Cours: Représenter une répétition par un arbre de probabilités (nombre d'étages et probabilité sur les branches)
 
+.. image:: ./1B_arbres.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur les arbres
+
+
 Étape 2: Calculs de probabilités sur un arbre
 ---------------------------------------------
 
+On casse l'équiprobabilité des expériences à répéter pour découvrir la multiplication des probabilités sur les branches.
+
 Cours: multiplier les probabilités sur des branches et les ajouter.
 
+.. image:: ./2B_proba_arbre.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Calculer des probabilités sur les arbres
+
+
 Étape 3: Simulation avec le tableur
 -----------------------------------
 
 Simulation tableur d'une situation de sur-réservation.
+
+Bilan: aléatoire et conditions en python et tableur
+
+.. image:: ./3B_tableur.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Commandes tableurs et un peu de python