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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill LAFAVERGES Joana}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (10x + 7)(4x + 7)$
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\item $g(x) = (- 5x - 3)^{2}$
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\item $h(x) = - 4 + x(- 2x + 2)$
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\item $i(x) = 3x^{2} + x(- 4x - 9)$
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\item $j(x) = - 5(x + 3)(x - 10)$
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\item $k(x) = 8(x - 2)(x - 6)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (10x + 7)(4x + 7)\\&= 10x \times 4x + 10x \times 7 + 7 \times 4x + 7 \times 7\\&= 10 \times 4 \times x^{1 + 1} + 7 \times 10 \times x + 7 \times 4 \times x + 49\\&= 70x + 28x + 40x^{2} + 49\\&= (70 + 28) \times x + 40x^{2} + 49\\&= 40x^{2} + 98x + 49
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 40$, $b = 98$ et $c = 49$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 5x - 3)^{2}\\&= (- 5x - 3)(- 5x - 3)\\&= - 5x \times - 5x - 5x(- 3) - 3 \times - 5x - 3(- 3)\\&= - 5(- 5) \times x^{1 + 1} - 3(- 5) \times x - 3(- 5) \times x + 9\\&= 15x + 15x + 25x^{2} + 9\\&= (15 + 15) \times x + 25x^{2} + 9\\&= 25x^{2} + 30x + 9
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = 30$ et $c = 9$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= - 4 + x(- 2x + 2)\\&= - 4 + x \times - 2x + x \times 2\\&= - 2x^{2} + 2x - 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 2$, $b = 2$ et $c = - 4$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= 3x^{2} + x(- 4x - 9)\\&= 3x^{2} + x \times - 4x + x(- 9)\\&= 3x^{2} - 4x^{2} - 9x\\&= 3x^{2} - 4x^{2} - 9x\\&= (3 - 4) \times x^{2} - 9x\\&= - x^{2} - 9x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 9$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 5(x + 3)(x - 10)\\&= (- 5x - 5 \times 3)(x - 10)\\&= (- 5x - 15)(x - 10)\\&= - 5x \times x - 5x(- 10) - 15x - 15(- 10)\\&= - 10(- 5) \times x + 150 - 5x^{2} - 15x\\&= 50x + 150 - 5x^{2} - 15x\\&= - 5x^{2} + 50x - 15x + 150\\&= - 5x^{2} + (50 - 15) \times x + 150\\&= - 5x^{2} + 35x + 150
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 35$ et $c = 150$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 8(x - 2)(x - 6)\\&= (8x + 8(- 2))(x - 6)\\&= (8x - 16)(x - 6)\\&= 8x \times x + 8x(- 6) - 16x - 16(- 6)\\&= - 6 \times 8 \times x + 96 + 8x^{2} - 16x\\&= - 48x + 96 + 8x^{2} - 16x\\&= 8x^{2} - 48x - 16x + 96\\&= 8x^{2} + (- 48 - 16) \times x + 96\\&= 8x^{2} - 64x + 96
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 64$ et $c = 96$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 6x^{2} - 36x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 6 \times 1^{2} - 36 \times 1 + 48=6 \times 1 - 36 + 48=6 + 12=18
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\]
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\[
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f(-1) = 6 \times - 1^{2} - 36(- 1) + 48=6 \times 1 + 36 + 48=6 + 84=90
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 12x - 36
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 27m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(27 - 2x) = - 2x^{2} + 27x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 27x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 27$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 27 & \geq 0 \\
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- 4x + 27 + - 27 &\geq 0 + - 27 \\
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- 4x &\geq - 27 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 27}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{27}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{27}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{27}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{27}{4}) = \dfrac{1458}{16}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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