310 lines
13 KiB
TeX
310 lines
13 KiB
TeX
\begin{exercise}[subtitle={Calculs de dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
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Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = - 6x - 7$
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\item $g(x) = 10x + 3$
|
|
\item $h(x) = - 4x - 3$
|
|
\item $i(x) = - 10x - 7$
|
|
\item $j(x) = - 8x - 4$
|
|
\item $k(x) = - 3x^{2} + 8x - 1$
|
|
\item $l(x) = - 10x + 6$
|
|
\item $m(x) = 10x^{2} + 5x + 6$
|
|
\item $n(x) = - 10x^{2} + 6x - 2$
|
|
\item $o(x) = 5x^{2}$
|
|
\item $p(x) = - 9x^{2} + 4x$
|
|
\item $q(x) = - 2x^{2} - 4$
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{multicols}{2}
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|
\begin{enumerate}
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\item $f(x) = - 6x - 7$
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\[
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f'(x) = - 6
|
|
\]
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\item $g(x) = 10x + 3$
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\[
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|
g'(x) = 10
|
|
\]
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\item $h(x) = - 4x - 3$
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|
\[
|
|
h'(x) = - 4
|
|
\]
|
|
\item $i(x) = - 10x - 7$
|
|
|
|
\[
|
|
i'(x) = - 10
|
|
\]
|
|
\item $j(x) = - 8x - 4$
|
|
|
|
\[
|
|
j'(x) = - 8
|
|
\]
|
|
\item $k(x) = - 3x^{2} + 8x - 1$
|
|
|
|
\[
|
|
k'(x) = - 6x + 8
|
|
\]
|
|
\item $l(x) = - 10x + 6$
|
|
|
|
\[
|
|
l'(x) = - 10
|
|
\]
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|
\item $m(x) = 10x^{2} + 5x + 6$
|
|
|
|
\[
|
|
m'(x) = 20x + 5
|
|
\]
|
|
\item $n(x) = - 10x^{2} + 6x - 2$
|
|
|
|
\[
|
|
n'(x) = - 20x + 6
|
|
\]
|
|
\item $o(x) = 5x^{2}$
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|
|
\[
|
|
o'(x) = 10x
|
|
\]
|
|
\item $p(x) = - 9x^{2} + 4x$
|
|
|
|
\[
|
|
p'(x) = - 18x + 4
|
|
\]
|
|
\item $q(x) = - 2x^{2} - 4$
|
|
|
|
\[
|
|
q'(x) = - 4x
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{solution}
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|
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
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|
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes:
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\begin{multicols}{2}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $f(x) = - 8x + 5$
|
|
\item $g(x) = - 9x - 6$
|
|
\item $h(x) = - 2x + 8$
|
|
\item $i(x) = - 5x - 4$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Étude de la fonction $f(x) = - 8x + 5$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $f'(x) = - 8$
|
|
\item Comme $- 8 < 0$ la fonction est décroissante
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
|
\tkzTabLine{,-,}%
|
|
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Étude de la fonction $g(x) = - 9x - 6$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $g'(x) = - 9$
|
|
\item Comme $- 9 < 0$ la fonction est décroissante
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
|
\tkzTabLine{,-,}%
|
|
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Étude de la fonction $h(x) = - 2x + 8$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $h'(x) = - 2$
|
|
\item Comme $- 2 < 0$ la fonction est décroissante
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
|
\tkzTabLine{,-,}%
|
|
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Étude de la fonction $i(x) = - 5x - 4$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $i'(x) = - 5$
|
|
\item Comme $- 5 < 0$ la fonction est décroissante
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
|
\tkzTabLine{,-,}%
|
|
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
|
|
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes :
|
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f(x) = 3x^{2} + 10x - 3$
|
|
\item $g(x) = 4x^{2} + 2x - 2$
|
|
\item $h(x) = - 4x^{2} + 2x - 7$
|
|
\item $i(x) = - 9x^{2} + 9x - 9$
|
|
\item $j(x) = - x^{2} + 8x + 4$
|
|
\item $k(x) = 6x^{2} + 9x + 9$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Étude de la fonction $f(x) = 3x^{2} + 10x - 3$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $f'(x) = 6x + 10$
|
|
\item On résout l'inéquation $f'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $f'$ est positive.
|
|
\begin{align*}
|
|
f(x) & \geq 0 \\
|
|
6x + 10 & \geq 0 \\
|
|
6x + 10 + - 10 &\geq 0 + - 10 \\
|
|
6x &\geq - 10 \\
|
|
\frac{6x}{6} &\geq \frac{- 10}{6} \\
|
|
x &\geq \dfrac{- 5}{3} \\
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 5}{3}$
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 5}{3}$ ,}%
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 5}{3}) = \dfrac{- 102}{9}$ , +/}%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Étude de la fonction $g(x) = 4x^{2} + 2x - 2$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $g'(x) = 8x + 2$
|
|
\item On résout l'inéquation $g'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $g'$ est positive.
|
|
\begin{align*}
|
|
g(x) & \geq 0 \\
|
|
8x + 2 & \geq 0 \\
|
|
8x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
|
|
8x &\geq - 2 \\
|
|
\frac{8x}{8} &\geq \frac{- 2}{8} \\
|
|
x &\geq \dfrac{- 1}{4} \\
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $g(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 1}{4}$
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 1}{4}$ ,}%
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 1}{4}) = \dfrac{- 36}{16}$ , +/}%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Étude de la fonction $h(x) = - 4x^{2} + 2x - 7$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $h'(x) = - 8x + 2$
|
|
\item On résout l'inéquation $h'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $h'$ est positive.
|
|
\begin{align*}
|
|
h(x) & \geq 0 \\
|
|
- 8x + 2 & \geq 0 \\
|
|
- 8x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
|
|
- 8x &\geq - 2 \\
|
|
\frac{- 8x}{- 8} &\leq \frac{- 2}{- 8} \\
|
|
x &\leq \dfrac{1}{4} \\
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $h(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{1}{4}$
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{1}{4}$ ,}%
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{1}{4}) = \dfrac{- 108}{16}$ , -/}%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Étude de la fonction $i(x) = - 9x^{2} + 9x - 9$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $i'(x) = - 18x + 9$
|
|
\item On résout l'inéquation $i'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $i'$ est positive.
|
|
\begin{align*}
|
|
i(x) & \geq 0 \\
|
|
- 18x + 9 & \geq 0 \\
|
|
- 18x + 9 + - 9 &\geq 0 + - 9 \\
|
|
- 18x &\geq - 9 \\
|
|
\frac{- 18x}{- 18} &\leq \frac{- 9}{- 18} \\
|
|
x &\leq \dfrac{1}{2} \\
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $i(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{1}{2}$
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{1}{2}$ ,}%
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{- 27}{4}$ , -/}%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Étude de la fonction $j(x) = - x^{2} + 8x + 4$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $j'(x) = - 2x + 8$
|
|
\item On résout l'inéquation $j'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $j'$ est positive.
|
|
\begin{align*}
|
|
j(x) & \geq 0 \\
|
|
- 2x + 8 & \geq 0 \\
|
|
- 2x + 8 + - 8 &\geq 0 + - 8 \\
|
|
- 2x &\geq - 8 \\
|
|
\frac{- 2x}{- 2} &\leq \frac{- 8}{- 2} \\
|
|
x &\leq 4 \\
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $j(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $4$
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $4$ ,}%
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(4) = 20$ , -/}%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Étude de la fonction $k(x) = 6x^{2} + 9x + 9$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fonction dérivée : $k'(x) = 12x + 9$
|
|
\item On résout l'inéquation $k'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $k'$ est positive.
|
|
\begin{align*}
|
|
k(x) & \geq 0 \\
|
|
12x + 9 & \geq 0 \\
|
|
12x + 9 + - 9 &\geq 0 + - 9 \\
|
|
12x &\geq - 9 \\
|
|
\frac{12x}{12} &\geq \frac{- 9}{12} \\
|
|
x &\geq \dfrac{- 3}{4} \\
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $k(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 3}{4}$
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 3}{4}$ ,}%
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 3}{4}) = \dfrac{90}{16}$ , +/}%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|