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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill BOUAFIA Lina}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (4x - 9)(- 8x - 9)$
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\item $g(x) = (5x - 4)^{2}$
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\item $h(x) = - 1 + x(- 9x + 8)$
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\item $i(x) = 9x^{2} + x(2x + 10)$
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\item $j(x) = 9(x - 8)(x + 5)$
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\item $k(x) = - 9(x - 6)(x + 7)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (4x - 9)(- 8x - 9)\\&= 4x \times - 8x + 4x(- 9) - 9 \times - 8x - 9(- 9)\\&= 4(- 8) \times x^{1 + 1} - 9 \times 4 \times x - 9(- 8) \times x + 81\\&= - 36x + 72x - 32x^{2} + 81\\&= (- 36 + 72) \times x - 32x^{2} + 81\\&= - 32x^{2} + 36x + 81
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 32$, $b = 36$ et $c = 81$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (5x - 4)^{2}\\&= (5x - 4)(5x - 4)\\&= 5x \times 5x + 5x(- 4) - 4 \times 5x - 4(- 4)\\&= 5 \times 5 \times x^{1 + 1} - 4 \times 5 \times x - 4 \times 5 \times x + 16\\&= - 20x - 20x + 25x^{2} + 16\\&= (- 20 - 20) \times x + 25x^{2} + 16\\&= 25x^{2} - 40x + 16
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = - 40$ et $c = 16$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= - 1 + x(- 9x + 8)\\&= - 1 + x \times - 9x + x \times 8\\&= - 9x^{2} + 8x - 1
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 8$ et $c = - 1$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= 9x^{2} + x(2x + 10)\\&= 9x^{2} + x \times 2x + x \times 10\\&= 9x^{2} + 2x^{2} + 10x\\&= 9x^{2} + 2x^{2} + 10x\\&= (9 + 2) \times x^{2} + 10x\\&= 11x^{2} + 10x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 11$, $b = 10$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 9(x - 8)(x + 5)\\&= (9x + 9(- 8))(x + 5)\\&= (9x - 72)(x + 5)\\&= 9x \times x + 9x \times 5 - 72x - 72 \times 5\\&= 5 \times 9 \times x - 360 + 9x^{2} - 72x\\&= 45x - 360 + 9x^{2} - 72x\\&= 9x^{2} + 45x - 72x - 360\\&= 9x^{2} + (45 - 72) \times x - 360\\&= 9x^{2} - 27x - 360
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 27$ et $c = - 360$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 9(x - 6)(x + 7)\\&= (- 9x - 9(- 6))(x + 7)\\&= (- 9x + 54)(x + 7)\\&= - 9x \times x - 9x \times 7 + 54x + 54 \times 7\\&= 7(- 9) \times x + 378 - 9x^{2} + 54x\\&= - 63x + 378 - 9x^{2} + 54x\\&= - 9x^{2} - 63x + 54x + 378\\&= - 9x^{2} + (- 63 + 54) \times x + 378\\&= - 9x^{2} - 9x + 378
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 378$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 5x^{2} - 45x + 90$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 5 \times 1^{2} - 45 \times 1 + 90=5 \times 1 - 45 + 90=5 + 45=50
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\]
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\[
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f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 45(- 1) + 90=5 \times 1 + 45 + 90=5 + 135=140
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 10x - 45
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 37 & \geq 0 \\
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- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
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- 4x &\geq - 37 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{37}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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