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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill SAADI Yazid}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 8x - 2)(- 6x - 2)$
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\item $g(x) = (7x + 8)^{2}$
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\item $h(x) = - 7 + x(- 1x - 10)$
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\item $i(x) = 2x^{2} + x(6x + 6)$
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\item $j(x) = - 9(x - 9)(x + 10)$
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\item $k(x) = 4(x - 9)(x - 8)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 8x - 2)(- 6x - 2)\\&= - 8x \times - 6x - 8x(- 2) - 2 \times - 6x - 2(- 2)\\&= - 8(- 6) \times x^{1 + 1} - 2(- 8) \times x - 2(- 6) \times x + 4\\&= 16x + 12x + 48x^{2} + 4\\&= (16 + 12) \times x + 48x^{2} + 4\\&= 48x^{2} + 28x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 48$, $b = 28$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (7x + 8)^{2}\\&= (7x + 8)(7x + 8)\\&= 7x \times 7x + 7x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= 7 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8 \times 7 \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= 56x + 56x + 49x^{2} + 64\\&= (56 + 56) \times x + 49x^{2} + 64\\&= 49x^{2} + 112x + 64
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 49$, $b = 112$ et $c = 64$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= - 7 + x(- 1x - 10)\\&= - 7 + x(- x) + x(- 10)\\&= - x^{2} - 10x - 7
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 10$ et $c = - 7$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= 2x^{2} + x(6x + 6)\\&= 2x^{2} + x \times 6x + x \times 6\\&= 2x^{2} + 6x^{2} + 6x\\&= 2x^{2} + 6x^{2} + 6x\\&= (2 + 6) \times x^{2} + 6x\\&= 8x^{2} + 6x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = 6$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 9(x - 9)(x + 10)\\&= (- 9x - 9(- 9))(x + 10)\\&= (- 9x + 81)(x + 10)\\&= - 9x \times x - 9x \times 10 + 81x + 81 \times 10\\&= 10(- 9) \times x + 810 - 9x^{2} + 81x\\&= - 90x + 810 - 9x^{2} + 81x\\&= - 9x^{2} - 90x + 81x + 810\\&= - 9x^{2} + (- 90 + 81) \times x + 810\\&= - 9x^{2} - 9x + 810
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 810$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 4(x - 9)(x - 8)\\&= (4x + 4(- 9))(x - 8)\\&= (4x - 36)(x - 8)\\&= 4x \times x + 4x(- 8) - 36x - 36(- 8)\\&= - 8 \times 4 \times x + 288 + 4x^{2} - 36x\\&= - 32x + 288 + 4x^{2} - 36x\\&= 4x^{2} - 32x - 36x + 288\\&= 4x^{2} + (- 32 - 36) \times x + 288\\&= 4x^{2} - 68x + 288
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 68$ et $c = 288$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 3x^{2} - 39x + 90$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 3 \times 1^{2} - 39 \times 1 + 90=3 \times 1 - 39 + 90=3 + 51=54
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\]
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\[
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f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 39(- 1) + 90=3 \times 1 + 39 + 90=3 + 129=132
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 6x - 39
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 20m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(20 - 2x) = - 2x^{2} + 20x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 20x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 20$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 20 & \geq 0 \\
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- 4x + 20 + - 20 &\geq 0 + - 20 \\
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- 4x &\geq - 20 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 20}{- 4} \\
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x &\leq 5 \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $5$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $5$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(5) = 50$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% TeX-master: "master"
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