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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill BOUQUARD James}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (3x - 1)(9x - 1)$
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\item $g(x) = (- 2x + 4)^{2}$
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\item $h(x) = 2 + x(5x + 8)$
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\item $i(x) = - 1x^{2} + x(5x - 7)$
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\item $j(x) = - 8(x + 5)(x + 4)$
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\item $k(x) = 2(x + 8)(x + 3)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (3x - 1)(9x - 1)\\&= 3x \times 9x + 3x(- 1) - 1 \times 9x - 1(- 1)\\&= 3 \times 9 \times x^{1 + 1} - 1 \times 3 \times x - 1 \times 9 \times x + 1\\&= - 3x - 9x + 27x^{2} + 1\\&= (- 3 - 9) \times x + 27x^{2} + 1\\&= 27x^{2} - 12x + 1
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 27$, $b = - 12$ et $c = 1$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 2x + 4)^{2}\\&= (- 2x + 4)(- 2x + 4)\\&= - 2x \times - 2x - 2x \times 4 + 4 \times - 2x + 4 \times 4\\&= - 2(- 2) \times x^{1 + 1} + 4(- 2) \times x + 4(- 2) \times x + 16\\&= - 8x - 8x + 4x^{2} + 16\\&= (- 8 - 8) \times x + 4x^{2} + 16\\&= 4x^{2} - 16x + 16
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 16$ et $c = 16$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 2 + x(5x + 8)\\&= 2 + x \times 5x + x \times 8\\&= 5x^{2} + 8x + 2
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = 8$ et $c = 2$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 1x^{2} + x(5x - 7)\\&= - x^{2} + x \times 5x + x(- 7)\\&= - x^{2} + 5x^{2} - 7x\\&= - x^{2} + 5x^{2} - 7x\\&= (- 1 + 5) \times x^{2} - 7x\\&= 4x^{2} - 7x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 7$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 8(x + 5)(x + 4)\\&= (- 8x - 8 \times 5)(x + 4)\\&= (- 8x - 40)(x + 4)\\&= - 8x \times x - 8x \times 4 - 40x - 40 \times 4\\&= 4(- 8) \times x - 160 - 8x^{2} - 40x\\&= - 32x - 160 - 8x^{2} - 40x\\&= - 8x^{2} - 32x - 40x - 160\\&= - 8x^{2} + (- 32 - 40) \times x - 160\\&= - 8x^{2} - 72x - 160
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = - 72$ et $c = - 160$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 2(x + 8)(x + 3)\\&= (2x + 2 \times 8)(x + 3)\\&= (2x + 16)(x + 3)\\&= 2x \times x + 2x \times 3 + 16x + 16 \times 3\\&= 3 \times 2 \times x + 48 + 2x^{2} + 16x\\&= 6x + 48 + 2x^{2} + 16x\\&= 2x^{2} + 6x + 16x + 48\\&= 2x^{2} + (6 + 16) \times x + 48\\&= 2x^{2} + 22x + 48
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = 22$ et $c = 48$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 5x^{2} - 15x - 140$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 5 \times 1^{2} - 15 \times 1 - 140=5 \times 1 - 15 - 140=5 - 155=- 150
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\]
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\[
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f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 15(- 1) - 140=5 \times 1 + 15 - 140=5 - 125=- 120
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 10x - 15
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 21m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(21 - 2x) = - 2x^{2} + 21x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 21x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 21$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 21 & \geq 0 \\
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- 4x + 21 + - 21 &\geq 0 + - 21 \\
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- 4x &\geq - 21 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 21}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{21}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{21}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{21}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{21}{4}) = \dfrac{882}{16}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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