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7.2 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill \Var{ subject.Nom }}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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\Block{
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set expressions = {
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"f(x)": random_expression("({a}x + {b})*({c}x + {b})"),
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"g(x)": random_expression("({a}x + {b})^2"),
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"h(x)": random_expression("{c} + x*({a}x + {b})"),
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"i(x)": random_expression("{c}*x^2 + x*({a}x + {b})"),
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"j(x)": random_expression("{a}(x+{b})(x+{c})"),
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"k(x)": random_expression("{a}(x+{b})(x+{c})")
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}
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}
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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%- for (l, e) in expressions.items()
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\item $\Var{l} = \Var{e}$
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%- endfor
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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%- for (l, e) in expressions.items()
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\item
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\begin{align*}
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\Var{l} &= \Var{e.simplify().explain() | join('\\\\&= ')}
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\end{align*}
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%- set f = e.simplify()
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = \Var{f[2]}$, $b = \Var{f[1]}$ et $c = \Var{f[0]}$.
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%- endfor
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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%- set f = random_expression("{a}(x-{b})(x-{c})")
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%- set f_simpl = f.simplify()
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Soit $f(x) = \Var{f_simpl}$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = \Var{f_simpl(1).explain() | join('=')}
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\]
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\[
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f(-1) = \Var{f_simpl(-1).explain() | join('=')}
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\]
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\item Dérivation
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%- set fp = f_simpl.differentiate()
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\[
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f'(x) = \Var{fp}
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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%- set grillage = random_list(["a"], global_config={"min_max": (15, 40)})[0]
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Dans son garage, Jean a trouvé \Var{grillage}m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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%- set A = Polynomial.from_coefficients([0, grillage, -2])
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\[
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A(x) = x(\Var{grillage} - 2x) = \Var{A}
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\]
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%- set f = A
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%- set name = "A"
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On va donc étudier les variations de la fonction $\Var{name}(x) = \Var{f}$
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%- set f1 = f.differentiate()
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $\Var{name}'(x) = \Var{f1}$
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%- if f1[1] > 0
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\item On résout l'inéquation $\Var{name}'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $\Var{name}'$ est positive.
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%- set cst = -f1[0]
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%- set coef = f1[1]
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%- set racine = cst / coef
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\begin{align*}
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\Var{name}(x) & \geq 0 \\
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\Var{f1} & \geq 0 \\
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\Var{f1} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
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\Var{f1 + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
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|
\frac{\Var{f1 + cst}}{\Var{coef}} &\geq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
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x &\geq \Var{racine.simplify()} \\
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\end{align*}
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Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\Var{racine.simplify()}$
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%- set racine = racine.simplify()
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%- set img_racine = f(racine)
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\Var{racine}$ ,}%
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\tkzTabLine{, -, z, +, }
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|
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\Var{racine}) = \Var{img_racine}$ , +/}%
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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%- elif f1[1] < 0
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\item On résout l'inéquation $\Var{name}'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $\Var{name}'$ est positive.
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%- set cst = -f1[0]
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%- set coef = f1[1]
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%- set racine = cst / coef
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\begin{align*}
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\Var{name}(x) & \geq 0 \\
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|
\Var{f1} & \geq 0 \\
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\Var{f1} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
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\Var{f1 + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
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\frac{\Var{f1 + cst}}{\Var{coef}} &\leq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
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|
x &\leq \Var{racine.simplify()} \\
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|
\end{align*}
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Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\Var{racine.simplify()}$
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%- set racine = racine.simplify()
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%- set img_racine = f(racine)
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|
\item
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|
\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}
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|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\Var{racine}$ ,}%
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|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
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|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\Var{racine}) = \Var{img_racine}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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%- endif
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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