2022-2023/1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/index.rst

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Nombre dérivé et tangente
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:date: 2022-11-09
:modified: 2022-11-14
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: Dérivation
:category: 1ST
:summary: Point de vue local sur la dérivation.
Éléments du programme
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Contenus
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Point de vue local: approche graphique de la notion de nombre dérivé:
- sécantes à une courbe passant par un point donné ; taux de variation en un point ;
- tangente à une courbe en un point, définie comme position limite des sécantes passant par ce point ;
- nombre dérivé en un point défini comme limite du taux de variation en ce point ;
- équation déduite de la tangente en un point
Capacités attendues
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- Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
- Construire la tangente à une courbe en un point.
- Déterminer léquation réduite de la tangente à une courbe en un point.
Commentaires
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- La notion de nombre dérivé gagne à être illustrée dans des contextes variés :
- dans le cadre dun mouvement rectiligne, il est possible dinterpréter le taux de variation de la position du point mobile entre deux instants comme une vitesse moyenne et le nombre dérivé comme une vitesse instantanée ;
- dans un cadre économique, le nombre dérivé est relié au coût marginal.
- À laide dun logiciel de géométrie dynamique, on visualise la position limite des sécantes à une courbe en un point.
- Il est recommandé de ne pas donner la définition formelle de la notion de limite et de sen tenir à une approche intuitive à partir dexemples. Le vocabulaire et la notation correspondants sont introduits à loccasion du travail sur la notion de nombre dérivé.
- Il est possible de démontrer que la dérivée dune fonction monotone est de signe
Progression
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Plan de travail
.. image:: ./plan_de_travail.pdf
:height: 200px
:alt: Plan de travail
Étape 1: Taux d'accroissement
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Un ensemble de données économiques prises à des intervalles de temps différents. On demande aux élèves de représenter ces données sur un graphique et ils devront proposer une façon de classer les périodes en fonction celles qui ont vu une croissance la plus rapide.
On demandera ensuite aux élèves de trouver une façon visuelle et une façon calculatoire pour justifier ce classement.
Bilan: calculs et classement des périodes. Définition du taux d'accroissement et lien avec le calcul d'une vitesse.
.. image:: ./1B_taux_accroissement.pdf
:height: 200px
:alt: Définition du taux d'accroissement et de la vitesse moyenne
Étape 2: Tangente
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Trois exercices où les élèves trouvent des images, tracent des droites et calculent le taux d'accroissement. À chaque fois, on part d'un seul point puis on se rapproche de plus en plus.
Un exercice se base sur la lecture graphique, le suivant sur une formule et le dernier sur un programme qui calcul des images.
Bilan: Notion de tangente et taux de variations d'une fonction
.. image:: ./2B_tangente.pdf
:height: 200px
:alt: Définition de la tangente
Étape 3: Nombre dérivé
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Lire graphiquement un coefficient directeur d'une droite (d'une tangente plus particulièrement), tracer une tangente à partir du nombre dérivé.
Étape 4: Programmation et hamster
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Activité à ceux qui auront avancés vite.
`Activité avec de programmation python <./4E_hamster.ipynb>`_ , où l'on reprend un peu tout