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2015-11-15 17:30:53 +00:00
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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{%
~\\
\newbox\tempbox%
\begin{lrbox}{\tempbox}\begin{minipage}{\linewidth}%
}{%
\end{minipage}\end{lrbox}%
\medskip%
\fbox{\usebox{\tempbox}}%
\medskip%
}
% Title Page
\title{DM 1}
\date{Novembre 2015}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\begin{document}
\maketitle
Sujet numéro 01
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\section{Exercice}
Dans un sac, il y a 20 bonbons à la menthe, 40 bonbons à la fraise et 2 au chocolat. On choisit un bonbon au hasard dans ce sac.
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon à la fraise.
\begin{solution}
$T($ tirer un bonbon à la fraise $) = \dfrac{20}{62}$
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\end{solution}
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon qui n'est pas au chocolat.
\begin{solution}
$T($ tirer un bonbon à la fraise ou à la menthe $) = \dfrac{60}{62}$
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\end{solution}
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon au réglisse.
\begin{solution}
$T($ tirer un bonbon au réglisse $) = \dfrac{0}{62} = 0$
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\end{solution}
\item Dans un autre sac, on place 25 bonbons à la menthe et 34 bonbons à la fraise. Lise préfère les bonbons à la menthe. Dans quel sac doit-elle tirer un bonbon pour avoir le plus de chance d'avoir un bonbon qu'elle préfère?
\begin{solution}
Elle prefera tirer dans le deuxième sac car
\begin{eqnarray*}
\frac{20}{62} & < & \frac{25}{34}
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\end{eqnarray*}
\end{solution}
\end{enumerate}
\section{Exercice}
\begin{enumerate}
\item Compléter les pointillés pour qu'il y est bien égalité.
\hspace{-1cm}
\begin{center}
%
$\dfrac{9}{6} = \dfrac{\ldots}{18}$
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\hfill
%
$\dfrac{7}{6} = \dfrac{\ldots}{48}$
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\hfill
%
$\dfrac{\cdots}{48} = \dfrac{5}{6}$
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\hfill
%
$\dfrac{4}{3} = \dfrac{32}{\cdots}$
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\end{center}
\item Faire les calculs suivants en détaillant les étapes (penser à simplifier les fractions quand c'est possible).
\begin{enumerate}
\item $A = \frac{ 10 }{ 2 } + \frac{ 8 }{ 2 }$
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\begin{solution}
\begin{eqnarray*}
A & = & \frac{ 10 }{ 2 } + \frac{ 8 }{ 2 } \\
A & = & \frac{ 10 + 8 }{ 2 } \\
A & = & 9
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\end{eqnarray*}
\end{solution}
\item $B = \frac{ 6 }{ 7 } + \frac{ -5 }{ 7 }$
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\begin{solution}
\begin{eqnarray*}
B & = & \frac{ 6 }{ 7 } + \frac{ -5 }{ 7 } \\
B & = & \frac{ 6 - 5 }{ 7 } \\
B & = & \frac{ 1 }{ 7 }
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\end{eqnarray*}
\end{solution}
\item $C = \frac{ 1 }{ 7 } + \frac{ 8 }{ 63 }$
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\begin{solution}
\begin{eqnarray*}
C & = & \frac{ 1 }{ 7 } + \frac{ 8 }{ 63 } \\
C & = & \frac{ 1 \times 9 }{ 7 \times 9 } + \frac{ 8 \times 1 }{ 63 \times 1 } \\
C & = & \frac{ 9 }{ 63 } + \frac{ 8 }{ 63 } \\
C & = & \frac{ 9 + 8 }{ 63 } \\
C & = & \frac{ 17 }{ 63 }
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\end{eqnarray*}
\end{solution}
\item $D = \frac{ 3 }{ 2 } + \frac{ -3 }{ 16 }$
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\begin{solution}
\begin{eqnarray*}
D & = & \frac{ 3 }{ 2 } + \frac{ -3 }{ 16 } \\
D & = & \frac{ 3 \times 8 }{ 2 \times 8 } + \frac{ -3 \times 1 }{ 16 \times 1 } \\
D & = & \frac{ 24 }{ 16 } + \frac{ -3 }{ 16 } \\
D & = & \frac{ 24 - 3 }{ 16 } \\
D & = & \frac{ 21 }{ 16 }
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\end{eqnarray*}
\end{solution}
\item $E = \frac{ 4 }{ 5 } \times 6$
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\begin{solution}
\begin{eqnarray*}
E & = & \frac{ 4 }{ 5 } \times 6 \\
E & = & \frac{ 4 \times 6 }{ 5 } \\
E & = & \frac{ 24 }{ 5 }
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\item $F = \frac{ 3 }{ 7 } \times \frac{ 9 }{ 8 }$
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\begin{solution}
\begin{eqnarray*}
F & = & \frac{ 3 }{ 7 } \times \frac{ 9 }{ 8 } \\
F & = & \frac{ 9 }{ 8 } \times \frac{ 3 }{ 7 } \\
F & = & \frac{ 9 \times 3 }{ 8 \times 7 } \\
F & = & \frac{ 27 }{ 56 }
2015-11-15 17:30:53 +00:00
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Exercice}
Dans la figure suivante, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, $AO = 8$, $OD = 15$, $CD = 2$ et $OB = 18$.
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\includegraphics[scale=0.4]{thales1}
2015-11-15 17:30:53 +00:00
Calculer les longueurs $OC$ et $AB$.
\begin{solution}
On sait que
\begin{itemize}
\item $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
\item $A$,$O$ et $D$ sont alignés
\item $B$,$O$ et $C$ sont alignés
\end{itemize}
Donc d'après le théorème de Thalès
\begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
\hline
Triangle $OAB$ & $AO = 8$ & $OB = 18$ & $AB $ \\
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\hline
Triangle $OCD$ & $DO = 15$ & $OC $ & $CD = 2$ \\
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\hline
\end{tabular}
est un tableau de proportionnalité.
On en déduit que
\begin{eqnarray*}
OC & = & \frac{DO \times OB}{AO} = \frac{15 \times 18}{8} = 33.75
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\end{eqnarray*}
Et que
\begin{eqnarray*}
AB & = & \frac{CD \times AO}{DO} = \frac{2 \times 8}{15} = 1.0666666666666667
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\end{eqnarray*}
\end{solution}
\end{document}
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