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Lafrite 2015-09-13 06:59:26 +02:00
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117
example/1_2ndDeg.tex
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@ -1,117 +0,0 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{Calcul littéral et statistiques}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section{Polynômes}
Résoudre l'équation suivante
\begin{eqnarray*}
3 x^{ 2 } + 6 x + 3 & = & 0
\end{eqnarray*}
Solution:
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 3 x^{ 2 } + 6 x + 3$.
\begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & 6^{ 2 } - 4 \times 3 \times 3 \\
\Delta & = & 36 - 4 \times 9 \\
\Delta & = & 36 - 36 \\
\Delta & = & 0
\end{eqnarray*}
Comme $\Delta = 0$ donc $P$ a une racine
\begin{eqnarray*}
x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2\times 3} = -1 \\
\end{eqnarray*}
La solution de $3 x^{ 2 } + 6 x + 3 = 0$ est donc $\mathcal{S} = \left\{ -1\right\}$
\bigskip
~\dotfill
\bigskip
Résoudre l'équation suivante
\begin{eqnarray*}
x^{ 2 } + 4 x + 2 & = & - 9 x^{ 2 } + 9 x + 5
\end{eqnarray*}
Solution:
On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c = 0$.
\begin{align*}
& & x^{ 2 } + 4 x + 2 = - 9 x^{ 2 } + 9 x + 5 \\
& \Leftrightarrow & x^{ 2 } + 4 x + 2 - ( - 9 x^{ 2 } + 9 x + 5 )= 0 \\
& \Leftrightarrow & x^{ 2 } + 4 x + 2 + 9 x^{ 2 } - 9 x - 5= 0 \\
& \Leftrightarrow & ( 1 + 9 ) x^{ 2 } + ( 4 - 9 ) x + 2 - 5= 0 \\
& \Leftrightarrow & 10 x^{ 2 } - 5 x - 3= 0
\end{align*}
On cherche maintenant à résoudre l'équation $10 x^{ 2 } - 5 x - 3 = 0$.
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 10 x^{ 2 } - 5 x - 3$.
\begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & -5^{ 2 } - 4 \times 10 \times ( -3 ) \\
\Delta & = & 25 - 4 \times ( -30 ) \\
\Delta & = & 25 - ( -120 ) \\
\Delta & = & 145
\end{eqnarray*}
comme $\Delta = 145 > 0$ donc $P$ a deux racines
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{145}}{2 \times 10} = - \frac{\sqrt{145}}{20} + \frac{1}{4} \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{145}}{2 \times 10} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{145}}{20}
\end{eqnarray*}
Les solutions de l'équation $10 x^{ 2 } - 5 x - 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{145}}{20} + \frac{1}{4}; \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{145}}{20} \right\}$
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

256
example/1_corr_DM_0302.tex
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@ -26,78 +26,72 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 & > &0 \\ 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 & > &0 \\
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
\begin{solution} \begin{solution}
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 8 x^{ 2 } + 5 x - 2$. On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 6 x^{ 2 } + 7 x + 7$.
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & 5^{ 2 } - 4 \times 8 ( -2 ) \\ \Delta & = & 7^{ 2 } - 4 \times 6 \times 7 \\
\Delta & = & 25 - 4 ( -16 ) \\ \Delta & = & 49 - 4 \times 42 \\
\Delta & = & 25 - ( -64 ) \\ \Delta & = & 49 - 168 \\
\Delta & = & 89 \Delta & = & -119
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
comme $\Delta = 89 > 0$ donc $P$ a deux racines Alors $\Delta = -119 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine.
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{89}}{2 \times 8} = -0.9 \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{89}}{2 \times 8} = 0.28
\end{eqnarray*}
Comme $a = 8$, on en déduit le tableau de signe de $P$ Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $P$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, $P$/2}% % {$x$/1, $P$/2}%
{$-\infty$, -0.9 , 0.28 , $+\infty$} % {$-\infty$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,} % \tkzTabLine{, +,}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
\end{solution} \end{solution}
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
- 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 & \leq &0 \\ - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 & \leq &0 \\
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
\begin{solution} \begin{solution}
On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4$. On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1$.
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & 2^{ 2 } - 4 ( -3 ) \times 4 \\ \Delta & = & 10^{ 2 } - 4 -6 \times 1 \\
\Delta & = & 4 - 4 ( -12 ) \\ \Delta & = & 100 - 4 \times ( -6 ) \\
\Delta & = & 4 - ( -48 ) \\ \Delta & = & 100 - ( -24 ) \\
\Delta & = & 52 \Delta & = & 124
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
comme $\Delta = 52 > 0$ donc $Q$ a deux racines comme $\Delta = 124 > 0$ donc $Q$ a deux racines
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{52}}{2 \times -3} = 1.54 \\ x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{124}}{2 \times -6} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{52}}{2 \times -3} = -0.87 x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{124}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6}
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
Comme $a = -3$, on en déduit le tableau de signe de $Q$ Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, $Q$/2}% % {$x$/1, $Q$/2}%
{$-\infty$, -0.87 , 1.54 , $+\infty$} % {$-\infty$, - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6} , \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} , $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, z, +, z , -,} % \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
\end{solution} \end{solution}
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 & \geq & - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 & \geq & - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
@ -105,43 +99,37 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\begin{solution} \begin{solution}
On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$. On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$.
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 \geq - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 & \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 - (- 3 x^{ 2 } + 2 x + 4) \geq 0 \\ 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 \geq - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 & \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 - (- 6 x^{ 2 } + 10 x + 1) \geq 0 \\
& \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 - ( - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 )\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 - ( - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 )\geq 0 \\
& \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 + 3 x^{ 2 } - 2 x - 4\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 + 6 x^{ 2 } - 10 x - 1\geq 0 \\
& \Leftrightarrow & ( 8 + 3 ) x^{ 2 } + ( 5 + ( -2 ) ) x + ( -2 ) + ( -4 )\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & ( 6 + 6 ) x^{ 2 } + ( 7 - 10 ) x + 7 - 1\geq 0 \\
& \Leftrightarrow & 11 x^{ 2 } + 3 x - 6\geq 0 & \Leftrightarrow & 12 x^{ 2 } - 3 x + 6\geq 0
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 11 x^{ 2 } + 3 x - 6$. Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 12 x^{ 2 } - 3 x + 6$.
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 \times 11 ( -6 ) \\ \Delta & = & -3^{ 2 } - 4 \times 12 \times 6 \\
\Delta & = & 9 - 4 ( -66 ) \\ \Delta & = & 9 - 4 \times 72 \\
\Delta & = & 9 - ( -264 ) \\ \Delta & = & 9 - 288 \\
\Delta & = & 273 \Delta & = & -279
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
comme $\Delta = 273 > 0$ donc $R$ a deux racines Alors $\Delta = -279 < 0$ donc $R$ n'a pas de racine.
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{273}}{2 \times 11} = -0.89 \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{273}}{2 \times 11} = 0.61
\end{eqnarray*}
Comme $a = 11$, on en déduit le tableau de signe de $R$ Comme $a = 12$, on en déduit le tableau de signe de $R$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, $R$/2}% % {$x$/1, $R$/2}%
{$-\infty$, -0.89 , 0.61 , $+\infty$} % {$-\infty$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,} % \tkzTabLine{, +,}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
@ -153,83 +141,95 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\begin{parts} \begin{parts}
\part $f:x\mapsto - 10 x^{ 3 } + x^{ 2 } - 7 x + 5$ \part $f:x\mapsto - 2 x^{ 3 } - 4 x^{ 2 } + x + 8$
\begin{solution} \begin{solution}
Pour avoir les variations de $f$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ Pour avoir les variations de $f$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
f'(x) & = & 3 ( -10 ) x^{ 2 } + 2 \times 1 x + 1 ( -7 ) \\ f'(x) & = & 3 \times ( -2 ) x^{ 2 } + 2 \times ( -4 ) x + 1 \times 1 \\
f'(x) & = & - 30 x^{ 2 } + 2 x - 7 f'(x) & = & - 6 x^{ 2 } - 8 x + 1
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
On étudie le signe de $P'$ On étudie le signe de $P'$
Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 30 x^{ 2 } + 2 x - 7$. Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 6 x^{ 2 } - 8 x + 1$.
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & 2^{ 2 } - 4 ( -30 ) ( -7 ) \\ \Delta & = & -8^{ 2 } - 4 -6 \times 1 \\
\Delta & = & 4 - 4 \times 210 \\ \Delta & = & 64 - 4 \times ( -6 ) \\
\Delta & = & 4 - 840 \\ \Delta & = & 64 - ( -24 ) \\
\Delta & = & -836 \Delta & = & 88
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
Alors $\Delta = -836 < 0$ donc $f'$ n'a pas de racine. comme $\Delta = 88 > 0$ donc $f'$ a deux racines
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3}
\end{eqnarray*}
Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $f'$ Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $f'$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, Signe de $f' $/2}% % {$x$/1, Signe de $f' $/2}%
{$-\infty$, $+\infty$} % {$-\infty$, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} , - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3} , $+\infty$}
\tkzTabLine{, -,} % \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
\end{solution} \end{solution}
\part $g:x\mapsto - 9 x^{ 3 } - 8 x^{ 2 } - 5 x - 2$ \part $g:x\mapsto - 10 x^{ 3 } - 6 x^{ 2 } + 8 x + 7$
\begin{solution} \begin{solution}
Pour avoir les variations de $g$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ Pour avoir les variations de $g$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
g'(x) & = & 3 ( -9 ) x^{ 2 } + 2 ( -8 ) x + 1 ( -5 ) \\ g'(x) & = & 3 \times ( -10 ) x^{ 2 } + 2 \times ( -6 ) x + 1 \times 8 \\
g'(x) & = & - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5 g'(x) & = & - 30 x^{ 2 } - 12 x + 8
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
On étudie le signe de $P'$ On étudie le signe de $P'$
Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5$. Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 30 x^{ 2 } - 12 x + 8$.
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & ( -16 )^{ 2 } - 4 ( -27 ) ( -5 ) \\ \Delta & = & -12^{ 2 } - 4 -30 \times 8 \\
\Delta & = & 256 - 4 \times 135 \\ \Delta & = & 144 - 4 \times ( -240 ) \\
\Delta & = & 256 - 540 \\ \Delta & = & 144 - ( -960 ) \\
\Delta & = & -284 \Delta & = & 1104
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
Alors $\Delta = -284 < 0$ donc $g'$ n'a pas de racine. comme $\Delta = 1104 > 0$ donc $g'$ a deux racines
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5}
\end{eqnarray*}
Comme $a = -27$, on en déduit le tableau de signe de $g'$ Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $g'$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, Signe de $g' $/2}% % {$x$/1, Signe de $g' $/2}%
{$-\infty$, $+\infty$} % {$-\infty$, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} , - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5} , $+\infty$}
\tkzTabLine{, -,} % \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
\end{solution} \end{solution}
\part $h:x\mapsto - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - f(x)$ \part $h:x\mapsto - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - f(x)$
@ -237,51 +237,51 @@ g'(x) & = & - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5
\begin{solution} \begin{solution}
On commence par simplifier l'expression de $h$ On commence par simplifier l'expression de $h$
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - f(x) \\ h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - f(x) \\
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - ( - 10 x^{ 3 } + x^{ 2 } - 7 x + 5 ) \\ h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - ( - 2 x^{ 3 } - 4 x^{ 2 } + x + 8 ) \\
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 + 10 x^{ 3 } - x^{ 2 } + 7 x - 5 \\ h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 + 2 x^{ 3 } + 4 x^{ 2 } - x - 8 \\
h(x) & = & 10 x^{ 3 } + ( ( -7 ) + ( -1 ) ) x^{ 2 } + ( ( -9 ) + 7 ) x + 3 + ( -5 ) \\ h(x) & = & 2 x^{ 3 } + ( -7 + 4 ) x^{ 2 } + ( -5 - 1 ) x - 5 - 8 \\
h(x) & = & 10 x^{ 3 } - 8 x^{ 2 } - 2 x - 2 h(x) & = & 2 x^{ 3 } - 3 x^{ 2 } - 6 x - 13
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
Pour avoir les variations de $h$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ Pour avoir les variations de $h$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
h'(x) & = & 3 \times 10 x^{ 2 } + 2 ( -8 ) x + 1 ( -2 ) \\ h'(x) & = & 3 \times 2 x^{ 2 } + 2 \times ( -3 ) x + 1 \times ( -6 ) \\
h'(x) & = & 30 x^{ 2 } - 16 x - 2 h'(x) & = & 6 x^{ 2 } - 6 x - 6
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
On étudie le signe de $P'$ On étudie le signe de $P'$
Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 30 x^{ 2 } - 16 x - 2$. Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 6 x^{ 2 } - 6 x - 6$.
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & ( -16 )^{ 2 } - 4 \times 30 ( -2 ) \\ \Delta & = & -6^{ 2 } - 4 \times 6 \times ( -6 ) \\
\Delta & = & 256 - 4 ( -60 ) \\ \Delta & = & 36 - 4 \times ( -36 ) \\
\Delta & = & 256 - ( -240 ) \\ \Delta & = & 36 - ( -144 ) \\
\Delta & = & 496 \Delta & = & 180
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
comme $\Delta = 496 > 0$ donc $h'$ a deux racines comme $\Delta = 180 > 0$ donc $h'$ a deux racines
\begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{496}}{2 \times 30} = -0.1 \\ x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{180}}{2 \times 6} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{496}}{2 \times 30} = 0.64 x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{180}}{2 \times 6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
Comme $a = 30$, on en déduit le tableau de signe de $h'$ Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $h'$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, Signe de $h' $/2}% % {$x$/1, Signe de $h' $/2}%
{$-\infty$, -0.1 , 0.64 , $+\infty$} % {$-\infty$, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} , \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} , $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,} % \tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
\end{solution} \end{solution}
\end{parts} \end{parts}

114
example/1_example.tex
View File

@ -1,114 +0,0 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\RequirePackage[utf8x]{inputenc}
\RequirePackage[francais]{babel}
\RequirePackage{amssymb}
\RequirePackage{amsmath}
\RequirePackage{amsfonts}
\RequirePackage{subfig}
\RequirePackage{graphicx}
\RequirePackage{color}
% Title Page
\title{Calcul littéral et statistiques}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section{Polynômes}
Résoudre l'équation suivante
\begin{eqnarray*}
- 3 x^{ 2 } + 6 x - 3 & = & 0
\end{eqnarray*}
Solution:
On commence par calculer le discriminant
\begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & 6^{ 2 } - 4 \times ( -3 ) \times ( -3 ) \\
\Delta & = & 36 - ( -12 ) \times ( -3 ) \\
\Delta & = & 36 - 36 \\
\Delta & = & 0
\end{eqnarray*}
Alors $\Delta = 0 = 0$ donc il y a une solution
\begin{eqnarray*}
x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{ -6 }{ 2 \times ( -3 ) } = \frac{ -6 }{ -6 } = \frac{ 6 }{ 6 } = 1 = \frac{ -6 }{ -6 }
\end{eqnarray*}
Les solutions sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{ -6 }{ -6 }\right\}$
\bigskip
~\dotfill
\bigskip
Résoudre l'équation suivante
\begin{eqnarray*}
- 7 x^{ 2 } - 7 x + 9 & = & - 2 x^{ 2 } + x - 9
\end{eqnarray*}
Solution:
On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c = 0$.
\begin{eqnarray*}
- 7 x^{ 2 } - 7 x + 9 = - 2 x^{ 2 } + x - 9 & \Leftrightarrow & - 7 x^{ 2 } - 7 x + 9 - (- 2 x^{ 2 } + x - 9) = 0 \\
& \Leftrightarrow & - 7 x^{ 2 } + 2 x^{ 2 } - 7 x - x + 9 + 9= 0 \\
& \Leftrightarrow & ( ( -7 ) + 2 ) x^{ 2 } + ( ( -7 ) + ( -1 ) ) x + 9 + 9= 0 \\
& \Leftrightarrow & - 5 x^{ 2 } - 8 x + 18= 0
\end{eqnarray*}
On cherche maintenant à résoudre l'équation $- 5 x^{ 2 } - 8 x + 18 = 0$.
On commence par calculer le discriminant
\begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & ( -8 )^{ 2 } - 4 \times ( -5 ) \times 18 \\
\Delta & = & 64 - ( -20 ) \times 18 \\
\Delta & = & 64 - ( -360 ) \\
\Delta & = & 424
\end{eqnarray*}
Alors $\Delta = 424 > 0$ donc il y a deux solutions
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{424}}{2 \times -5} = 1.26 \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{424}}{2 \times -5} = -2.86
\end{eqnarray*}
Les solutions sont donc $\mathcal{S} = \left\{ 1.26; -2.86 \right\}$
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

0
example/1_play.tex
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BIN
example/all_corr_DM_0302.pdf
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Binary file not shown.

96
example/tpl_corr_DM_0302.tex
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@ -58,14 +58,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\Block{endif} \Block{endif}
Comme $a = \Var{P.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P.name}$ Comme $a = \Var{P.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P.name}$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, $P$/2}% % {$x$/1, $P$/2}%
\Var{P.tbl_sgn_header()} % \Var{P.tbl_sgn_header()}
\Var{P.tbl_sgn()} % \Var{P.tbl_sgn()}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
\end{solution} \end{solution}
@ -100,14 +100,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\Block{endif} \Block{endif}
Comme $a = \Var{Q.a}$, on en déduit le tableau de signe de $Q$ Comme $a = \Var{Q.a}$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, $Q$/2}% % {$x$/1, $Q$/2}%
\Var{Q.tbl_sgn_header()} % \Var{Q.tbl_sgn_header()}
\Var{Q.tbl_sgn()} % \Var{Q.tbl_sgn()}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
\end{solution} \end{solution}
@ -154,14 +154,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\Block{endif} \Block{endif}
Comme $a = \Var{R.a}$, on en déduit le tableau de signe de $R$ Comme $a = \Var{R.a}$, on en déduit le tableau de signe de $R$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, $R$/2}% % {$x$/1, $R$/2}%
\Var{R.tbl_sgn_header()} % \Var{R.tbl_sgn_header()}
\Var{R.tbl_sgn()} % \Var{R.tbl_sgn()}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
@ -211,14 +211,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\Block{endif} \Block{endif}
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$ Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}% % {$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
\Var{P1.tbl_sgn_header()} % \Var{P1.tbl_sgn_header()}
\Var{P1.tbl_sgn()} % \Var{P1.tbl_sgn()}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
\end{solution} \end{solution}
@ -263,14 +263,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\Block{endif} \Block{endif}
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$ Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}% % {$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
\Var{P1.tbl_sgn_header()} % \Var{P1.tbl_sgn_header()}
\Var{P1.tbl_sgn()} % \Var{P1.tbl_sgn()}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
\end{solution} \end{solution}
@ -324,14 +324,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
\Block{endif} \Block{endif}
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$ Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
\begin{center} %\begin{center}
\begin{tikzpicture} % \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]% % \tkzTabInit[espcl=2]%
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}% % {$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
\Var{P1.tbl_sgn_header()} % \Var{P1.tbl_sgn_header()}
\Var{P1.tbl_sgn()} % \Var{P1.tbl_sgn()}
\end{tikzpicture} % \end{tikzpicture}
\end{center} %\end{center}
\end{solution} \end{solution}
\end{parts} \end{parts}