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\usepackage{color}
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\usepackage{gensymb}
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\usepackage{ifthen, calc}
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\usepackage{tabularx}
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\newenvironment{solution}
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{%
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~\\
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\newbox\tempbox%
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\begin{lrbox}{\tempbox}\begin{minipage}{\linewidth}%
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\end{minipage}\end{lrbox}%
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\medskip%
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\fbox{\usebox{\tempbox}}%
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\medskip%
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}
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% Title Page
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\title{DM 1}
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\date{Novembre 2015}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\begin{document}
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\maketitle
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Sujet numéro 1
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\section{Exercice}
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||||
Dans un sac, il y a 20 bonbons à la menthe, 30 bonbons à la fraise et 5 au chocolat. On choisit un bonbon au hasard dans ce sac.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon à la fraise.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$T($ tirer un bonbon à la fraise $) = \dfrac{20}{55}$
|
||||
\end{solution}
|
||||
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon qui n'est pas au chocolat.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
|
||||
$T($ tirer un bonbon à la fraise $) = \dfrac{50}{55}$
|
||||
\end{solution}
|
||||
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon au réglisse.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$T($ tirer un bonbon au réglisse $) = \dfrac{0}{55} = 0$
|
||||
\end{solution}
|
||||
\item Dans un autre sac, on place 25 bonbons à la menthe et 34 bonbons à la fraise. Lise préfère les bonbons à la menthe. Dans quel sac doit-elle tirer un bonbon pour avoir le plus de chance d'avoir un bonbon qu'elle préfère?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
|
||||
Elle prefera tirer dans le deuxième sac car
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{20}{55} & < & \frac{25}{34}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
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|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
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\section{Exercice}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Compléter les pointillés pour qu'il y est bien égalité.
|
||||
\hspace{-1cm}
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||||
\begin{center}
|
||||
%
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||||
$\dfrac{4}{8} = \dfrac{\ldots}{16}$
|
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\hfill
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%
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||||
$\dfrac{5}{2} = \dfrac{\ldots}{14}$
|
||||
\hfill
|
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%
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||||
$\dfrac{\cdots}{80} = \dfrac{5}{8}$
|
||||
\hfill
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%
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||||
$\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{\cdots}$
|
||||
\end{center}
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||||
\item Faire les calculs suivants en détaillant les étapes (penser à simplifier les fractions quand c'est possible).
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||||
\begin{enumerate}
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||||
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||||
\item $A = \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 6 }{ 4 }$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
A & = & \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 6 }{ 4 } \\
|
||||
A & = & \frac{ 1 + 6 }{ 4 } \\
|
||||
A & = & \frac{ 7 }{ 4 }
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\item $B = \frac{ -10 }{ 4 } + \frac{ -8 }{ 4 }$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
B & = & \frac{ -10 }{ 4 } + \frac{ -8 }{ 4 } \\
|
||||
B & = & \frac{ -10 - 8 }{ 4 } \\
|
||||
B & = & \frac{ -18 }{ 4 } \\
|
||||
B & = & \frac{ -9 \times 2 }{ 2 \times 2 } \\
|
||||
B & = & \frac{ -9 }{ 2 }
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
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||||
\item $C = \frac{ 8 }{ 2 } + \frac{ 4 }{ 10 }$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
C & = & \frac{ 8 }{ 2 } + \frac{ 4 }{ 10 } \\
|
||||
C & = & \frac{ 8 \times 5 }{ 2 \times 5 } + \frac{ 4 \times 1 }{ 10 \times 1 } \\
|
||||
C & = & \frac{ 40 }{ 10 } + \frac{ 4 }{ 10 } \\
|
||||
C & = & \frac{ 40 + 4 }{ 10 } \\
|
||||
C & = & \frac{ 44 }{ 10 } \\
|
||||
C & = & \frac{ 22 \times 2 }{ 5 \times 2 } \\
|
||||
C & = & \frac{ 22 }{ 5 }
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\item $D = \frac{ 4 }{ 6 } + \frac{ -4 }{ 48 }$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
D & = & \frac{ 4 }{ 6 } + \frac{ -4 }{ 48 } \\
|
||||
D & = & \frac{ 4 \times 8 }{ 6 \times 8 } + \frac{ -4 \times 1 }{ 48 \times 1 } \\
|
||||
D & = & \frac{ 32 }{ 48 } + \frac{ -4 }{ 48 } \\
|
||||
D & = & \frac{ 32 - 4 }{ 48 } \\
|
||||
D & = & \frac{ 28 }{ 48 } \\
|
||||
D & = & \frac{ 7 \times 4 }{ 12 \times 4 } \\
|
||||
D & = & \frac{ 7 }{ 12 }
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
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||||
|
||||
\item $E = \frac{ 4 }{ 5 } \times 2$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E & = & \frac{ 4 }{ 5 } \times 2 \\
|
||||
E & = & \frac{ 4 \times 2 }{ 5 } \\
|
||||
E & = & \frac{ 8 }{ 5 }
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\item $F = \frac{ 6 }{ 4 } \times \frac{ 9 }{ 9 }$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
F & = & \frac{ 6 }{ 4 } \times \frac{ 9 }{ 9 } \\
|
||||
F & = & \frac{ 9 }{ 9 } \times \frac{ 6 }{ 4 } \\
|
||||
F & = & \frac{ 9 \times 2 \times 3 }{ 3 \times 3 \times 4 } \\
|
||||
F & = & \frac{ 9 \times 6 }{ 9 \times 4 } \\
|
||||
F & = & \frac{ 54 }{ 36 } \\
|
||||
F & = & \frac{ 3 \times 18 }{ 2 \times 18 } \\
|
||||
F & = & \frac{ 3 }{ 2 }
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
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||||
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||||
\section{Exercice}
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||||
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||||
Dans la figure suivante, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, $AO = 3$, $OD = 9$, $CD = 18$ et $OB = 2$.
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||||
|
||||
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||||
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||||
\includegraphics[scale=0.4]{thales1}
|
||||
|
||||
Calculer les longueurs $OC$ et $AB$.
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On sait que
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
|
||||
\item $A$,$O$ et $D$ sont alignés
|
||||
\item $B$,$O$ et $C$ sont alignés
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Donc d'après le théorème de Thalès
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Triangle $OAB$ & $AO = 3$ & $OB = 2$ & $AB $ \\
|
||||
\hline
|
||||
Triangle $OCD$ & $DO = 9$ & $OC $ & $CD = 18$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
est un tableau de proportionnalité.
|
||||
|
||||
On en déduit que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
OC & = & \frac{DO \times OB}{AO} = \frac{9 \times 2}{3} = 6.0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
AB & = & \frac{CD \times AO}{DO} = \frac{18 \times 3}{9} = 6.0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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191
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191
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@ -0,0 +1,191 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
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\usepackage[francais]{babel}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{subfig}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{color}
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||||
\usepackage{gensymb}
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\usepackage{ifthen, calc}
|
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\usepackage{tabularx}
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||||
\newenvironment{solution}
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||||
{%
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||||
~\\
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||||
\newbox\tempbox%
|
||||
\begin{lrbox}{\tempbox}\begin{minipage}{\linewidth}%
|
||||
}{%
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||||
\end{minipage}\end{lrbox}%
|
||||
\medskip%
|
||||
\fbox{\usebox{\tempbox}}%
|
||||
\medskip%
|
||||
}
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% Title Page
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||||
\title{DM 1}
|
||||
\date{Novembre 2015}
|
||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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||||
|
||||
\begin{document}
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||||
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||||
\maketitle
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||||
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||||
Sujet numéro \Var{infos.num}
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||||
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||||
|
||||
\section{Exercice}
|
||||
\Block{set a,b,c = random_str("{a*d},{b*d},{c}", conditions = ["{a} != {b}", "{a} > 1", "{b}>1", "{c} > 1", "{d}>1"]).split(',')}
|
||||
\Block{set total = int(a) + int(b) + int(c)}
|
||||
Dans un sac, il y a \Var{a} bonbons à la menthe, \Var{b} bonbons à la fraise et \Var{c} au chocolat. On choisit un bonbon au hasard dans ce sac.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon à la fraise.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$T($ tirer un bonbon à la fraise $) = \dfrac{\Var{a}}{\Var{total}}$
|
||||
\end{solution}
|
||||
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon qui n'est pas au chocolat.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\Block{set nonChoco = int(a) + int(b)}
|
||||
$T($ tirer un bonbon à la fraise ou à la menthe $) = \dfrac{\Var{nonChoco}}{\Var{total}}$
|
||||
\end{solution}
|
||||
\item Calculer la probabilité de tirer un bonbon au réglisse.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$T($ tirer un bonbon au réglisse $) = \dfrac{0}{\Var{total}} = 0$
|
||||
\end{solution}
|
||||
\item Dans un autre sac, on place 25 bonbons à la menthe et 34 bonbons à la fraise. Lise préfère les bonbons à la menthe. Dans quel sac doit-elle tirer un bonbon pour avoir le plus de chance d'avoir un bonbon qu'elle préfère?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\Block{if (int(a)/total) > (25/34)}
|
||||
Elle prefera tirer dans le premier sac car
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{\Var{a}{\Var{total}} & > & \frac{25}{34}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\Block{else}
|
||||
Elle prefera tirer dans le deuxième sac car
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{\Var{a}}{\Var{total}} & < & \frac{25}{34}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\Block{endif}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Exercice}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Compléter les pointillés pour qu'il y est bien égalité.
|
||||
\hspace{-1cm}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\Block{set a,b,c = random_str("{a},{b},{b*c}", conditions = ["{a} != {b}", "{a} > 1", "{b}>1","{c}>1"]).split(',')}%
|
||||
$\dfrac{\Var{a}}{\Var{b}} = \dfrac{\ldots}{\Var{c}}$
|
||||
\hfill
|
||||
\Block{set a,b,c = random_str("{a},{b},{b*c}", conditions = ["{a} != {b}", "{a} > 1", "{b}>1","{c}>1"]).split(',')}%
|
||||
$\dfrac{\Var{a}}{\Var{b}} = \dfrac{\ldots}{\Var{c}}$
|
||||
\hfill
|
||||
\Block{set a,b,c = random_str("{a},{b},{b*c}", conditions = ["{a} != {b}", "{a} > 1", "{b}>1","{c}>1"]).split(',')}%
|
||||
$\dfrac{\cdots}{\Var{c}} = \dfrac{\Var{a}}{\Var{b}}$
|
||||
\hfill
|
||||
\Block{set a,b,c = random_str("{a},{b},{a*c}", conditions = ["{a} != {b}", "{a} > 1", "{b}>1","{c}>1"]).split(',')}%
|
||||
$\dfrac{\Var{a}}{\Var{b}} = \dfrac{\Var{c}}{\cdots}$
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
|
||||
\item Faire les calculs suivants en détaillant les étapes (penser à simplifier les fractions quand c'est possible).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\Block{set e = Expression.random("{a} / {b} + {c} / {b}", ["{b} > 1", "{a} > 0", "{c} > 0"])}
|
||||
\item $A = \Var{e}$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Var{e.simplify().explain() | calculus(name = "A")}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\Block{set e = Expression.random("{a} / {b} + {c} / {b}", ["{b} > 1"])}
|
||||
\item $B = \Var{e}$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Var{e.simplify().explain() | calculus(name = "B")}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\Block{set e = Expression.random("{a} / {b} + {c} / {d*b}", ["{b} > 1", "{c} > 1", "{d} > 1"])}
|
||||
\item $C = \Var{e}$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Var{e.simplify().explain() | calculus(name = "C")}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\Block{set e = Expression.random("{a} / {b} + {c} / {d*b}", ["{b} > 1", "{d} > 1"])}
|
||||
\item $D = \Var{e}$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Var{e.simplify().explain() | calculus(name = "D")}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\Block{set e = Expression.random("{a} / {b} * {c}", ["{b} > 1", "{a} > 0", "{c} > 1", "{c} != {b}"])}
|
||||
\item $E = \Var{e}$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Var{e.simplify().explain() | calculus(name = "E")}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\Block{set e = Expression.random("{a} / {b} * {c} / {d}", ["{b} > 1", "{a} > 0", "{c} > 0", "{d} > 1"])}
|
||||
\item $F = \Var{e}$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Var{e.simplify().explain() | calculus(name = "F")}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Exercice}
|
||||
\Block{set AO, OD, CD, OB = random_str("{a},{b},{c},{d}", ["{a} < {b}", "{c} != {d}"], 1, 20).split(',')}
|
||||
Dans la figure suivante, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, $AO = \Var{AO}$, $OD = \Var{OD}$, $CD = \Var{CD}$ et $OB = \Var{OB}$.
|
||||
|
||||
\Block{set fig = random_str("{a}", [], 1, 2)}
|
||||
|
||||
\includegraphics[scale=0.4]{thales\Var{fig}}
|
||||
|
||||
Calculer les longueurs $OC$ et $AB$.
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On sait que
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
|
||||
\item $A$,$O$ et $D$ sont alignés
|
||||
\item $B$,$O$ et $C$ sont alignés
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Donc d'après le théorème de Thalès
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Triangle $OAB$ & $AO = \Var{AO}$ & $OB = \Var{OB}$ & $AB $ \\
|
||||
\hline
|
||||
Triangle $OCD$ & $DO = \Var{OD}$ & $OC $ & $CD = \Var{CD}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
est un tableau de proportionnalité.
|
||||
|
||||
On en déduit que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
OC & = & \frac{DO \times OB}{AO} = \frac{\Var{OD} \times \Var{OB}}{\Var{AO}} = \Var{int(OD)*int(OB)/int(AO) | round(2)}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
AB & = & \frac{CD \times AO}{DO} = \frac{\Var{CD} \times \Var{AO}}{\Var{OD}} = \Var{int(CD)*int(AO)/int(OD) |round(2)}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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