114 lines
2.6 KiB
TeX
114 lines
2.6 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\RequirePackage[utf8x]{inputenc}
|
|
\RequirePackage[francais]{babel}
|
|
\RequirePackage{amssymb}
|
|
\RequirePackage{amsmath}
|
|
\RequirePackage{amsfonts}
|
|
\RequirePackage{subfig}
|
|
\RequirePackage{graphicx}
|
|
\RequirePackage{color}
|
|
|
|
% Title Page
|
|
\title{Calcul littéral et statistiques}
|
|
\date{\today}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
|
|
\section{Polynômes}
|
|
|
|
|
|
|
|
Résoudre l'équation suivante
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
- 4 x^{ 2 } + 4 x - 1 & = & 0
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
Solution:
|
|
|
|
On commence par calculer le discriminant
|
|
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
|
\Delta & = & 4^{ 2 } - 4 \times ( -4 ) \times ( -1 ) \\
|
|
\Delta & = & 16 - ( -16 ) \times ( -1 ) \\
|
|
\Delta & = & 16 - 16 \\
|
|
\Delta & = & 0
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
|
|
|
|
Alors $\Delta = 0 = 0$ donc il y a une solution
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{ -4 }{ 2 \times ( -4 ) } = \frac{ -4 }{ -8 } = \frac{ 4 }{ 8 } = \frac{ 1 \times 4 }{ 2 \times 4 } = \frac{ 1 }{ 2 } = \frac{ -4 }{ -8 }
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
Les solutions sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{ -4 }{ -8 }\right\}$
|
|
|
|
|
|
|
|
\bigskip
|
|
~\dotfill
|
|
\bigskip
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Résoudre l'équation suivante
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
- 10 x^{ 2 } - 5 x - 5 & = & x^{ 2 } + 5 x - 9
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
Solution:
|
|
|
|
On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c = 0$.
|
|
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
- 10 x^{ 2 } - 5 x - 5 = x^{ 2 } + 5 x - 9 & \Leftrightarrow & - 10 x^{ 2 } - 5 x - 5 - (x^{ 2 } + 5 x - 9) = 0 \\
|
|
& \Leftrightarrow & - 10 x^{ 2 } - x^{ 2 } - 5 x - 5 x - 5 + 9= 0 \\
|
|
& \Leftrightarrow & ( ( -10 ) + ( -1 ) ) x^{ 2 } + ( ( -5 ) + ( -5 ) ) x + ( -5 ) + 9= 0 \\
|
|
& \Leftrightarrow & - 11 x^{ 2 } - 10 x + 4= 0
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
|
|
On cherche maintenant à résoudre l'équation $- 11 x^{ 2 } - 10 x + 4 = 0$.
|
|
|
|
On commence par calculer le discriminant
|
|
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
|
\Delta & = & ( -10 )^{ 2 } - 4 \times ( -11 ) \times 4 \\
|
|
\Delta & = & 100 - ( -44 ) \times 4 \\
|
|
\Delta & = & 100 - ( -176 ) \\
|
|
\Delta & = & 276
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
|
|
|
|
Alors $\Delta = 276 > 0$ donc il y a deux solutions
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{276}}{2 \times -11} = 0.3 \\
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{276}}{2 \times -11} = -1.21
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
Les solutions sont donc $\mathcal{S} = \left\{ 0.3; -1.21 \right\}$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
|
%%% End:
|
|
|
|
|