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Lafrite 2014-03-03 18:52:15 +01:00
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Tresors/theorie_modeles.mdwn
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@ -6,14 +6,14 @@ Merci Lulu
Un **language**: $L = ( (c_i)_i, (f_j)_j, (R_k)_k)$ avec Un **language**: $L = ( (c_i)_i, (f_j)_j, (R_k)_k)$ avec
* $(c_i)_i$ les constantes * $(c_i)_i$ les constantes
* $(f_j)_j$ les fonctions * $(f_j)_j$ les fonctions
* $(R_k)_k$ les relations * $(R_k)_k$ les relations
Dans ce language, on pourra définir des **termes** Dans ce language, on pourra définir des **termes**
* Atomique: les $c_i$ et les variables * Atomique: les $c_i$ et les variables
* $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes * $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes
Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exists, \forall, varia}$) Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exists, \forall, varia}$)
@ -31,10 +31,10 @@ Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language
Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand
* $M$ est un ensemble * $M$ est un ensemble
* $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$) * $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
* Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$) * Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$)
* Pour chaque $R_i$ relation du langage, on a $R_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la relation $R_i$) * Pour chaque $R_i$ relation du langage, on a $R_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la relation $R_i$)
Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D
@ -50,7 +50,7 @@ Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre la
$\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi $\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi
* cst de M sont des cst de N * cst de M sont des cst de N
* $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})$ * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})$
* $R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))$ * $R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar{m}))$
* Ce morphisme est **plongement** si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection) * Ce morphisme est **plongement** si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
* On a un **isomorphisme** quand on a un plongment surjectif. * On a un **isomorphisme** quand on a un plongment surjectif.
* On dit que **M est une sous structure de N** quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions. * On dit que **M est une sous structure de N** quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.