théorie des modèle power! corrections

Tresors/theorie_modeles.mdwn

@@ -5,22 +5,22 @@ Merci Lulu
 ### Language
 
 Un **language**: $L = ( (c_i)_i, (f_j)_j, (R_k)_k)$ avec
-* $(c_i)_i$ les constantes
-* $(f_j)_j$ les fonctions
-* $(R_k)_k$ les relations
+    * $(c_i)_i$ les constantes
+    * $(f_j)_j$ les fonctions
+    * $(R_k)_k$ les relations
 
 Dans ce language, on pourra définir des **termes**
-* Atomique: les $c_i$ et les variables
-* $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes
+    * Atomique: les $c_i$ et les variables
+    * $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes
 
-Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia})
+Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia}$)
 
 #### Exemple
 Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité:
 Avec des variables libres (ici x et y)
 $$ x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z \mbox{ et } z < y$$
 Sans variables libres:
-$$ \forall x \forall y \quad x < y \quad \Rightarrow  \quad \exists z \quad x < z \mvox{ et } z < y$$
+$$ \forall x \forall y \quad x < y \quad \Rightarrow  \quad \exists z \quad x < z \mbox{ et } z < y$$
 
 Un **énoncé** est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de densité (sans les variabls libres) est un énoncé pour le language de la relation inférieure.
 
@@ -28,28 +28,28 @@ Un **énoncé** est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de
 Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures.
 
 Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand 
-* $M$ est un ensemble
-* $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
-* Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$)
-* Poue chaque $R_i$ relation du langage, on a $R_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la relation $R_i$)
+    * $M$ est un ensemble
+    * $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
+    * Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$)
+    * Pour chaque $R_i$ relation du langage, on a $R_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la relation $R_i$)
 
 Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D
 
 #### Exemples:
-* On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
-* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: $L = (0, +)$ et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
-* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0_E, +, (\lambda_k)_k)$ avec $\lambda_k$ les homotéties.
+    * On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
+    * On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: $L = (0, +)$ et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
+    * Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0_E, +, (\lambda_k)_k)$ avec $\lambda_k$ les homotéties.
 
 ### Mille définitions
-* **M statisfait un énoncé $\Phi$** ssi $\Phi$ est vrai dans M.
-* M et N deux L-structures
-$\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi 
+    * **M statisfait un énoncé $\Phi$** ssi $\Phi$ est vrai dans M.
+    * M et N deux L-structures
+    $\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi 
         * cst de M sont des cst de N
         * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})$
         * $R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))$
-* Ce morphisme est **plongement** si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
-* On a un **isomorphisme** quand on a un plongment surjectif.
-* On dit que **M est une sous structure de N** quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
-* On a un **isomorphisme partiel** quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.
+    * Ce morphisme est **plongement** si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
+    * On a un **isomorphisme** quand on a un plongment surjectif.
+    * On dit que **M est une sous structure de N** quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
+    * On a un **isomorphisme partiel** quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.
 
 ### Va et viens infinis