théorie des modèle power!
This commit is contained in:
parent
67b9d24d0a
commit
ccd6df1308
55
Tresor/theorie_modeles.mdwn
Normal file
55
Tresor/theorie_modeles.mdwn
Normal file
@ -0,0 +1,55 @@
|
||||
# Théorie des modèles
|
||||
Merci Lulu
|
||||
|
||||
|
||||
### Language
|
||||
|
||||
Un *language*: $L = ( (c__i)__i, (f__j)__j, (R__k)__k)$ avec
|
||||
* $(c__i)__i$ les constantes
|
||||
* $(f__j)__j$ les fonctions
|
||||
* $(R__k)__k$ les relations
|
||||
|
||||
Dans ce language, on pourra définir des *termes*
|
||||
* Atomique: les $c__i$ et les variables
|
||||
* $f(t__1, ..., t__n)$ avec $f$ un fonction et les $t__i$ des termes
|
||||
|
||||
Et les *formules* qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia})
|
||||
|
||||
#### Exemple
|
||||
Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité:
|
||||
Avec des variables libres (ici x et y)
|
||||
$$ x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$
|
||||
Sans variables libres:
|
||||
$$ \forall x \forall y \quad x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$
|
||||
|
||||
Un *énoncé* est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de densité (sans les variabls libres) est un énoncé pour le language de la relation inférieure.
|
||||
|
||||
### Structure
|
||||
Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures.
|
||||
|
||||
Soit $L$ un langage, $M$ est une *$L$-structure* quand
|
||||
* $M$ est un ensemble
|
||||
* (e__i^M) est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
|
||||
* Pour chaque $f__i$ fonction du langage, on a $f__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la fonction $f__i$)
|
||||
* Poue chaque $R__i$ relation du langage, on a $R__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la relation $R__i$)
|
||||
|
||||
Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D
|
||||
|
||||
#### Exemples:
|
||||
* On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
|
||||
* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: L = (0, +) et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
|
||||
* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0__E, +, (\lambda__k)__k)$ avec $\lambda__k$ les homotéties.
|
||||
|
||||
### Mille définitions
|
||||
* *M statisfait un énoncé $\Phi$* ssi $\Phi$ est vrai dans M.
|
||||
* M et N deux L-structures
|
||||
$\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi
|
||||
* cst de M sont des cst de N
|
||||
* $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})
|
||||
* R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))
|
||||
* Ce morphisme est *plongement* si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
|
||||
* On a un *isomorphisme* quand on a un plongment surjectif.
|
||||
* On dit que *M est une sous structure de N* quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
|
||||
* On a un *isomorphisme partiel* quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.
|
||||
|
||||
### Va et viens infinis
|
Loading…
Reference in New Issue
Block a user