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# Théorie des modèles
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Merci Lulu
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### Language
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Un *language*: $L = ( (c__i)__i, (f__j)__j, (R__k)__k)$ avec
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* $(c__i)__i$ les constantes
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* $(f__j)__j$ les fonctions
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* $(R__k)__k$ les relations
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Dans ce language, on pourra définir des *termes*
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* Atomique: les $c__i$ et les variables
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* $f(t__1, ..., t__n)$ avec $f$ un fonction et les $t__i$ des termes
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Et les *formules* qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia})
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#### Exemple
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Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité:
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Avec des variables libres (ici x et y)
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$$ x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$
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Sans variables libres:
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$$ \forall x \forall y \quad x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$
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Un *énoncé* est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de densité (sans les variabls libres) est un énoncé pour le language de la relation inférieure.
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### Structure
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Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures.
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Soit $L$ un langage, $M$ est une *$L$-structure* quand
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* $M$ est un ensemble
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* (e__i^M) est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
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* Pour chaque $f__i$ fonction du langage, on a $f__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la fonction $f__i$)
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* Poue chaque $R__i$ relation du langage, on a $R__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la relation $R__i$)
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Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D
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#### Exemples:
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* On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
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* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: L = (0, +) et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
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* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0__E, +, (\lambda__k)__k)$ avec $\lambda__k$ les homotéties.
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### Mille définitions
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* *M statisfait un énoncé $\Phi$* ssi $\Phi$ est vrai dans M.
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* M et N deux L-structures
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$\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi
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* cst de M sont des cst de N
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* $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})
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* R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))
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* Ce morphisme est *plongement* si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
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* On a un *isomorphisme* quand on a un plongment surjectif.
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* On dit que *M est une sous structure de N* quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
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* On a un *isomorphisme partiel* quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.
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### Va et viens infinis
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