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1G_math/07_Produit_Scalaire_-_projete_orthogonal/exercises.tex

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 \begin{solution}
 \end{solution}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Démonter l'orthogonalité}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
+    Dans un carré $ABCD$ de côté 6, on construit $I$ le milieu de $[AB]$, le point $J$ tel que $\vect{AK} = \frac{1}{4} \vect{AD}$ et $\vect{CJ} = \frac{1}{4}\vect{CB}$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un croquis de la figure.
+        \item Calculer les produits scalaire $\vect{KJ}.\vect{DA}$ et $\vect{KJ}.\vect{AI}$.
+        \item En déduire la valeur de $\vect{KJ}.\vect{DI}$ puis que $(KJ)$ et $(DI)$ sont parallèles.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Format Commercial}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
+    Soit $ABCD$ un rectangle de longueur $AD = b$ et de largeur $AB = a$.
+
+    On place le point $I$ au milieu du côté $[BC]$. Et on note $M$ l'intersection des droites $(AI)$ et $(DB)$.
+
+    On souhaite démontrer la propriété suivante: 
+    \begin{center}
+        $(AI)$ et $(DB)$ sont perpendiculaires si et seulement si $b = a \sqrt{2}$.
+    \end{center}
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un croquis annoté de la situation.
+        \item En décomposant $\vect{DB}$ avec la relation de Chalses, exprimer $\vect{AI}.\vect{BD}$ en fonction de $a$ et de $b$.
+        \item Démontrer la propriété.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+