Cours/2025-2026
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feat(1G_math): début de la séquence sur les suites arithmétiques et
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géométriques
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Bertrand Benjamin
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407
1G_math/06_Suites_arithmetiques_et_geometriques/exercises.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,407 @@
\begin{exercise}[subtitle={Alerte générale}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Suites arithmétiques et géométriques }, tags={ suite, tableur, évolution }, mode={\searchMode}]
Faïza et Bob deux scientifiques de renom sont témoins ont intercepté une message extra-terrestre qui annonce une invasion imminente. Pour se préparer, ils doivent alerté toutes les personnes vivant sur terre (environ 7milliards de personnes). Ils envisagent deux méthodes:
\begin{itemize}
\item utiliser une invention de leur cru: le communicateur télépathe. Cette machine permet de diffuser un message à \np{1000000} de personnes par jour.
\item que chaque jour toutes les personnes au courant alertent 2 nouvelles personnes.
\end{itemize}
Pour le moment, ils sont deux au courant.
Laquelle des deux méthodes permettra de prévenir tous les êtres humains le plus rapidement?
\end{exercise}
\begin{solution}
\textbf{Méthode 1 : Le communicateur télépathe}
Chaque jour, \np{1000000} nouvelles personnes sont alertées.
Notons $u_n$ le nombre de personnes au courant après $n$ jours.
\begin{itemize}
\item $u_0 = 2$ (Faïza et Bob)
\item $u_1 = 2 + \np{1000000} = \np{1000002}$
\item $u_2 = \np{1000002} + \np{1000000} = \np{2000002}$
\item Pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n + \np{1000000}$
\end{itemize}
C'est une \textbf{suite arithmétique} de raison $r = \np{1000000}$ et de premier terme $u_0 = 2$.
Son terme général est : $u_n = 2 + n \times \np{1000000}$
Pour alerter 7 milliards de personnes : $u_n \geq \np{7000000000}$
\begin{align*}
2 + n \times \np{1000000} &\geq \np{7000000000} \\
n \times \np{1000000} &\geq \np{6999999998} \\
n &\geq 6\,999{,}99998
\end{align*}
Il faudrait donc environ \textbf{7\,000 jours} (soit environ \textbf{19 ans}) !
\medskip
\textbf{Méthode 2 : Chacun alerte 2 nouvelles personnes}
Notons $v_n$ le nombre de personnes au courant après $n$ jours.
\begin{itemize}
\item $v_0 = 2$ (Faïza et Bob)
\item $v_1 = 2 + 2 \times 2 = 6$ (chacun des 2 alerte 2 personnes)
\item $v_2 = 6 + 6 \times 2 = 18$ (chacune des 6 alerte 2 personnes)
\item Pour tout $n$, $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$
\end{itemize}
C'est une \textbf{suite géométrique} de raison $q = 3$ et de premier terme $v_0 = 2$.
Son terme général est : $v_n = 2 \times 3^n$
Pour alerter 7 milliards de personnes : $v_n \geq \np{7000000000}$
\begin{align*}
2 \times 3^n &\geq \np{7000000000} \\
3^n &\geq \np{3500000000}
\end{align*}
Par tâtonnement ou avec une calculatrice :
\begin{itemize}
\item $v_{20} = 2 \times 3^{20} = \np{6973568802} < \np{7000000000}$
\item $v_{21} = 2 \times 3^{21} = \np{20920706406} > \np{7000000000}$
\end{itemize}
Il faudrait donc seulement \textbf{21 jours} !
\medskip
\textbf{Conclusion :} Même si le communicateur télépathe semble impressionnant avec son million de personnes alertées par jour, la méthode du bouche-à-oreille (méthode 2) est bien plus efficace : 21 jours contre 19 ans ! C'est la puissance de l'évolution géométrique.
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Placement}, step={1}, origin={...}, topics={ suite arith geo }, tags={ suite, tableur }, mode={\searchMode}]
Un investisseur nous propose les deux placements suivants.
\begin{itemize}
\item \textbf{Placement 1}: rendement annuel à 17\% de l'investissement initial.
\item \textbf{Placement 2}: rendement annuel à 10\% du solde de l'année courante.
\end{itemize}
On veut faire un placement initial de \np{10000}\euro.
Quel placement est le plus rentable?
\end{exercise}
\begin{solution}
\textbf{Placement 1 : Rendement de 17\% de l'investissement initial}
Notons $u_n$ le solde après $n$ années.
Chaque année, on gagne $17\%$ de l'investissement initial, soit $0{,}17 \times \np{10000} = \np{1700}$\euro.
\begin{itemize}
\item $u_0 = \np{10000}$\euro
\item $u_1 = \np{10000} + \np{1700} = \np{11700}$\euro
\item $u_2 = \np{11700} + \np{1700} = \np{13400}$\euro
\item Pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n + \np{1700}$
\end{itemize}
C'est une \textbf{suite arithmétique} de raison $r = \np{1700}$ et de premier terme $u_0 = \np{10000}$.
Son terme général est : $u_n = \np{10000} + n \times \np{1700}$
Quelques valeurs :
\begin{itemize}
\item $u_5 = \np{10000} + 5 \times \np{1700} = \np{18500}$\euro
\item $u_{10} = \np{10000} + 10 \times \np{1700} = \np{27000}$\euro
\item $u_{20} = \np{10000} + 20 \times \np{1700} = \np{44000}$\euro
\end{itemize}
\medskip
\textbf{Placement 2 : Rendement de 10\% du solde courant}
Notons $v_n$ le solde après $n$ années.
Chaque année, on gagne $10\%$ du solde actuel. Le nouveau solde est donc $1{,}10$ fois le solde précédent.
\begin{itemize}
\item $v_0 = \np{10000}$\euro
\item $v_1 = \np{10000} \times 1{,}10 = \np{11000}$\euro
\item $v_2 = \np{11000} \times 1{,}10 = \np{12100}$\euro
\item Pour tout $n$, $v_{n+1} = v_n \times 1{,}10$
\end{itemize}
C'est une \textbf{suite géométrique} de raison $q = 1{,}10$ et de premier terme $v_0 = \np{10000}$.
Son terme général est : $v_n = \np{10000} \times (1{,}10)^n$
Quelques valeurs :
\begin{itemize}
\item $v_5 = \np{10000} \times (1{,}10)^5 \approx \np{16105}$\euro
\item $v_{10} = \np{10000} \times (1{,}10)^{10} \approx \np{25937}$\euro
\item $v_{20} = \np{10000} \times (1{,}10)^{20} \approx \np{67275}$\euro
\end{itemize}
\medskip
\textbf{Conclusion :}
Au début (années 1 à 10), le placement 1 semble plus intéressant car on gagne 1700\euro{} par an contre seulement 10\% du solde. Mais à partir d'environ 8 ans, le placement 2 devient plus rentable. Après 20 ans, l'écart est significatif : \np{67275}\euro{} contre \np{44000}\euro{}, soit une différence de plus de \np{23000}\euro{} !
Le placement 2 (géométrique) est donc bien plus rentable sur le long terme.
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Reconnaître une suite arithmétique}, step={2}, origin={Sesa math}, topics={ suite arith geo }, tags={ suite, tableur }, mode={\trainMode}]
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=-2$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la valeur de $u_{25}$
\end{enumerate}
\item Les suites ci-dessous sont-elles arithmétiques? Si oui préciser les paramètres (premier terme et raison).
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n = 3n -2$
\item $v_n = -n + 4$
\item $w_n = n^2 + 1$
\item $a_n = \frac{n^2 + n}{n}$
\item $b_n = \sqrt{n}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Reconnaître une suite géométrique}, step={2}, origin={Sesa math}, topics={ suite arith geo }, tags={ suite, tableur }, mode={\trainMode}]
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ une suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=0.9$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la valeur de $u_{10}$
\end{enumerate}
\item Soit $u$ une suite géométrique de raison 2 et telle que $u_2 = \frac{1}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la valeur de $u_{6}$
\end{enumerate}
\item Les suites ci-dessous sont-elles géométriques? Si oui préciser les paramètres (premier terme et raison).
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n = 3n -2$
\item $v_n = n^2 + 1$
\item $w_n = 2^{n+1}$
\item $a_n = \frac{1}{n}$
\item $b_n = \frac{1}{3^n}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Campagne publicitaire}, step={2}, origin={T1CMATH03610}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
En 2019, une entreprise souhaite réaliser une campagne de publicité pour promouvoir ses produits.
\begin{enumerate}
\item Elle prend alors contact avec une agence de publicité, nommée A, qui lui indique qu’en 2019, selon ses tarifs, le coût d’une campagne de publicité s’élève à 10000euros pour 2019 mais que celui-ci augmentera ensuite de 750€ par an.
On note $u_n$le coût d’une campagne publicitaire pour l’entreprise suivant les tarifs de l’agence A pour l’année $(2019+n)$.Ainsi $u_0$=10000.
\begin{enumerate}
\item Quel sera le coût d’une campagne de publicité pour l’entreprise en 2025 si elle choisit l’agence A?
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$? Argumenter la réponse et préciser les paramètres.
\end{enumerate}
\item L’entreprise contacte une agence de publicité B qui lui dit que le coût d’une campagne de publicité pour l’année $(2019+n)$ est donné par: $v_n = n^2+200n+\np{10000}$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $v_2$ et de $v_{10}$.
\item La suite $v$ est-elle arithmétique ou géométrique? Si oui préciser les paramètres.
\item Quel sera le coût d’une campagne de publicité pour l’entreprise en 2025 si elle choisit l’agence B?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Suites}, step={2}, origin={T1CMATH03614}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
\noindent
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
On considère la suite $u$ de premier terme $u(0) = 200$ et telle que pour tout entier positif $n$:
\[
u(n+1) = u(n) + 20
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u(1)$.
\item Quelle est la nature de la suite $u$? Argumenter la réponse et préciser les paramètres.
\item Compléter le repère ci-contre, en y représentant le terme $u(2)$ de la suite.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/T1CMATH03614_graph}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Parmi les situations suivantes, laquelle pourrait être modélisée grâce à la suite $u$? Justifier votre réponse.
\begin{itemize}
\item Situation A : une entreprise a vendu 200 unités d'un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 10\% de plus que l'année précédente.
\item Situation B : une entreprise a vendu 200 unités d'un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20\% de plus que l'année précédente
\item Situation C : une entreprise a vendu 200 unités d'un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20 de plus que l'année précédente.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation d'un véhicule}, step={2}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
Un transporteur a acheté en 2006 un véhicule fourgon de 9 tonnes au prix de \np{50200}\euro, taxes comprises. Compte tenu du nombre de kilomètres parcourus, le véhicule a perdu 20\% de sa valeur chaque année.
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur du véhicule après 1an puis après 3 ans.
\item Pour tout entier $n$, on note $u_n$, la valeur résiduelle du véhicule l'année "2006+n".
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$. Interpréter le résultat.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction $u_n$.
\item Quel est la nature de la suite $(u_n)$? Préciser les paramètres.
\item Exprimer $u_n$ en fonction $n$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Calculer la valeur résiduelle du véhicule en 2012. Puis en 2050. Arrondir à l'euro.
\item Écrire un programme Python qui calcule la valeur du véhicule en 2100.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Rosace}, step={3}, origin={sesamath}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item Étape 1: Valentine trace une rosace à 3 pétales.
\item Étape 2: elle décide de décorer d'avantage sa rosace en ajoutant un pétale entre deux pétales consécutifs.
\end{itemize}
Elle continue ainsi en ajoutant à chaque étape un pétale entre deux pétales consécutifs.
On note $u_n$ le nombre de pétales l'étape $n$. On a $u_0 = 3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs de $u_1$ et de $u_2$.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction $u_n$.
\item En déduire la nature et les paramètres de la suite $u$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\includegraphics[scale=0.3,angle=90]{./fig/rosace.png}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Demi-vie}, step={3}, origin={frederic-junier.org}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
La scintigraphie cardiaque est une technique d’imagerie qui permet d’examiner la qualité de l’irrigation du cœur par les artères coronaires. Lors de cet examen, on injecte au patient un échantillon d’un isotope de Thallium d’activité radioactive 60 MBq (Méga Becquerel).
On appelle demi-vie le temps mis par une substance radioactive pour perdre la moitié de son activité. Ainsi, après une demi-vie, l’activité radioactive de cet échantillon de Thallium est de 30 MBq et après deux demi-vies, l’activité radioactive de cet échantillon est de 15 MBq.
On note $u_0$ l’activité radioactive de cet échantillon (en MBq) à l’injection et $u_n$ l’activité radioactive de cet échantillon (en MBq) après n demi-vies avec n entier naturel.
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de u0, u1, u2 et u3.
\item Exprimer un+1 en fonction de un . En déduire la nature de la suite (un ).
\item Exprimer un en fonction de n.
\item Déterminer l’activité radioactive de cet échantillon après 5 demi-vies.
\item Écrire en Python une fonction seuil() qui retourne le plus petit entier n à partir duquel un < 0, 25.
\item Sachant que la demi-vie de cet isotope de Thallium est d’environ 3 jours, déterminer le nombre de jours au bout desquels on est certain que l’activité radioactive de cet échantillon est strictement inférieure à 0,25 MBq.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Tapis de Sierpiński}, step={3}, origin={frederic-junier.org}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
Une institutrice propose un atelier découpage pour ses élèves à partir d'une feuille de \np{400}~cm$^2$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Étape 1 :} l'élève partage d'abord la feuille en 9 carrés et découpe le carré central
\item \textbf{Étape 2 :} l'élève partage alors les 8 carrés restant en 9 carrés égaux et découpe le carré central
\item \textbf{Étapes suivantes :} l'élève répète le même procédé \ldots
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
% Étape 0
\fill[gray!30] (0,0) rectangle (3,3);
\draw (0,0) rectangle (3,3);
\node at (1.5,-0.5) {Étape 0};
% Étape 1
\begin{scope}[xshift=4cm]
\fill[gray!30] (0,0) rectangle (3,3);
\fill[white] (1,1) rectangle (2,2);
\draw (0,0) grid[step=1] (3,3);
\node at (1.5,-0.5) {Étape 1};
\end{scope}
% Étape 2
\begin{scope}[xshift=8cm]
\fill[gray!30] (0,0) rectangle (3,3);
\foreach \x in {0,1,2} {
\foreach \y in {0,1,2} {
\pgfmathsetmacro{\skip}{int((\x==1 && \y==1) ? 1 : 0)}
\ifnum\skip=0
\fill[white] (\x+1/3,\y+1/3) rectangle (\x+2/3,\y+2/3);
\fi
}
}
\foreach \x in {0,1,2} {
\foreach \y in {0,1,2} {
\draw (\x,\y) grid[step=1/3] (\x+1,\y+1);
}
}
\fill[white] (1,1) rectangle (2,2);
\node at (1.5,-0.5) {Étape 2};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent
On note $u_n$ la surface restante de la feuille après $n$ découpes. Ainsi $u_0 = 400$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique et déterminer sa raison.
\item Que peut-on conjecturer pour les valeurs de $u_n$ lorsque $n$ devient aussi grand que l'on veut ?
\item Recopier et compléter la fonction \texttt{seuil(s)} pour qu'elle retourne le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leq s$.
% \begin{lstlisting}[language=Python]
% def seuil(s):
% u = ...
% n = ...
% while ....:
% u = ...
% n = ...
% return n
% \end{lstlisting}
Programmer cette fonction, quelle est la valeur retournée par \texttt{seuil(10)} ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\textbf{1. Nature de la suite}
À chaque étape, on découpe le carré central de chaque carré restant. Le carré central représente $\frac{1}{9}$ de la surface de chaque carré.
Donc à chaque étape, on retire $\frac{1}{9}$ de la surface restante, ce qui signifie qu'il reste $\frac{8}{9}$ de la surface précédente.
Ainsi : $u_{n+1} = \frac{8}{9} \times u_n$
La suite $(u_n)$ est donc une \textbf{suite géométrique} de raison $q = \frac{8}{9}$ et de premier terme $u_0 = 400$.
Son terme général est : $u_n = 400 \times \left(\frac{8}{9}\right)^n$
\medskip
\textbf{2. Comportement de la suite}
Puisque $0 < q = \frac{8}{9} < 1$, la suite $(u_n)$ est décroissante et converge vers 0.
On peut conjecturer que : \textbf{lorsque $n$ devient aussi grand que l'on veut, $u_n$ se rapproche de 0}.
En d'autres termes : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$
\medskip
\textbf{3. Fonction seuil}
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leq s$.
\begin{lstlisting}[language=Python]
def seuil(s):
u = 400
n = 0
while u > s:
u = u * 8 / 9
n = n + 1
return n
\end{lstlisting}
En programmant cette fonction, on obtient : \texttt{seuil(10)} = 33
Cela signifie qu'après 33 découpes, il reste moins de 10~cm$^2$ de feuille.
Vérification : $u_{33} = 400 \times \left(\frac{8}{9}\right)^{33} \approx 9{,}88$ cm$^2$ < 10 cm$^2$
Et : $u_{32} = 400 \times \left(\frac{8}{9}\right)^{32} \approx 11{,}11$ cm$^2$ > 10 cm$^2$
\end{solution}

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@@ -0,0 +1,41 @@
Suites arithmétiques et géométriques
####################################
:date: 2025-11-03
:modified: 2025-11-03
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: suite, tableur, évolution
:category: 1G_math
:summary: Approfondissement des suites en caractérisant suites arithmétiques et géométriques
Éléments du programme
=====================
Contenus
--------
- Suites arithmétiques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à accroissements constants. Lien avec les fonctions affines.
- Suites géométriques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle.
Capacités attendues
-------------------
- (révision) Dans le cadre de l’étude d’une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique, et passer de l’un à l’autre.
- (révision) Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
- (révision) Calculer des termes d’une suite définie explicitement, par récurrence ou par un algorithme
- Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer le sens de variation.
- Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
Commentaires
------------
C'est l'occasion de revoir la manipulation des taux d'évolutions.
Il faudra continuer à travailler les algorithmes.
Progression
===========
Étape 1: Comparer deux évolutions
---------------------------------

BIN
1G_math/06_Suites_arithmetiques_et_geometriques/plan_de_travail.pdf Normal file
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49
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@@ -0,0 +1,49 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Suites arithmétiques et géométriques - Plan de travail}
\tribe{1G math}
\date{novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
}
\begin{document}
\maketitle
% Résumé
\medskip
\paragraph{Savoir-faire de la séquence}
\begin{itemize}
\item Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer le sens de variation.
\item Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
\end{itemize}
\section{Deux modèles d'évolutions}
\listsectionexercises
\section{Reconnaitre la nature d'une suite}
\listsectionexercises
\section{Modélisation de situations}
\listsectionexercises
\medskip
\hline
\medskip
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\end{document}

28
1G_math/06_Suites_arithmetiques_et_geometriques/solutions.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,28 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Suites arithmétiques et géométriques - Solutions}
\tribe{1G_math}
\date{novembre 2025}
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