Cours/2025-2026
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feat(2nd): seq sur les tableaux de fonctions

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Bertrand Benjamin
2025-11-11 17:38:49 +01:00
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94
2nd/07_Tableau_de_fonctions/1B_tableaux.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,94 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat = newest}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Tableaux de fonctions - Dours}
\date{Novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Tableaux de signes}
Ce type de tableau représentera uniquement le \textbf{signe} de la fonction ainsi que les valeurs où elle est \textbf{nulle}.
\paragraph{Exemple}:
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
% {0.1*(x+4)*(x+1)*(x-5)}
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=2,
legend pos = north west,
legend entries={$f(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{0.1*(x+4)*(x+1)*(x-5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Tableau de signe de la fonction $f$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]
{$x$/1, $f(x)$/2}
{$-6$, , , , $6$}
\tkzTabLine{, , , , }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\section{Tableaux de variations}
Ce type de tableau représentera uniquement les \textbf{variations} de la fonction.
\paragraph{Exemple}:
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
% x sin(2x)
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x*sin(deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Tableau de variations de la fonction $f$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]
{$x$/1, $f(x)$/2}
{$-6$, , , , $6$}
\tkzTabVar{, , , , }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\afaire{Compléter les tableaux de signes et de variations}
\end{document}

BIN
2nd/07_Tableau_de_fonctions/1E_qui_est_ce_fonctions.pdf Normal file
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518
2nd/07_Tableau_de_fonctions/1E_qui_est_ce_fonctions.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,518 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat = newest}
%\usepgfplotslibrary{external}
%\tikzexternalize
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Fonctions tableaux - Exercices}
\date{Novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% {0.1*(x+4)*(x+1)*(x-5)}
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
legend entries={$f(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{0.1*(x+4)*(x+1)*(x-5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% 1/x
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
legend entries={$g(x)$}
]
\addplot[domain=-6:-0.1,samples=40, color=red, very thick]{1/x};
\addplot[domain=0.1:6,samples=40, color=red, very thick]{1/x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% -x^2 + 2x + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north east,
legend entries={$h(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-2*x^2 + 2*x + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% 2x + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=5,
legend pos = north west,
legend entries={$i(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x +1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% x^2 - 2x - 3
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north west,
legend entries={$j(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x^2 - 2*x - 3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% xCos(x)
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
legend entries={$k(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x*cos(deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% x sin(2x)
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
legend entries={$l(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x*sin(deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% -0.5x + 4
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
legend entries={$m(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-1.75*x+4};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\clearpage
\begin{tikzpicture}
% {0.1*(x+4)*(x+1)*(x-5)}
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{0.1*(x+4)*(x+1)*(x-5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% 1/x
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:-0.1,samples=40, color=red, very thick]{1/x};
\addplot[domain=0.1:6,samples=40, color=red, very thick]{1/x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% -x^2 + 2x + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north east,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-2*x^2 + 2*x + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% 2x + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=5,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x +1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% x^2 - 2x - 3
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x^2 - 2*x - 3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% xCos(x)
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x*cos(deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% x sin(2x)
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x*sin(deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% -0.5x + 4
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-1.75*x+4};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\clearpage
\begin{tikzpicture}
% 2x + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
legend entries={$f(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x+1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% 2x - 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
legend entries={$g(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x - 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% -0.5x + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north east,
legend entries={$h(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-0.5*x+1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% -0.5x - 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=5,
legend pos = north west,
legend entries={$i(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-0.5*x - 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% x^2 - 2x - 3
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north west,
legend entries={$j(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x^2 - 2*x - 3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% x^2 - 2x
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north west,
legend entries={$k(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x^2 - 2*x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% -x^2 + 2x
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north west,
legend entries={$l(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-x^2 + 2*x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% x^2 + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
legend pos = north west,
legend entries={$m(x)$}
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x^2 + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\clearpage
\begin{tikzpicture}
% 2x + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x+1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% 2x - 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=1,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x - 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% -0.5x + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-0.5*x+1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% -0.5x - 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=5,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-0.5*x - 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% x^2 - 2x - 3
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{2*x^2 - 2*x - 3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% x^2 - 2x
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x^2 - 2*x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}
% -x^2 + 2x
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{-x^2 + 2*x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\hspace{2cm}
\begin{tikzpicture}
% x^2 + 1
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$y$},
ytick distance=10,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=40, color=red, very thick]{x^2 + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\vfill
\end{document}

BIN
2nd/07_Tableau_de_fonctions/2B_variations.pdf Normal file
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Binary file not shown.

127
2nd/07_Tableau_de_fonctions/2B_variations.tex Normal file
View File

@@ -0,0 +1,127 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat = newest}
\tikzexternalize
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Fonctions tableaux - Cours \hfill (suite)}
\date{Novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\bigskip
\setcounter{section}{2}
\section{Les variations d'une fonction}
\begin{definition}[ Variations d'une fonction ]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\medskip
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On dit que $f$ est \textbf{croissante} sur $I$ si et seulement \dotfill
\medskip
\\.\dotfill
\medskip
\\.\dotfill
\medskip
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
xmin=0, xmax=2.5,
xticklabel=\empty,
ylabel = {$y$},
yticklabel=\empty,
ymin=0, ymax=5,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=1:2,samples=30, color=red, very thick]{x*x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On dit que $f$ est \textbf{décroissante} sur $I$ si et seulement \dotfill
\medskip
\\.\dotfill
\medskip
\\.\dotfill
\medskip
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
xmin=0, xmax=2.5,
xticklabel=\empty,
ylabel = {$y$},
yticklabel=\empty,
ymin=0, ymax=5,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=1:2,samples=30, color=red, very thick]{5 - x*x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{definition}
\begin{definition}[Monotone]
Une fonction $f$ est dite \textbf{monotone} sur un intervalle $I$ si et seulement si elle ne change pas de variations sur cet intervalle.
\end{definition}
\begin{definition}[ Extremum d'une fonction ]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\medskip
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On dit que $f$ a pour maximum $M$ sur l'intervalle $I$ si et seulement si
\medskip
\\.\dotfill
\medskip
\\.\dotfill
\medskip
On dit que $f$ a pour minimum $m$ sur l'intervalle $I$ si et seulement si
\medskip
\\.\dotfill
\medskip
\\.\dotfill
\medskip
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
%grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
xticklabel=\empty,
ylabel = {$y$},
yticklabel=\empty,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-0.8:0.8,samples=30, color=red, very thick]{x*(x-1)*(x+1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{definition}
\end{document}

659
2nd/07_Tableau_de_fonctions/exercises.tex Normal file
View File

@@ -0,0 +1,659 @@
\begin{exercise}[subtitle={Qui est-ce des fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\groupMode}]
À voir en classe
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Tableaux pour décrire les fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Ci-contre, le graphique d'une fonction.
\begin{enumerate}
\item Décrire ce graphique avec un tableau de signes.
\item Décrire ce graphique avec un tableau de variations.
\item (*) Décrire votre méthode pour construire un tableau de signes à partir du graphique.
\item (*) Décrire votre méthode pour construire un tableau de variations à partir du graphique.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
ymin=-5,ymax=3,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\draw (-4, 1) node [above left] {$\mathcal{C}_f$};
\draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,1) (-4,0) (-3, -3) (-2, -1) (-1, -3) (0, -4) (1, -2.5) (2, 0) (3, 1) (4, 0) (5, 2) };
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Tableau de signes
\textbf{Méthode :} On repère les valeurs de $x$ où la courbe traverse l'axe des abscisses (où $f(x) = 0$). Ici, la courbe coupe l'axe en $x = -4$, $x = 2$ et $x = 4$. Ensuite, on détermine le signe de $f(x)$ dans chaque intervalle en observant si la courbe est au-dessus (positif) ou en-dessous (négatif) de l'axe des abscisses.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-5, -4, 2, 4, 5}
\tkzTabLine{,+, z, -, z, +, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Tableau de variations
\textbf{Méthode :} On repère les extremums (sommets) de la courbe, c'est-à-dire les points où la fonction change de sens de variation. On note les valeurs de $x$ correspondantes, puis on indique si la fonction est croissante (flèche montante) ou décroissante (flèche descendante) dans chaque intervalle, en précisant les valeurs de $f(x)$ aux extremums.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-5, -3, -2, 0, 3, 4, 5}
\tkzTabVar{ +/1, -/-3, +/-1, -/-4, +/1, -/0, +/2}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Faire des tableaux}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
Pour toutes les fonctions ci-dessous, tracer le tableau de signes puis le tableau de variations.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item
\begin{tikzpicture}[xscale=0.7, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
ymin=-5,ymax=3,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,2) (-4,-2) (-3, -3) (-2, -2) (-1, 0) (0, 0) (1, -2.5) (2, 0) (3, 2) (4, 1) (5, 2) };
\draw (-4, 1) node [above left] {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
\item
\begin{tikzpicture}[ scale=0.7]
% x sin(2x)
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$g(x)$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-6:6,samples=80, color=red, very thick]{x*cos(deg(x)*pi/2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Tableau de signes
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-5, -4.5, -1, 0, 2, 5}
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, z, +,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tableau de variations
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-5, -3, 0.5, 1, 3, 4, 5}
\tkzTabVar{ +/2, -/-3, +/0.25, -/-2.5, +/2, -/1, +/2}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Tableau de signes
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{-6, -5, -3, -1, 0, 1, 3, 5, 6}
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, z, +, z, -, z, +, z, -,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tableau de variations
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ g(x) $/2}{-6, -4, -2, -0.5, 0.5, 2, 4, 6}
\tkzTabVar{+/6, -/-4, +/2, -/-0.5, +/0.5, -/-2, +/4, -/-6}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Avec la calcultatrice}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
Pour toutes les fonctions ci-dessous, tracer le graphique avec votre calculatrice puis tracer le tableau de signes puis le tableau de variations.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $h(x) = x^3 - 2x + 1$
\item $i(x) = -2(x-2)(x+1)(x+2)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Pour réaliser ces tableaux, il faut au préalable tracer le graphique de la fonction à la calculatrice.
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid = both,
xlabel = {$x$},
ylabel = {$h(x)$},
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-2:2,samples=80, color=red, very thick]{x^3 - 2*x + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Tableau de signes
On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $h(x) = 0$. En observant le graphique, on trouve trois racines : $x \approx -1.53$, $x \approx 0.35$ et $x \approx 1.88$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ h(x) $/1}{-2, -1.53, 0.35, 1.88, 2}
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, +,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tableau de variations
On repère les extremums sur le graphique : un maximum local vers $x \approx -0.82$ et un minimum local vers $x \approx 1.22$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ h(x) $/2}{-2, -0.82, 1.22, 2}
\tkzTabVar{ -/-1, +/2.1, -/-0.4, +/5}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\item Pour réaliser ces tableaux, il faut au préalable tracer le graphique de la fonction à la calculatrice.
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid = both,
xlabel = {$x$},
ylabel = {$i(x)$},
ytick distance=5,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{-2*(x-2)*(x+1)*(x+2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Tableau de signes
On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $i(x) = 0$. En développant $i(x) = -2(x-2)(x+1)(x+2)$, on voit que les racines sont $x = -2$, $x = -1$ et $x = 2$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ i(x) $/1}{-3, -2, -1, 2, 3}
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, +,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tableau de variations
On repère les extremums sur le graphique : un maximum local vers $x \approx -1.5$ avec $i(-1.5) \approx 3.06$ et un minimum local vers $x \approx 0.8$ avec $i(0.8) \approx -7.55$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ i(x) $/2}{-3, -1.5, 0.8, 3}
\tkzTabVar{ -/-20, +/3.06, -/-7.55, +/40}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Tracer un graphique à partir de tableaux}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
Tracer des graphiques qui correspondent aux tableaux suivants
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-3, 0, 1, 5 }
\tkzTabVar{ +/4, -/2, +/3, -/-1}
\end{tikzpicture}
\item
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ z(t) $/1}{-5, -1, 3, 4, 5}
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, - , }
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=5,xstep=1,
ymin=-2,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\draw [color=red, very thick] plot coordinates {(-3, 4) (0, 2) (1, 3) (5, -1)};
\end{tikzpicture}
\item
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5, 1) (-1, 0) (0, -1) (3, 0) (3.5, 1) (4, 0) (5, -1)};
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Vrai/Faux}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
Ci-dessous, le tableau de signes de la fonction $f$ et le tableau de variations de $g$.
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ f(t) $/1}{-5, -3, 1, 2, 5}
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, + , }
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ g(x) $/2}{-5, -1, 0, 3, 5 }
\tkzTabVar{ +/1, -/0, +/4, -/-1, +/2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
Pour chacune des propositions suivantes dire si elle est vraie, fausse ou si les informations à disposition sont suffisantes pour répondre à la question.
\begin{tasks}(2)
\task Entre -3 et 1, la fonction $f$ est positive.
\task Entre 0 et 5, la fonction $g$ est décroissante.
\task Sur l'intervalle $\intFF{-1}{0}$, $g$ est croissante.
\task Sur l'intervalle $\intFF{1}{2}$, $f$ est positive.
\task Sur l'intervalle $\intFF{1}{2}$, $g$ est croissante.
\task Sur l'intervalle $\intFF{-3}{-1}$, $f$ est croissante.
\task $g(1)$ est plus grand que $g(2)$.
\task $g(1)$ est plus grand que $g(4)$.
\task Le maximum de la fonction $g$ est 4.
\task Le minimum de la fonction $g$ est 0.
\task Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont $x \in \left\{ -3; 1 \right\}$
\task Les solutions de l'équation $f(x) \leq 0$ sont $x \in \intFF{-5}{-3}\cup \intFF{1}{2}$
\end{tasks}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{tasks}(2)
\task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de signes, $f$ est positive entre $-3$ et $1$.
\task \textbf{Faux.} D'après le tableau de variations, $g$ est décroissante entre $0$ et $3$, puis croissante entre $3$ et $5$.
\task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de variations, $g$ est croissante entre $-1$ et $0$, donc sur $\intFF{-1}{0}$.
\task \textbf{Faux.} D'après le tableau de signes, $f$ est négative sur l'intervalle $\intFF{1}{2}$.
\task \textbf{Faux.} D'après le tableau de variations, $g$ est décroissante sur $\intFF{0}{3}$, donc sur $\intFF{1}{2}$.
\task \textbf{On ne peut pas savoir.} Le tableau de signes ne donne pas d'information sur les variations de $f$.
\task \textbf{Vrai.} La fonction $g$ est décroissante entre $0$ et $3$, donc $g(1) > g(2)$.
\task \textbf{On ne peut pas savoir.} Entre $1$ et $4$, la fonction $g$ décroît puis croît. Sans connaître les valeurs exactes, on ne peut pas comparer $g(1)$ et $g(4)$.
\task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de variations, le maximum de $g$ sur l'intervalle $\intFF{-5}{5}$ est $4$, atteint en $x = 3$.
\task \textbf{Faux.} Le minimum de $g$ sur l'intervalle $\intFF{-5}{5}$ est $-1$, atteint en $x = 3$.
\task \textbf{Faux.} D'après le tableau de signes, les solutions de $f(x) = 0$ sont $x \in \left\{ -3; 1; 2 \right\}$. Il manque $2$.
\task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de signes, $f(x) \leq 0$ sur $\intFF{-5}{-3}\cup \intFF{1}{2}$.
\end{tasks}
\end{solution>
\begin{exercise}[subtitle={Création}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={}]
Cet exercice est un exercice création. Vous devez créer un vrai/faux à la manière de l'exercice précédent.
Vous devez inventer le tableau de signes d'une fonction $f$ et le tableau de variations d'une fonction $g$. Puis vous inventerez 6 propositions vraies ou fausses. Enfin vous proposerez un correction de votre exercice.
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Inéquation et tableau de signes}, step={4}, origin={Création}, topics={Inéquations}, tags={ Statistiques, Fractions }, mode={\searchMode}]
Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 6x + 2$
\item $g(x) = 9x + 10$
\item $h(x) = 6x + 8$
\item $i(x) = - 8x - 4$
\item $j(x) = 8x - 1$
\item $k(x) = 6x - 3$
\item $m(x) = \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 6x + 2$
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
\begin{align*}
f(x) & \geq 0 \\
6x + 2 & \geq 0 \\
6x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
6x &\geq - 2 \\
\frac{6x}{6} &\geq \frac{- 2}{6} \\
x &\geq \dfrac{- 1}{3} \\
\end{align*}
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 1}{3}$. On en déduit le tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{, $\dfrac{- 1}{3}$ ,}
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $g(x) = 9x + 10$
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
\begin{align*}
g(x) & \geq 0 \\
9x + 10 & \geq 0 \\
9x + 10 + - 10 &\geq 0 + - 10 \\
9x &\geq - 10 \\
\frac{9x}{9} &\geq \frac{- 10}{9} \\
x &\geq \dfrac{- 10}{9} \\
\end{align*}
Donc $g(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 10}{9}$. On en déduit le tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{, $\dfrac{- 10}{9}$ ,}
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $h(x) = 6x + 8$
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
\begin{align*}
h(x) & \geq 0 \\
6x + 8 & \geq 0 \\
6x + 8 + - 8 &\geq 0 + - 8 \\
6x &\geq - 8 \\
\frac{6x}{6} &\geq \frac{- 8}{6} \\
x &\geq \dfrac{- 4}{3} \\
\end{align*}
Donc $h(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 4}{3}$. On en déduit le tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ h(x) $/1}{, $\dfrac{- 4}{3}$ ,}
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $i(x) = - 8x - 4$
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
\begin{align*}
i(x) & \geq 0 \\
- 8x - 4 & \geq 0 \\
- 8x - 4 + 4 &\geq 0 + 4 \\
- 8x &\geq 4 \\
\frac{- 8x}{- 8} &\leq \frac{4}{- 8} \\
x &\leq \dfrac{1}{- 2} \\
\end{align*}
Donc $i(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à $\dfrac{1}{- 2}$. On en déduit le tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ i(x) $/1}{, $\dfrac{1}{- 2}$ ,}
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $j(x) = 8x - 1$
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
\begin{align*}
j(x) & \geq 0 \\
8x - 1 & \geq 0 \\
8x - 1 + 1 &\geq 0 + 1 \\
8x &\geq 1 \\
\frac{8x}{8} &\geq \frac{1}{8} \\
x &\geq \dfrac{1}{8} \\
\end{align*}
Donc $j(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{1}{8}$. On en déduit le tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ j(x) $/1}{, $\dfrac{1}{8}$ ,}
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $k(x) = 6x - 3$
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
\begin{align*}
k(x) & \geq 0 \\
6x - 3 & \geq 0 \\
6x - 3 + 3 &\geq 0 + 3 \\
6x &\geq 3 \\
\frac{6x}{6} &\geq \frac{3}{6} \\
x &\geq \dfrac{1}{2} \\
\end{align*}
Donc $k(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{1}{2}$. On en déduit le tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ k(x) $/1}{, $\dfrac{1}{2}$ ,}
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $m(x) = \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2}$
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
\begin{align*}
m(x) & \geq 0 \\
\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2} & \geq 0 \\
\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2} + \dfrac{9}{2} &\geq 0 + \dfrac{9}{2} \\
\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{0}{2} &\geq \dfrac{9}{2} \\
\frac{\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{0}{2}}{\dfrac{9}{- 4}} &\leq \frac{\dfrac{9}{2}}{\dfrac{9}{- 4}} \\
x &\leq - 2 \\
\end{align*}
Donc $m(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à $- 2$. On en déduit le tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ m(x) $/1}{, $- 2$ ,}
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Tableau de signes et produits}, step={4}, origin={Création}, topics={Inéquations}, tags={ Statistiques, Fractions }, mode={\searchMode}]
Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = (5x + 5)(3x + 7)$
\item $g(x) = (9x + 10)(4x + 5)$
\item $h(x) = (- 3x - 9)(4x + 4)$
\item $i(x) = (- 2x - 10)(5x - 4)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\textbf{Méthode générale :} Pour tracer le tableau de signes d'un produit, on étudie le signe de chaque facteur séparément en résolvant des inéquations, puis on applique la règle des signes pour le produit.
\begin{enumerate}
\item $f(x) = (5x + 5)(3x + 7)$
\textbf{Étude du signe de $5x + 5$ :}
Pour déterminer quand $5x + 5$ est positif, on résout l'inéquation :
\begin{align*}
5x + 5 & \geq 0 \\
5x & \geq -5 \\
x & \geq -1
\end{align*}
Donc $5x + 5$ est positif quand $x$ est supérieur ou égal à $-1$.
\textbf{Étude du signe de $3x + 7$ :}
Pour déterminer quand $3x + 7$ est positif, on résout l'inéquation :
\begin{align*}
3x + 7 & \geq 0 \\
3x & \geq -7 \\
x & \geq -\dfrac{7}{3}
\end{align*}
Donc $3x + 7$ est positif quand $x$ est supérieur ou égal à $-\dfrac{7}{3}$.
\textbf{Tableau de signes :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1, $5x+5$/1, $3x+7$/1, $f(x)$/1}{, $-\dfrac{7}{3}$ ,$-1$, }
\tkzTabLine{, -, z, -, z, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est inférieur ou égal à $-\dfrac{7}{3}$ ou supérieur ou égal à $-1$.
\item $g(x) = (9x + 10)(4x + 5)$
\textbf{Étude du signe de $9x + 10$ :}
Pour déterminer quand $9x + 10$ est positif, on résout l'inéquation :
\begin{align*}
9x + 10 & \geq 0 \\
9x & \geq -10 \\
x & \geq -\dfrac{10}{9}
\end{align*}
Donc $9x + 10$ est positif quand $x$ est supérieur ou égal à $-\dfrac{10}{9}$.
\textbf{Étude du signe de $4x + 5$ :}
Pour déterminer quand $4x + 5$ est positif, on résout l'inéquation :
\begin{align*}
4x + 5 & \geq 0 \\
4x & \geq -5 \\
x & \geq -\dfrac{5}{4}
\end{align*}
Donc $4x + 5$ est positif quand $x$ est supérieur ou égal à $-\dfrac{5}{4}$.
\textbf{Tableau de signes :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1, $9x+10$/1, $4x+5$/1, $g(x)$/1}{, $-\dfrac{5}{4}$ ,$-\dfrac{10}{9}$, }
\tkzTabLine{, -, z, -, z, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $g(x)$ est positif quand $x$ est inférieur ou égal à $-\dfrac{5}{4}$ ou supérieur ou égal à $-\dfrac{10}{9}$.
\item $h(x) = (- 3x - 9)(4x + 4)$
\textbf{Étude du signe de $-3x - 9$ :}
Pour déterminer quand $-3x - 9$ est positif, on résout l'inéquation :
\begin{align*}
-3x - 9 & \geq 0 \\
-3x & \geq 9 \\
x & \leq -3
\end{align*}
Donc $-3x - 9$ est positif quand $x$ est inférieur ou égal à $-3$.
\textbf{Étude du signe de $4x + 4$ :}
Pour déterminer quand $4x + 4$ est positif, on résout l'inéquation :
\begin{align*}
4x + 4 & \geq 0 \\
4x & \geq -4 \\
x & \geq -1
\end{align*}
Donc $4x + 4$ est positif quand $x$ est supérieur ou égal à $-1$.
\textbf{Tableau de signes :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1, $-3x-9$/1, $4x+4$/1, $h(x)$/1}{, $-3$ ,$-1$, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, -, }
\tkzTabLine{, -, z, -, z, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $h(x)$ est positif quand $x$ est compris entre $-3$ et $-1$.
\item $i(x) = (- 2x - 10)(5x - 4)$
\textbf{Étude du signe de $-2x - 10$ :}
Pour déterminer quand $-2x - 10$ est positif, on résout l'inéquation :
\begin{align*}
-2x - 10 & \geq 0 \\
-2x & \geq 10 \\
x & \leq -5
\end{align*}
Donc $-2x - 10$ est positif quand $x$ est inférieur ou égal à $-5$.
\textbf{Étude du signe de $5x - 4$ :}
Pour déterminer quand $5x - 4$ est positif, on résout l'inéquation :
\begin{align*}
5x - 4 & \geq 0 \\
5x & \geq 4 \\
x & \geq \dfrac{4}{5}
\end{align*}
Donc $5x - 4$ est positif quand $x$ est supérieur ou égal à $\dfrac{4}{5}$.
\textbf{Tableau de signes :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1, $-2x-10$/1, $5x-4$/1, $i(x)$/1}{, $-5$ ,$\dfrac{4}{5}$, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, -, }
\tkzTabLine{, -, z, -, z, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $i(x)$ est positif quand $x$ est compris entre $-5$ et $\dfrac{4}{5}$.
\end{enumerate}
\end{solution}

28
2nd/07_Tableau_de_fonctions/index.rst Normal file
View File

@@ -0,0 +1,28 @@
Tableau de fonctions
####################
:date: 2025-11-17
:modified: 2025-11-17
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: fonction
:category: 2nd
:summary: Tableaux de variations et de signes de fonctions
Éléments du programme
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Contenus
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Capacités attendues
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Commentaires
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Progression
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Étape 1:
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2nd/07_Tableau_de_fonctions/plan_de_travail.tex Normal file
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Tableau de fonctions - Plan de travail}
\tribe{2nd}
\date{novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
}
\begin{document}
\maketitle
% Résumé
\bigskip
Savoir-faire de la séquence
\begin{itemize}
\item Croissance, décroissance, monotonie d’une fonction définie sur un intervalle. Tableau de variations.
\item Maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle.
\item Relier représentation graphique et tableau de variations.
\item Déterminer graphiquement les extremums d’une fonction sur un intervalle.
\item Exploiter un logiciel de géométrie dynamique ou de calcul formel, la calculatrice ou Python pour décrire les variations d'une fonction donnée par une formule.
\item Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.
\end{itemize}
\medskip
\hline
\medskip
\section{Qui est-ce des fonctions.}
\listsectionexercises
\section{Construire les tableaux}
\listsectionexercises
\section{À partir des tableaux}
\listsectionexercises
\section{Tableaux de signe et inéquations}
\listsectionexercises
\pagebreak
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\end{document}

BIN
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28
2nd/07_Tableau_de_fonctions/solutions.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,28 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Tableau de fonctions - Solutions}
\tribe{2nd}
\date{novembre 2025}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
exercise/print=false,
solution/print=true,
}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\input{exercises.tex}
%\printcollection{banque}
%\printsolutions{exercises}
\end{document}