feat(1G_math): DS3

1G_math/Evaluations/DS_2025-11-13/exercises.tex

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+\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, origin={}, topics={}, tags={ dérivation, probabilité, trigonométrie }, points={3}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Soit $A(2; 5)$ et $B(6; 3)$. La norme de $\vect{AB}$ est 
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $20$
+                    \item $2$
+                    \item $2\sqrt{5}$
+                    \item $\sqrt{2}$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item La forme factorisée de $f(x) = 16x^2 + 4 - 16x$ est
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $(8x - 8)^2$
+                    \item $(4x - 2)^2$
+                    \item $(4x + 8)^2$
+                    \item Aucune des trois autres propositions
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Résoudre l'inéquation $\dfrac{3x-2}{5} \leq \dfrac{3x-2}{2}$
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $x \geq \dfrac{2}{3}$
+                    \item $x \leq \dfrac{2}{5}$
+                    \item $0 \geq x$
+                    \item Aucune des trois autres propositions
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Calcul de la norme de $\vect{AB}$ :
+            \begin{align*}
+                \vect{AB} &= \begin{pmatrix} 6 - 2 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} \\
+                \|\vect{AB}\| &= \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}
+            \end{align*}
+            
+            \textbf{Réponse : c) $2\sqrt{5}$}
+            
+        \item Forme factorisée de $f(x) = 16x^2 + 4 - 16x$ :
+            
+            On réordonne : $f(x) = 16x^2 - 16x + 4$
+            
+            On reconnaît une identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 4x$ et $b = 2$ :
+            \begin{align*}
+                f(x) &= (4x)^2 - 2 \times 4x \times 2 + 2^2 \\
+                &= (4x - 2)^2
+            \end{align*}
+            
+            Vérification : $(4x - 2)^2 = 16x^2 - 16x + 4$ ✓
+            
+            \textbf{Réponse : b) $(4x - 2)^2$}
+            
+        \item Résolution de l'inéquation $\dfrac{3x-2}{5} \leq \dfrac{3x-2}{2}$ :
+            
+            \begin{align*}
+                \dfrac{3x-2}{5} &\leq \dfrac{3x-2}{2} \\
+                2(3x-2) &\leq 5(3x-2) \\
+                6x-4 &\leq 15x-10 \\
+                -9x &\leq -6 \\
+                x &\geq \dfrac{-6}{-9} = \dfrac{2}{3} \\
+            \end{align*}
+            
+            Donc $3x - 2 \geq 0$, soit $3x \geq 2$, d'où $x \geq \dfrac{2}{3}$
+            
+            \textbf{Réponse : a) $x \geq \dfrac{2}{3}$}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Visites}, step={1}, origin={https://frederic-junier.org/Premiere2023/Cours/Exos-Probas-Premiere-2022.pdf}, topics={}, tags={ dérivation, probabilité, trigonométrie }, points={7}]
+    \textit{Les probabilités seront données sous forme de fraction irréductibles. Des points sont attribués à la bonne manipulation des notations.}
+
+    L'animatrice d'une maison de retraite propose deux sorties aux 80 résidents: la visite d'une fromagerie et la visite d'un musée.
+
+    Sur les 80 résidents, 
+    \begin{itemize}
+        \item 37,5\% des résidents se sont inscrits à la visite de la fromagerie.
+        \item 25 résidents se sont inscrits à la visite du musée.
+        \item un quart des résidents se sont inscrits aux deux visites.
+    \end{itemize}
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter le tableau en détaillant les calculs effectués
+            \begin{center}
+                \begin{tabular}{|*{4}{p{4cm}|}}
+                    \hline
+                    & Inscrits à la visite de la fromagerie & Non inscrits à la visite de la fromagerie & Total \\
+                    \hline
+                    Inscrit à la visite du musée & & & \\
+                    \hline
+                    Non inscrit à la visite du musée & & & \\
+                    \hline
+                    Total & & & \\
+                    \hline
+                \end{tabular}
+            \end{center}
+    \end{enumerate}
+    On choisit un résident au hasard et on note
+    \begin{itemize}
+        \item $F$ l'évènement: "le résident est inscrit à la visite de la fromagerie"
+        \item $M$ l'évènement: "le résident est inscrit à la visite du musée"
+    \end{itemize}
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer les probabilités de $P(F)$ et de $P(M)$.
+                \item Interpréter et calculer la probabilité de l'évènement $F\cap M$.
+                \item Calculer la probabilité que le résident choisi au hasard soit inscrit à la visite de la fromagerie ou à la visite du musée.
+            \end{enumerate}
+        \item Calculer et interpréter $P_F(M)$.
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Montrer que si un résident n’est pas inscrit à la visite du musée, alors il y a plus de 8 chances sur 10 pour qu’il ne soit pas inscrit à la visite de la fromagerie.
+                \item L’animatrice affirme que si un résident n’est pas inscrit à une des visites, il y a une forte probabilité qu’il ne soit pas inscrit à l’autre.
+
+                    Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la réponse.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Complétion du tableau :}
+        
+            Calculs préliminaires :
+            \begin{itemize}
+                \item Inscrits à la fromagerie : $37,5\% \times 80 = 0,375 \times 80 = 30$ résidents
+                \item Inscrits au musée : $25$ résidents (donné)
+                \item Inscrits aux deux : $\frac{1}{4} \times 80 = 20$ résidents
+            \end{itemize}
+            
+            \begin{center}
+                \begin{tabular}{|*{4}{p{4cm}|}}
+                    \hline
+                    & Inscrits fromagerie & Non inscrits fromagerie & Total \\
+                    \hline
+                    Inscrit musée & 20 & 5 & 25 \\
+                    \hline
+                    Non inscrit musée & 10 & 45 & 55 \\
+                    \hline
+                    Total & 30 & 50 & 80 \\
+                    \hline
+                \end{tabular}
+            \end{center}
+            
+            Détails :
+            \begin{itemize}
+                \item Inscrits aux deux : 20
+                \item Inscrits musée uniquement : $25 - 20 = 5$
+                \item Inscrits fromagerie uniquement : $30 - 20 = 10$
+                \item Non inscrits aux deux : $80 - 20 - 5 - 10 = 45$
+            \end{itemize}
+            
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item $P(F) = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}$ et $P(M) = \frac{25}{80} = \frac{5}{16}$
+                
+                \item $F \cap M$ représente l'évènement "le résident est inscrit aux deux visites".
+                
+                    $P(F \cap M) = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$
+                    
+                \item La probabilité que le résident soit inscrit à au moins une visite est :
+                    \begin{align*}
+                        P(F \cup M) &= P(F) + P(M) - P(F \cap M) \\
+                        &= \frac{30}{80} + \frac{25}{80} - \frac{20}{80} \\
+                        &= \frac{35}{80} = \frac{7}{16}
+                    \end{align*}
+            \end{enumerate}
+            
+        \item $P_F(M) = \frac{P(F \cap M)}{P(F)} = \frac{\frac{20}{80}}{\frac{30}{80}} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$
+        
+            Interprétation : Parmi les résidents inscrits à la fromagerie, $\frac{2}{3}$ sont aussi inscrits au musée.
+            
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item $P_{\overline{M}}(\overline{F}) = \frac{P(\overline{M} \cap \overline{F})}{P(\overline{M})} = \frac{\frac{45}{80}}{\frac{55}{80}} = \frac{45}{55} = \frac{9}{11}$
+                
+                    Or $\frac{9}{11} \approx 0,818 > 0,8 = \frac{8}{10}$ donc l'affirmation est vraie.
+                    
+                \item Calculons $P_{\overline{F}}(\overline{M}) = \frac{P(\overline{F} \cap \overline{M})}{P(\overline{F})} = \frac{\frac{45}{80}}{\frac{50}{80}} = \frac{45}{50} = \frac{9}{10} = 0,9$
+                
+                    On a $P_{\overline{M}}(\overline{F}) \approx 0,82$ et $P_{\overline{F}}(\overline{M}) = 0,9$, donc dans les deux cas, la probabilité est élevée (supérieure à 0,8).
+                    
+                    \textbf{L'affirmation de l'animatrice est correcte.}
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Trigo}, step={1}, origin={}, topics={}, tags={ dérivation, probabilité, trigonométrie }, points={5}]
+    \begin{minipage}{0.63\textwidth}
+        On considère le cercle trigonométrique ci-contre. On a partagé le cercle trigonométrique en 24 segments.
+
+        \begin{enumerate}
+            \item Donner la mesure des angles associés aux points $A$, $B$ et $C$.
+            \item Placer sur le cercle trigonométrique les points suivants
+                \begin{multicols}{2}
+                    \begin{enumerate}
+                        \item $X$ image de $\frac{-3\pi}{2}$.
+                        \item $Y$ image de $\frac{5\pi}{3}$.
+                    \end{enumerate}    
+                \end{multicols}
+            \item Déterminer la mesure principale des angles suivants
+                \begin{multicols}{2}
+                    \begin{enumerate}
+                        \item $\alpha = \frac{7\pi}{3}$
+                        \item $\beta = \frac{-17\pi}{4}$
+                    \end{enumerate}
+                \end{multicols}
+            \item Calculer les valeurs suivantes
+                \begin{multicols}{3}
+                    \begin{enumerate}
+                        \item $\cos(\frac{\pi}{3})$
+                        \item $\sin(\frac{3\pi}{4})$
+                        \item $\sin(\frac{-\pi}{6})$
+                    \end{enumerate}
+                \end{multicols}
+        \end{enumerate}
+
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.35\textwidth}
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}[scale=3]
+                \cercleTrigo
+
+                % Diviser le cercle en 24 segments égaux
+                \foreach \angle in {0,15,...,345} {
+                    \draw[thin, gray] (0,0) -- (\angle:1);
+                }
+                \filldraw (30:1) circle (0.02cm) node[right] {$A$} ;
+                \filldraw (135:1) circle (0.02cm) node[above left] {$B$} ;
+                \filldraw (-165:1) circle (0.02cm) node[left] {$C$} ;
+
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Mesures des angles :}
+            \begin{itemize}
+                \item Le cercle est divisé en 24 segments, donc chaque segment correspond à $\frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$
+                \item Point $A$ : 2 segments depuis l'axe horizontal $\Rightarrow$ $\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$
+                \item Point $B$ : 9 segments depuis l'axe horizontal $\Rightarrow$ $\frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$
+                \item Point $C$ : -11 segments depuis l'axe horizontal $\Rightarrow$ $\frac{-11\pi}{12}$
+            \end{itemize}
+            
+        \item \textbf{Placement des points :}
+            \begin{enumerate}
+                \item $X$ image de $\frac{-3\pi}{2}$ : $\frac{-3\pi}{2} = \frac{-18\pi}{12}$ soit -18 segments $\Rightarrow$ en bas (point correspondant à $\frac{\pi}{2}$ par symétrie)
+                
+                \item $Y$ image de $\frac{5\pi}{3}$ : $\frac{5\pi}{3} = \frac{20\pi}{12}$ soit 20 segments $\Rightarrow$ 4 segments avant le tour complet
+                
+            \end{enumerate}
+            
+        \item \textbf{Mesures principales :}
+            \begin{enumerate}
+                \item $\alpha = \frac{7\pi}{3}$ : On retire un tour : $\frac{7\pi}{3} - 2\pi = \frac{7\pi - 6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$
+                
+                    \textbf{Mesure principale : $\frac{\pi}{3}$}
+                    
+                \item $\beta = \frac{-17\pi}{4}$ : On ajoute des tours : $\frac{-17\pi}{4} + 2\pi \times 3 = \frac{-17\pi + 24\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$
+                
+                    Ou bien : $\frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{-\pi}{4}$
+                    
+                    \textbf{Mesure principale : $\frac{-\pi}{4}$ (ou $\frac{7\pi}{4}$)}
+            \end{enumerate}
+            
+        \item \textbf{Valeurs trigonométriques :}
+            \begin{enumerate}
+                \item $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
+                
+                \item $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
+                
+                \item $\sin\left(\frac{-\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Fonctions}, step={1}, origin={}, topics={}, tags={ dérivation, probabilité, trigonométrie }, points={5}]
+    On souhaite étudier la fonction $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ que l'on a représentée ci-dessous. Sur le graphique, on a aussi représenté la droite $T$ tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x=1$.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[x=2.5cm, y=.4cm]
+            \clip (-3,-10) rectangle (4,10);
+            \draw[gray] (-3,-10) grid[step=1] (4,10);
+            \draw[gray!60, very thin] (-3,-10) grid[xstep=0.2, ystep=1] (4,10);
+
+            % Axes
+            \draw[->, thick] (-3,0) -- (4,0) node[above left] {$x$};
+            \draw[->, thick] (0,-10) -- (0,10) node[below right] {$y$};
+
+            % Origine
+            \node[below right] at (0,0) {$O$};
+            % \node[below left] at (0,2) {$y$};
+            % \node[below left] at (4.5,0) {$x$};
+            \node[left] at (0,1) {$1$};
+            \node[below] at (1,0) {$1$};
+
+            % Courbe f(x) = -x² + 2x
+            \draw[very thick, domain=-3:4, samples=100] plot (\x, {\x*\x*\x - 2*\x*\x - 5*\x + 6});
+            
+            % Tangente en $x=1$
+            \draw[domain=-3:4, samples=100] plot (\x, {6 - 6*\x});
+            \node[right] at (2.5,-8) {$T$};
+        \end{tikzpicture}
+        
+    \end{center}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Lire graphiquement les valeurs de $f(-1)$ et de $f(1)$ puis calculer le taux de variation de $f$ entre -1 et 1.
+        \item Calculer le taux de variation de $f$ entre 2 et 3,5. Que représente cette valeur sur le graphique?
+        \item Tracer les tangentes à la courbe aux points d'abscisse $x=-2$ et $x=-1$. 
+        \item Lire graphiquement le coefficient directeur de la tangente $T$.
+        \item Déterminer les abscisses des points de la courbe où le coefficient directeur de la tangente est nul.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Lecture graphique et taux de variation :}
+        
+            D'après le graphique :
+            \begin{itemize}
+                \item $f(-1) = 8$ (lecture sur la courbe)
+                \item $f(1) = 0$ (lecture sur la courbe)
+            \end{itemize}
+            
+            Taux de variation de $f$ entre $-1$ et $1$ :
+            \[
+                \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{0 - 8}{2} = \frac{-8}{2} = -4
+            \]
+            
+        \item \textbf{Taux de variation entre 2 et 3,5 :}
+        
+            Calcul avec la formule de $f$ :
+            \begin{align*}
+                f(2) &= 2^3 - 2 \times 2^2 - 5 \times 2 + 6 = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 \\
+                f(3,5) &= 3,5^3 - 2 \times 3,5^2 - 5 \times 3,5 + 6 \\
+                &= 42,875 - 24,5 - 17,5 + 6 = 6,875
+            \end{align*}
+            
+            Taux de variation :
+            \[
+                \frac{f(3,5) - f(2)}{3,5 - 2} = \frac{6,875 - (-4)}{1,5} = \frac{10,875}{1,5} = 7,25
+            \]
+            
+            \textbf{Interprétation :} Cette valeur représente le coefficient directeur de la droite passant par les points de la courbe d'abscisses 2 et 3,5 (droite sécante).
+            
+        \item \textbf{Tangentes :}
+        
+            Il faut tracer les tangentes à la courbe aux points d'abscisse $x = -2$ et $x = -1$.
+            
+            \begin{itemize}
+                \item En $x = -2$ : la tangente a une pente négative (la fonction décroît)
+                \item En $x = -1$ : la tangente a une pente négative mais moins forte
+            \end{itemize}
+            
+            (Les tangentes doivent être tracées sur le graphique)
+            
+        \item \textbf{Coefficient directeur de $T$ :}
+        
+            La tangente $T$ passe par les points $(0, 6)$ et $(1, 0)$ (lecture graphique).
+            
+            Coefficient directeur :
+            \[
+                a = \frac{0 - 6}{1 - 0} = -6
+            \]
+            
+        \item \textbf{Points où le coefficient directeur est nul :}
+        
+            Le coefficient directeur de la tangente est nul aux points où la courbe admet un extremum local (maximum ou minimum).
+            
+            D'après le graphique, cela se produit :
+            \begin{itemize}
+                \item En $x \approx -0,8$ (maximum local)
+                \item En $x \approx 2,1$ (minimum local)
+            \end{itemize}
+            
+            (Valeurs approximatives à lire sur le graphique)
+    \end{enumerate}
+\end{solution}

1G_math/Evaluations/DS_2025-11-13/solution.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DS3 \hfill Solution}
+\tribe{1G math}
+\date{13 novembre 2025}
+\duree{1h}
+% Tags: dérivation, probabilité, trigonométrie
+
+\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
+\xsimsetup{
+    exercise/print=false,
+    solution/print=true,
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\input{exercises.tex}
+%\printcollection{banque}
+\end{document}
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+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

1G_math/Evaluations/DS_2025-11-13/sujet.tex

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+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
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+% Title Page
+\title{DS3}
+\tribe{1G math}
+\date{13 novembre 2025}
+\duree{1h}
+% Tags: dérivation, probabilité, trigonométrie
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+\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
+\xsimsetup{collect}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\input{exercises.tex}
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+\end{document}
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+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
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+%%% End: