feat(1G_math): DS4

1G_math/Evaluations/DS_2025-12-04/exercises.tex

@@ -0,0 +1,293 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, origin={}, topics={Calculs et automatismes}, tags={évolution, factorisation, trigonométrie, calcul numérique}, points=6]
+    Les questions de cet exercice sont indépendantes. Vous n'êtes pas obligé de justifier vos résultats.
+    \begin{enumerate}
+        \item Une quantité est passée de 30 à 50. Calculer le taux d'évolution de cette transformation.
+            \vspace{2cm}
+        \item Un objet est vendu 90\euro. On applique une réduction de 15\%. Quel est son nouveau prix?
+            \vspace{2cm}
+        \item Factoriser les deux expressions suivantes
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $49 - 9x^2 = $
+                    \item $-10x + x^2 + 25 = $
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Donner les valeurs suivantes
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $\cos(\frac{\pi}{3})= $
+                    \item $\sin(\frac{-\pi}{3})= $
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Calculer la quantité $F = a + \dfrac{b+ c}{d}$ quand 
+
+            $a = -2$, $b = \dfrac{2}{3}$, $c =3$ et $d = \dfrac{1}{5}$.
+            \vspace{1cm}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le taux d'évolution est donné par $t = \dfrac{50 - 30}{30} = \dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}$.
+        
+        \item Le coefficient multiplicateur associé à une réduction de $15\,\%$ est $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.
+        
+        Le nouveau prix est donc $90 \times 0{,}85 = 90 \times \dfrac{85}{100} = \dfrac{90 \times 85}{100} = \dfrac{7650}{100} = 76{,}5$\euro.
+        
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item $49 - 9x^2 = 7^2 - (3x)^2 = (7-3x)(7+3x)$
+                \item $-10x + x^2 + 25 = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$
+            \end{enumerate}
+        
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
+                \item $\sin\left(\frac{-\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
+            \end{enumerate}
+        
+        \item On remplace les valeurs dans l'expression :
+        
+        $F = -2 + \dfrac{\frac{2}{3} + 3}{\frac{1}{5}} = -2 + \dfrac{\frac{2}{3} + \frac{9}{3}}{\frac{1}{5}} = -2 + \dfrac{\frac{11}{3}}{\frac{1}{5}}$
+        
+        $F = -2 + \frac{11}{3} \times 5 = -2 + \frac{55}{3} = \frac{-6 + 55}{3} = \frac{49}{3}$
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={mensuel}, step={2}, origin={E3C 2020 - sujet1}, topics={Suite}, tags={suite géométrique, modélisation, programmation}, points=5]
+    Lors du lancement d'un mensuel, \np{1200} exemplaires ont été vendus.
+
+    Une étude de marché prévoit une progression des ventes de 2\,\% chaque mois.
+
+    On modélise le nombre de mensuels vendus par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus durant le $n$-ième mois après le début de l'opération.
+
+    On a donc $u_0 = \np{1200}$.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le nombre $u_2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. 
+        \item Identifier la nature de la suite et ses paramètres.
+        \item Écrire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
+        \item Déterminer le nombre de mensuels vendus le 12e mois après l'opération.
+        \item On veut savoir quand les ventes par mois dépasseront 2000 exemplaires. Compléter le programme Python ci-dessous (fourni sur votre copie) pour calculer le nombre de mois nécessaire pour atteindre 2000 exemplaires.
+
+            \begin{center}
+                \begin{minipage}{0.7\linewidth}
+                    \inputminted[bgcolor=base3,linenos]{python}{./scripts/seuil.py}
+                \end{minipage}
+            \end{center}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Une progression de $2\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + 0{,}02 = 1{,}02$.
+        
+        Ainsi $u_1 = 1{,}02 \times u_0 = 1{,}02 \times 1200 = 1224$ et $u_2 = 1{,}02 \times u_1 = 1{,}02 \times 1224 = 1248{,}48$.
+        
+        Durant le 2\up{e} mois après le lancement, environ $1248$ exemplaires seront vendus.
+        
+        \item Chaque mois, le nombre de mensuels vendus est multiplié par $1{,}02$.
+        
+        La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q = 1{,}02$ et de premier terme $u_0 = 1200$.
+        
+        \item Pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0 \times q^n = 1200 \times 1{,}02^n$.
+        
+        \item $u_{12} = 1200 \times 1{,}02^{12} \approx 1521{,}5$.
+        
+        Le 12\up{e} mois après l'opération, environ $1522$ mensuels seront vendus.
+        
+        \item Programme complété :
+        
+        \begin{minted}{python}
+def seuil():
+    u = 1200
+    n = 0
+    while u < 2000:
+        n = n + 1
+        u = u * 1.02
+    return n
+        \end{minted}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Nature de suite}, step={2}, origin={Création}, topics={Suite}, tags={suite arithmétique, suite géométrique}, points=2]
+    Pour chacune des suites suivantes, indiquer si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre. Vous justifierez vos réponses
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $u_n = 4 - 5n$
+            %\item $v_n = \dfrac{n+1}{n+2}$
+            \item $w_n = \dfrac{100}{2^n}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculons les trois premiers termes :
+        
+        $u_0 = 4 - 5 \times 0 = 4$
+        
+        $u_1 = 4 - 5 \times 1 = -1$
+        
+        $u_2 = 4 - 5 \times 2 = -6$
+        
+        On observe que $u_1 - u_0 = -1 - 4 = -5$ et $u_2 - u_1 = -6 - (-1) = -5$.
+        
+        La suite semble arithmétique de raison $-5$.
+        
+        Démontrons-le : $u_{n+1} - u_n = (4 - 5(n+1)) - (4 - 5n) = 4 - 5n - 5 - 4 + 5n = -5$
+        
+        La différence entre deux termes consécutifs est constante, donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = -5$.
+        
+        \item Calculons les trois premiers termes :
+        
+        $w_0 = \dfrac{100}{2^0} = \dfrac{100}{1} = 100$
+        
+        $w_1 = \dfrac{100}{2^1} = \dfrac{100}{2} = 50$
+        
+        $w_2 = \dfrac{100}{2^2} = \dfrac{100}{4} = 25$
+        
+        On observe que $\dfrac{w_1}{w_0} = \dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{25}{50} = \dfrac{1}{2}$.
+        
+        La suite semble géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
+        
+        Démontrons-le : $\dfrac{w_{n+1}}{w_n} = \dfrac{\frac{100}{2^{n+1}}}{\frac{100}{2^n}} = \dfrac{100}{2^{n+1}} \times \dfrac{2^n}{100} = \dfrac{2^n}{2^{n+1}} = \dfrac{2^n}{2^n \times 2} = \dfrac{1}{2}$
+        
+        Le quotient de deux termes consécutifs est constant, donc $(w_n)$ est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Etude de fonction}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={taux de variation, nombre dérivé, tangente}, points=5]
+    Soit $f$ la fonction polynôme définie sur $\R$ par $$f(x) = x^2 - x + 3$$
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le taux de variation de $f$ entre 2 et 6. Interpréter graphiquement cette quantité.
+        \item On cherche à déterminer le nombre dérivé de $f$ en 2.
+            \begin{enumerate}
+                \item Exprimer le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ où $h\neq 0$.
+                \item En déduire le nombre dérivé de $f$ en 2. Interpréter graphiquement cette quantité.
+                \item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 2.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+    Soit $g$ la fonction définie sur $\intOO{-\infty}{-1}\cap\intOO{-1}{+\infty}$ par
+    $$ g(x) = \frac{5}{x+1}$$
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item On cherche à déterminer le nombre dérivé de $g$ en 1.
+            \begin{enumerate}
+                \item Exprimer le taux de variation de $g$ entre $1$ et $1+h$ où $h\neq 0$.
+                \item En déduire la valeur de $g'(1)$.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le taux de variation de $f$ entre 2 et 6 est :
+        
+        $\dfrac{f(6) - f(2)}{6-2} = \dfrac{(36 - 6 + 3) - (4 - 2 + 3)}{4} = \dfrac{33 - 5}{4} = \dfrac{28}{4} = 7$
+        
+        Graphiquement, ce taux représente le coefficient directeur de la droite passant par les points de la courbe d'abscisses 2 et 6.
+        
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ est :
+                
+                $\dfrac{f(2+h) - f(2)}{(2+h) - 2} = \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}$
+                
+                Or $f(2+h) = (2+h)^2 - (2+h) + 3 = 4 + 4h + h^2 - 2 - h + 3 = h^2 + 3h + 5$
+                
+                et $f(2) = 5$.
+                
+                Ainsi $\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} = \dfrac{h^2 + 3h + 5 - 5}{h} = \dfrac{h^2 + 3h}{h} = \dfrac{h(h+3)}{h} = h + 3$
+                
+                \item Le nombre dérivé de $f$ en 2 est la limite du taux de variation quand $h$ tend vers 0 :
+                
+                $f'(2) = \lim_{h \to 0} (h+3) = 3$
+                
+                Graphiquement, $f'(2) = 3$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 2.
+                
+                \item L'équation de la tangente au point d'abscisse 2 est :
+                
+                $y = f'(2)(x-2) + f(2) = 3(x-2) + 5 = 3x - 6 + 5 = 3x - 1$
+            \end{enumerate}
+        
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Le taux de variation de $g$ entre $1$ et $1+h$ est :
+                
+                $\dfrac{g(1+h) - g(1)}{h}$
+                
+                Or $g(1+h) = \dfrac{5}{(1+h)+1} = \dfrac{5}{2+h}$ et $g(1) = \dfrac{5}{2}$.
+                
+                Ainsi $\dfrac{g(1+h) - g(1)}{h} = \dfrac{\frac{5}{2+h} - \frac{5}{2}}{h} = \dfrac{\frac{10 - 5(2+h)}{2(2+h)}}{h} = \dfrac{\frac{10 - 10 - 5h}{2(2+h)}}{h}$
+                
+                $= \dfrac{\frac{-5h}{2(2+h)}}{h} = \dfrac{-5h}{2(2+h)h} = \dfrac{-5}{2(2+h)}$
+                
+                \item $g'(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-5}{2(2+h)} = \dfrac{-5}{2 \times 2} = \dfrac{-5}{4}$
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Etude graphique}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={lecture graphique, nombre dérivé, tangente}, points=2]
+        Ci-contre sont représentées la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$
+        et les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses $-1$ et $4$ 
+        \begin{enumerate}
+            \item Déterminer graphiquement les valeurs de $f'(-1)$ et de $f'(4)$
+            \item On suppose que $f'(2) = 2$. Tracer à la règle la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2.
+        \end{enumerate}
+
+      \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[
+          width=15cm,
+          height=7cm,
+          axis lines=middle,
+          xlabel={$x$},
+          ylabel={$y$},
+          xmin=-2.5, xmax=5,
+          ymin=-3, ymax=10,
+          xtick={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},
+          ytick={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
+          grid=major,
+          samples=100,
+        ]
+          % Fonction principale
+          \addplot[blue, very thick, domain=-2.5:5] {x*(x-2)};
+          
+          % Tangente en x=-1
+          \addplot[red, thick, domain=-2.5:1] {-4*(x+1)+3};
+          % 
+          % Tangente en x=0
+          \addplot[red, thick, domain=2:5] {6*(x-4) + 8};
+          % 
+          % % Tangente en x=4
+          % \addplot[red, thick, domain=2.5:6] {16/3*(x-4) + 4/3*(4-2)^2 - 3};
+          % 
+          % Points de tangence
+          \addplot[only marks, mark=*, mark size=2pt] coordinates {(-1, 3) (4,8)};
+        \end{axis}
+      \end{tikzpicture} 
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le nombre dérivé $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $-1$.
+        
+        On lit graphiquement que cette tangente passe par les points $(-1; 3)$ et $(0; -1)$.
+        
+        Ainsi $f'(-1) = \dfrac{-1 - 3}{0 - (-1)} = \dfrac{-4}{1} = -4$
+        
+        De même, la tangente au point d'abscisse $4$ passe par les points $(4; 8)$ et $(3; 2)$.
+        
+        Ainsi $f'(4) = \dfrac{2 - 8}{3 - 4} = \dfrac{-6}{-1} = 6$
+        
+        \item On a $f(2) = 2 \times (2-2) = 0$, donc le point de tangence est $(2; 0)$.
+        
+        La tangente a pour coefficient directeur $f'(2) = 2$.
+        
+        En partant du point $(2; 0)$, on se déplace de 1 unité vers la droite et de 2 unités vers le haut pour obtenir le point $(3; 2)$.
+        
+        La tangente passe donc par les points $(2; 0)$ et $(3; 2)$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}

1G_math/Evaluations/DS_2025-12-04/scripts/seuil.py

@@ -0,0 +1,7 @@
+def seuil():
+    u = ...
+    n = ...
+    while ... < ...:
+        n = ...
+        u = ...
+    return n

1G_math/Evaluations/DS_2025-12-04/solution.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DS4 \hfill Solution}
+\tribe{1G math}
+\date{04 décembre 2025}
+\duree{1h}
+% Tags: dérivation, suite
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    exercise/print=false,
+    solution/print=true,
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\input{exercises.tex}
+%\printcollection{banque}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

1G_math/Evaluations/DS_2025-12-04/sujet.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{minted}
+\pgfplotsset{compat=1.18}
+
+% Title Page
+\title{DS4}
+\tribe{1G math}
+\date{04 décembre 2025}
+\duree{1h}
+% Tags: dérivation, suite
+
+\DeclareExerciseCollection[step=2]{banque}
+\xsimsetup{collect}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

1G_math/Evaluations/DS_2025-12-04/sujet_QF.tex

@@ -0,0 +1,31 @@
+\documentclass[a5paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DS4}
+\tribe{1G math}
+\date{04 décembre 2025}
+\duree{1h}
+% Tags: dérivation, suite
+\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
+\xsimsetup{collect}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\medskip
+{\Large Nom - Prénom: \dotfill}
+
+\medskip
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\vfill
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End: