feat(tstmg): DS4

Tstmg/Evaluations/DS_2025-12-11/exercises.tex

@@ -0,0 +1,308 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, origin={}, topics={Dérivation}, tags={ calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, suite }, points=4]
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la valeur de  $P_F(E)$?
+
+            \begin{tikzpicture}[xscale=1.5, grow=down]
+                \node {.} 
+                    child {node {$F$}
+                        child {node {$E$} 
+                            edge from parent
+                            node[below] {}
+                        }
+                        child {node {$\overline{E}$}
+                            edge from parent
+                            node[right] {0.2}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[below] {}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$\overline{F}$}
+                        child {node {$E$}
+                            edge from parent
+                            node[left] {0.9}
+                        }
+                        child {node {$\overline{E}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[right] {0.7}
+                    } ;
+            \end{tikzpicture}
+        \item Développer l'expression $$3(2x + 3)(4 - x)$$
+            \vspace{1cm}
+        \item Convertir en heure et minutes 2,45h
+            \vspace{2cm}
+        \item Une quantité augmente de 30\%.
+
+        Quel taux d'évolution doit-on appliquer pour retrouver la valeur de départ?
+            \vspace{2cm}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={EMPCS recyclé}, step={1}, origin={bac stmg métropole - 2019}, topics={Suites}, tags={ calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, suite }, points=6]
+
+    On s'intéresse au recyclage des emballages ménagers en plastique issus de la collecte sélective (EMPCS).
+
+    Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la masse d'EMPCS recyclés entre 2014 et 2016. Cette masse
+    est exprimée en millier de tonnes et arrondie au millier de tonnes.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}[]{|c|*{3}{p{3cm}|}}
+            \hline
+            Année& 2014& 2015& 2016\\\hline
+            Masse d'EMPCS recyclés& 256& 266& 282\\\hline
+            \multicolumn{4}{r}{\footnotesize \emph{Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr, consulté le 21/01/2019}}
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item  Calculer le taux d'évolution global de la masse d'EMPCS recyclés entre 2014 et 2016. Vous donnerez le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
+        \item En déduire le taux d'évolution annuel moyen de la masse d'EMPCS recyclés entre 2014 et 2016. Vous donnerez le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
+    \end{enumerate}
+
+    On fait l'hypothèse qu'à partir de 2016, le taux d'évolution annuel de la masse d'EMPCS recyclés
+    est constant et égal à 4,2\,\%.
+
+    La masse d'EMPCS recyclés au cours de l'année $(2016 + n)$, exprimée en millier de tonnes, est modélisée par le terme de rang $n$ d'une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 282$.
+
+    \begin{enumerate}[resume]
+        \item Calculer la valeur de $u_1$ et de $u_2$ et interpréter le résultat.
+        \item Quelle est la nature de la suite? Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier $n$.
+        \item En déduire une estimation de la masse d'EMPCS recyclés en 2025.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Rouleaux de tissus}, step={1}, origin={bac stmg Polynésie - 2018}, topics={Dérivation}, tags={ calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, suite }, points=10]
+
+    Une entreprise fabrique chaque jour des rouleaux de tissu en coton. La production quotidienne varie entre 1 et 10 kilomètres de tissu. On note $x$ la production de tissu en kilomètres.
+
+    Le coût total de production, exprimé en euros, de $x$ kilomètres de tissu est donné par la fonction $C$ définie pour $x$ appartenant à [1~;~10] par :
+    \[C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750.\]
+    \noindent
+    \textbf{Partie A : lectures graphiques}
+
+    On appelle coût moyen de production la fonction $C_m$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par: $C_m = \dfrac{C(x)}{x}$.
+
+    La représentation graphique de la fonction $C_m$ est donnée ci-dessous.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                xmin=0, xmax=12,
+                ymin=0, ymax=1250,
+                width=12cm,
+                height=8cm,
+                axis lines=left,
+                xlabel={$x$},
+                ylabel={$C_m(x)$},
+                xlabel style={at={(1,0)}, anchor=west},
+                grid=both,
+                grid style={dashed, gray},
+                major grid style={dashed},
+                xtick={0,1,...,12},
+                ytick={0,100,...,1200},
+                samples=2000,
+                domain=1:10,
+                thick,
+                axis line style={-stealth}
+                ]
+                \addplot[blue, very thick] {x^2*15 - 120*x + 500 + 750/x};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Donner par lecture graphique une valeur approchée de $C_m(7)$.
+        \item À l'aide de la représentation graphique, donner le tableau de variations de $C_m$ sur [1~;~10].
+        \item Déterminer par lecture graphique combien de kilomètres de tissu l'entreprise doit fabriquer pour que le coût moyen de production soit minimal.
+    \end{enumerate}
+
+    \noindent
+    \textbf{Partie B : étude du bénéfice}
+
+    \medskip
+    On suppose que l'entreprise vend chaque jour sa production journalière.
+
+    Le prix de vente d'un kilomètre de tissu est de 680~\euro.
+
+    On rappelle que le nombre de kilomètres de tissu $x$ fabriqués varie chaque jour entre 1 et 10.
+
+    On note $R(x)$ la recette, exprimée en euros, correspondant à la vente de $x$ kilomètres de tissu.
+
+    On note $B(x)$ le bénéfice, exprimé en euros, réalisé par l'entreprise pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.
+
+
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Combien est vendu 5 kilomètres de tissu?
+                \item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
+            \end{enumerate}
+        \item Justifier que l'expression de $B(x)$ en fonction de $x$ est: $B(x) = - 15x^3 + 120x^2 + 180x - 750$.
+        \item  On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [1~;~10], calculer $B'(x)$.
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que $x = 6$ et $x = \frac{-2}{3}$ sont des racines de $B'(x)$.
+                \item Factoriser l'expression de $B'(x)$.
+                \item En déduire le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle [1~;~10].
+            \end{enumerate}
+        \item  En utilisant la question précédente, donner le tableau de variations complet de la fonction $B$ sur l'intervalle [1~;~10].
+        \item Déterminer le nombre de kilomètres de tissu que l'entreprise doit produire et vendre chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut ce bénéfice maximal ?
+    \end{enumerate}
+
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \textbf{Exercice 1 : Automatismes}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Sur l'arbre, on lit que $P_F(\overline{E}) = 0{,}2$. 
+        
+        Or $P_F(E) + P_F(\overline{E}) = 1$, donc $P_F(E) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.
+
+        \item On développe en utilisant la double distributivité :
+        \begin{align*}
+            3(2x + 3)(4 - x) &= 3[(2x + 3) \times 4 - (2x + 3) \times x] \\
+            &= 3[8x + 12 - 2x^2 - 3x] \\
+            &= 3[-2x^2 + 5x + 12] \\
+            &= -6x^2 + 15x + 36
+        \end{align*}
+
+        \item $2{,}45$h signifie 2 heures et $0{,}45$ heure.
+        
+        Pour convertir $0{,}45$h en minutes : $0{,}45 \times 60 = 27$ minutes.
+        
+        Donc $2{,}45$h $= 2$h$27$min.
+
+        \item Une augmentation de 30\% correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{30}{100} = 1{,}3$.
+        
+        Pour retrouver la valeur de départ, on divise par $1{,}3$, ce qui correspond à multiplier par $\frac{1}{1{,}3} \approx 0{,}769$.
+        
+        Le taux d'évolution est donc $0{,}769 - 1 = -0{,}231$, soit une diminution d'environ $23{,}1$\%.
+    \end{enumerate}
+
+    \textbf{Exercice 2 : EMPCS recyclé}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Le taux d'évolution global entre 2014 et 2016 est :
+        $$t = \frac{282 - 256}{256} = \frac{26}{256} \approx 0{,}1016$$
+        
+        Le taux d'évolution global est d'environ $10{,}2$\%.
+
+        \item Le taux d'évolution annuel moyen $t_m$ vérifie $(1 + t_m)^2 = 1 + t$.
+        
+        Donc $1 + t_m = \sqrt{1 + t} = \sqrt{1{,}1016} \approx 1{,}0496$.
+        
+        Ainsi $t_m \approx 0{,}0496$, soit environ $5{,}0$\%.
+
+        \item Avec un taux d'évolution constant de $4{,}2$\%, on a :
+        \begin{align*}
+            u_1 &= u_0 \times 1{,}042 = 282 \times 1{,}042 = 293{,}844 \\
+            u_2 &= u_1 \times 1{,}042 = 293{,}844 \times 1{,}042 \approx 306{,}185
+        \end{align*}
+        
+        Interprétation : en 2017, environ 294 milliers de tonnes d'EMPCS seront recyclés, et en 2018, environ 306 milliers de tonnes.
+
+        \item La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}042$ et de premier terme $u_0 = 282$.
+        
+        Son terme général est donc : $u_n = 282 \times 1{,}042^n$.
+
+        \item L'année 2025 correspond à $n = 2025 - 2016 = 9$.
+        
+        Donc $u_9 = 282 \times 1{,}042^9 \approx 282 \times 1{,}456 \approx 410{,}6$.
+        
+        En 2025, environ 411 milliers de tonnes d'EMPCS seront recyclés.
+    \end{enumerate}
+
+    \textbf{Exercice 3 : Rouleaux de tissus}
+
+    \textbf{Partie A : lectures graphiques}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Par lecture graphique, $C_m(7) \approx 500$ euros.
+
+        \item Tableau de variations de $C_m$ sur $[1~;~10]$ :
+        
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $C_m(x)$/2}{$1$, $5$, $10$}
+                \tkzTabVar{+/, -/, +/}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+        
+        La fonction $C_m$ est décroissante sur $[1~;~5]$ puis croissante sur $[5~;~10]$.
+
+        \item Le coût moyen est minimal pour $x = 5$ kilomètres de tissu.
+    \end{enumerate}
+
+    \textbf{Partie B : étude du bénéfice}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item 5 kilomètres de tissu sont vendus $5 \times 680 = 3\,400$ euros.
+                \item La recette pour $x$ kilomètres est $R(x) = 680x$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût :
+        \begin{align*}
+            B(x) &= R(x) - C(x) \\
+            &= 680x - (15x^3 - 120x^2 + 500x + 750) \\
+            &= 680x - 15x^3 + 120x^2 - 500x - 750 \\
+            &= -15x^3 + 120x^2 + 180x - 750
+        \end{align*}
+
+        \item $B(x) = -15x^3 + 120x^2 + 180x - 750$
+        
+        Donc $B'(x) = -15 \times 3x^2 + 120 \times 2x + 180 = -45x^2 + 240x + 180$.
+
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Vérifions que $x = 6$ est racine de $B'(x)$ :
+                $$B'(6) = -45 \times 36 + 240 \times 6 + 180 = -1\,620 + 1\,440 + 180 = 0$$
+                
+                Vérifions que $x = -\frac{2}{3}$ est racine de $B'(x)$ :
+                $$B'\left(-\frac{2}{3}\right) = -45 \times \frac{4}{9} + 240 \times \left(-\frac{2}{3}\right) + 180 = -20 - 160 + 180 = 0$$
+
+                \item $B'(x) = -45x^2 + 240x + 180 = -45\left(x^2 - \frac{240}{45}x - \frac{180}{45}\right) = -45(x^2 - \frac{16}{3}x - 4)$
+                
+                Comme $x = 6$ et $x = -\frac{2}{3}$ sont les racines, on factorise :
+                $$B'(x) = -45\left(x - 6\right)\left(x + \frac{2}{3}\right)$$
+
+                \item Sur $[1~;~10]$, on a $x - 6 < 0$ pour $x \in [1~;~6[$ et $x - 6 > 0$ pour $x \in ]6~;~10]$.
+                
+                De plus, $x + \frac{2}{3} > 0$ sur $[1~;~10]$.
+                
+                Donc $B'(x) = -45(x - 6)(x + \frac{2}{3})$ est du signe de $-(x - 6)$ :
+                \begin{itemize}
+                    \item $B'(x) > 0$ sur $[1~;~6[$
+                    \item $B'(6) = 0$
+                    \item $B'(x) < 0$ sur $]6~;~10]$
+                \end{itemize}
+            \end{enumerate}
+
+        \item Tableau de variations de $B$ sur $[1~;~10]$ :
+        
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, Signe de $B'(x)$/1, $B(x)$/2}{$1$, $6$, $10$}
+                \tkzTabLine{, +, z, -, }
+                \tkzTabVar{-/$B(1)$, +/$B(6)$, -/$B(10)$}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+
+        \item Le bénéfice est maximal pour $x = 6$ kilomètres de tissu.
+        
+        Le bénéfice maximal est :
+        \begin{align*}
+            B(6) &= -15 \times 6^3 + 120 \times 6^2 + 180 \times 6 - 750 \\
+            &= -15 \times 216 + 120 \times 36 + 1\,080 - 750 \\
+            &= -3\,240 + 4\,320 + 1\,080 - 750 \\
+            &= 1\,410 \text{ euros}
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}

Tstmg/Evaluations/DS_2025-12-11/solution.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DS4 \hfill Solution}
+\tribe{Tstmg}
+\date{11 décembre 2025}
+\duree{1h}
+% Tags: calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, suite
+
+\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
+\xsimsetup{
+    exercise/print=false,
+    solution/print=true,
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\input{exercises.tex}
+%\printcollection{banque}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

Tstmg/Evaluations/DS_2025-12-11/sujet.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.18}
+
+% Title Page
+\title{DS4}
+\tribe{Tstmg}
+\date{11 décembre 2025}
+\duree{1h}
+% Tags: calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, suite
+
+\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
+\xsimsetup{collect}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End: