feat(tstmg): afinage DS2

Tstmg/Evaluations/DS_2025-10-14/exercises.tex

@@ -5,40 +5,88 @@
 
     \begin{enumerate}
         \item 
-            \begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
-                Déterminer les solutions de l'équation $f(x) \geq 0$. Vous laisserez les traits de constructions qui vous ont permis de répondre.
-            \end{minipage}
-                \hfill
-            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+                Déterminer les solutions de l'inéquation $f(x) \geq 1$. Vous laisserez les traits de constructions qui vous ont permis de répondre.
+
                 \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
                     \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                     ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
                     \tkzGrid
                     \tkzAxeXY
-                    \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,1) (-4,2) (-3, 0) (-2, -1) (-1, 0) (0, 2) (1, 1) (2, 0) (3, -1) (4, -2) (5, -2) };
+                    \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,2) (-4,3) (-3, 1) (-2, 0) (-1, 1) (0, 3) (1, 2) (2, 1) (3, 0) (4, -1) (5, -3) };
                 \end{tikzpicture}
-            \end{minipage}
-        \item  Effectuer le calcule suivant et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible (Une réponse non justifiée ne rapporte pas de points)
+        \item  Effectuer le calcul suivant et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible (Une réponse non justifiée ne rapporte pas de points)
 
             $\dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{3}\times\dfrac{4}{5}=$
             \vfill
-        \item Une table coutait 340\euro. Pendant les soldes elle coûte 289\euro. Quel est le pourcentage de remise?
+        \item Une table coûtait 340\euro. Pendant les soldes elle coûte 289\euro. Quel est le pourcentage de remise?
             \vfill
         \item Soit $u$ une suite géométrique de raison 0.7 et de premier terme $u(0) = 230$.
-                Calculer $u(100)$
+                Calculer $u(20)$
                 \vfill
         \item Résoudre l'inéquation suivante
 
             \[-2x - 10 \geq 6\]
             \vfill
     \end{enumerate}
+    \pagebreak
 \end{exercise}
 
 \begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Les solutions de $f(x) \geq 1$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est au-dessus ou sur la droite horizontale $y = 1$.
+
+        En traçant la droite $y = 1$ sur le graphique, on observe que la courbe coupe cette droite en plusieurs points.
+
+        D'après le graphique : $x \in [-4; -3] \cup [-1; 1]$
+
+        \item $\dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{3}\times\dfrac{4}{5}$
+
+        $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{7 \times 4}{3 \times 5}$
+
+        $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{28}{15}$
+
+        $= \dfrac{5 \times 5}{3 \times 5} - \dfrac{28}{15}$
+
+        $= \dfrac{25}{15} - \dfrac{28}{15}$
+
+        $= \dfrac{25 - 28}{15}$
+
+        $= \dfrac{-3}{15}$
+
+        $= -\dfrac{1}{5}$
+
+        \item Prix initial : 340\euro
+
+        Prix soldé : 289\euro
+
+        Remise : $340 - 289 = 51$\euro
+
+        Pourcentage de remise : $\dfrac{51}{340} \times 100 = 15$\%
+
+        \item Suite géométrique : $u(n) = u(0) \times q^n$ avec $u(0) = 230$ et $q = 0.7$
+
+        $u(20) = 230 \times 0.7^{20}$
+
+        $u(20) \approx 230 \times 0.0008
+
+        $u(20) \approx 0.18
+
+        \item $-2x - 10 \geq 6$
+
+        $-2x \geq 6 + 10$
+
+        $-2x \geq 16$
+
+        $x \leq \dfrac{16}{-2}$ (on change le sens de l'inégalité car on divise par un nombre négatif)
+
+        $x \leq -8$
+
+        L'ensemble des solutions est $]-\infty; -8]$
+    \end{enumerate}
 \end{solution}
 
 \begin{exercise}[subtitle={Fonctions}, step={1}, origin={bac STMG CE 2029}, topics={}, tags={ arbre, calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, probabilité }, points={3}]
-    Les questions de cet exercices sont indépendantes
+    Les questions de cet exercice sont indépendantes
     \begin{enumerate}
         \item Tracer le tableau de signe et le tableau de variation de la fonction tracée ci-dessous
 
@@ -53,6 +101,61 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item D'après le graphique, la fonction :
+
+        \textbf{Tableau de signe :}
+
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
+                \hline
+                $x$ & $-5$ & & $-2$ & & $0$ & & $2$ & & $5$ \\
+                \hline
+                $f(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & $0$ & $-$ & \\
+                \hline
+            \end{tabular}
+        \end{center}
+
+        \textbf{Tableau de variations :}
+
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{|c|ccccccc|}
+                \hline
+                $x$ & $-5$ & & $-4$ & & $-1$ & & $1$ & & $5$ \\
+                \hline
+                & & $\nearrow$ & 3 & $\searrow$ & -1 & $\nearrow$ & 1 & $\searrow$ & \\
+                $f(x)$ & 4 & & & & & & & & -3 \\
+                \hline
+            \end{tabular}
+        \end{center}
+
+        \item Pour $f(x) = 6x - 12$ :
+
+        Pour savoir où mettre le + on résout $f(x) > 0$ :
+
+        $6x - 12 > 0$
+
+        $6x > 12$
+
+        $x > 2$
+
+        Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à 2.
+
+        \textbf{Tableau de signe :}
+
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{|c|ccc|}
+                \hline
+                $x$ & $-\infty$ & $2$ & $+\infty$ \\
+                \hline
+                $f(x)$ & $-$ & $0$ & $+$ \\
+                \hline
+            \end{tabular}
+        \end{center}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Tablettes de chocolats}, step={1}, origin={bac STMG CE 2029}, topics={}, tags={ arbre, calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, probabilité }, points={6}]
     Afin d'améliorer la proportion de tablettes de chocolat commercialisables, le fabricant met en place une nouvelle chaîne de production.
 
@@ -81,7 +184,7 @@
             \item Calculer la probabilité que la tablette choisie provienne de l'ancienne chaîne et soit commercialisable.
             \item Peut-on affirmer qu'au moins 80\,\% de la production totale de tablettes est commercialisable ?
                 Expliciter la démarche utilisée.
-            \item On admet que la probabilité qu'une tablette ne sois pas commercialisable est de 0.188. Si on choisit au hasard un tablette parmi les non commercialisables, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la nouvelle chaine de production?
+            \item On admet que la probabilité qu'une tablette ne soit pas commercialisable est de 0.188. Si on choisit au hasard une tablette parmi les non commercialisables, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la nouvelle chaîne de production?
         \end{enumerate}
     \end{minipage}
     \hfill
@@ -115,9 +218,72 @@
                 } ;
         \end{tikzpicture}
     \end{minipage}
+    \pagebreak
 \end{exercise}
 
 \begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Arbre pondéré complété :}
+
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}[sloped, scale=1.3]
+                \node {.}
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$C$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.68}
+                        }
+                        child {node {$\overline{C}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.32}
+                        }
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.4}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$N$}
+                        child {node {$C$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.9}
+                        }
+                        child {node {$\overline{C}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.1}
+                        }
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.6}
+                    } ;
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+
+        \item Probabilité que la tablette provienne de l'ancienne chaîne ET soit commercialisable :
+
+        $P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0.4 \times 0.68 = 0.272$
+
+        \item Calculons $P(C)$ pour savoir si au moins 80\% de la production est commercialisable :
+
+        $P(C) = P(A \cap C) + P(N \cap C)$
+
+        $P(A \cap C) = 0.4 \times 0.68 = 0.272$
+
+        $P(N \cap C) = 0.6 \times 0.9 = 0.54$
+
+        $P(C) = 0.272 + 0.54 = 0.812$
+
+        Donc 81.2\% de la production est commercialisable.
+
+        \textbf{Oui}, on peut affirmer qu'au moins 80\% de la production totale est commercialisable.
+
+        \item On cherche $P_{\overline{C}}(N)$, la probabilité conditionnelle que la tablette provienne de la nouvelle chaîne sachant qu'elle n'est pas commercialisable.
+
+        On sait que $P(\overline{C}) = 0.188$
+
+        $P(N \cap \overline{C}) = P(N) \times P_N(\overline{C}) = 0.6 \times 0.1 = 0.06$
+
+        $P_{\overline{C}}(N) = \dfrac{P(N \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} = \dfrac{0.06}{0.188} \approx 0.319$
+
+        La probabilité qu'une tablette non commercialisable provienne de la nouvelle chaîne est d'environ 0.32 (ou 32\%).
+    \end{enumerate}
 \end{solution}
 
 \begin{exercise}[subtitle={Salariés}, step={1}, origin={E3C 2020 Métro}, topics={}, tags={ arbre, calcul littéral, dérivation, fonction, information chiffrée, probabilité }, points={6}]
@@ -148,7 +314,7 @@ On peut traiter les questions 1. et 2. de façon indépendante.
     \item 
         \begin{enumerate}
             \item En 2015, 66,8\% des salariés des ETI (entreprises de taille intermédiaire) font partie d’un groupe français. Calculer le nombre de salariés des ETI de groupes français. 
-            \item Compléter le tableau donné en annexe en arrondissant les résultats au millier près.
+            \item Compléter le tableau donné ci-dessus en arrondissant les résultats au millier près et en détaillant les calculs réalisés.
         \end{enumerate}
     \item On choisit au hasard un salarié en 2015. On considère les évènements suivants :
         \begin{itemize}
@@ -164,3 +330,65 @@ On peut traiter les questions 1. et 2. de façon indépendante.
 \end{enumerate}
 
 \end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Nombre de salariés des ETI de groupes français :
+
+                On sait que 66,8\% des 3657 salariés des ETI font partie d'un groupe français.
+
+                $3657 \times 0.668 = 2442.876 \approx 2443$ milliers
+
+                \item Complétons le tableau :
+
+                \textbf{Pour les ETI :}
+                \begin{itemize}
+                    \item Groupes français : 2443 (calculé ci-dessus)
+                    \item Sous contrôle étranger : $3657 - 154 - 2443 = 1060$
+                \end{itemize}
+
+                \textbf{Pour les GE (Grandes entreprises) :}
+                \begin{itemize}
+                    \item Groupes français : $8477 - 2443 - 2255 - 177 = 3602$
+                    \item Sous contrôle étranger : $2047 - 1060 - 336 - 20 = 631$
+                    \item Vérification : $0 + 3602 + 631 = 4233 \approx 4235$ (écart dû aux arrondis)
+                \end{itemize}
+
+                \begin{table}[h]
+                    \centering
+                    \begin{tabular}{|p{4cm}|*{4}{p{3cm}|}}
+                        \hline
+                & Unités légales hors groupes & Groupes français & Sous contrôle d'un groupe étranger & Total \\
+                \hline
+                        Grande entreprise (GE) & 0 & \np{3602} & 631 & \np{4235} \\
+                        \hline
+                        Entreprises de taille intermédiaire (ETI) & 154 & \np{2443} & \np{1060} & \np{3657} \\
+                        \hline
+                        Petites et moyennes entreprises (PME) hors micro-entreprises & \np{1669} & \np{2255} & 336 & \np{4259} \\
+                        \hline
+                        Micro-entreprises (MIC) & \np{2549} & 177 & 20 & \np{2745} \\
+                        \hline
+                        Total & \np{4373} & \np{8477} & \np{2047} & \np{14897} \\
+                        \hline
+                    \end{tabular}
+                \end{table}
+            \end{enumerate}
+
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item $P(F) = \dfrac{8477}{14897} \approx 0.57$ (ou 57\%)
+
+                $P(M) = \dfrac{4259}{14897} \approx 0.29$ (ou 29\%)
+
+                \item $P(F \cap M) = \dfrac{2255}{14897} \approx 0.15$ (ou 15\%)
+
+                \textbf{Interprétation :} La probabilité qu'un salarié choisi au hasard fasse partie d'une PME de groupe français est de 0.15 (ou 15\%).
+
+                \item $P_M(F) = \dfrac{P(F \cap M)}{P(M)} = \dfrac{2255/14897}{4259/14897} = \dfrac{2255}{4259} \approx 0.53$ (ou 53\%)
+
+                \textbf{Interprétation :} Sachant qu'un salarié fait partie d'une PME, la probabilité qu'il fasse partie d'un groupe français est de 0.53 (ou 53\%).
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}

Tstmg/Evaluations/DS_2025-10-14/solution.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\usetikzlibrary{shapes.geometric}
+
+\title{ DS2 }
+\tribe{Tstmg}
+\date{14 octobre 2025}
+\duree{1h}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    exercise/print=false,
+    solution/print=true,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\input{exercises.tex}
+%\printcollection{banque}
+%\printsolutions{exercises}
+
+\end{document}