feat(1G_math): fin du contenu pour séquence sur les suites
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1G_math/06_Suites_arithmetiques_et_geometriques/1B_suites.tex
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\author{Benjamin Bertrand}
|
||||
\title{Suites arithmétiques et géométriques - Cours}
|
||||
\date{novembre 2025}
|
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||||
\pagestyle{empty}
|
||||
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||||
\begin{document}
|
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||||
\maketitle
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||||
\section{Deux types de suites}
|
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|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\large{\textbf{Suite Arithmétique}}
|
||||
\end{center}
|
||||
Une suite arithmétique modélise les situations où l'on répète une même \textbf{addition}.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
|
||||
]
|
||||
%Nodes
|
||||
\node[roundnode] (premier) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
|
||||
\node[roundnode] (deuxieme) [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
|
||||
\node[roundnode] (troisieme) [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
|
||||
\node[roundnode] (ad) [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
|
||||
\node[roundnode] (der) [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};
|
||||
|
||||
%Lines
|
||||
\path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (deuxieme.west);
|
||||
\path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (troisieme.west);
|
||||
\path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
|
||||
\path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (der.west);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Suite arithmétique]
|
||||
Une suite $(u_n)$ est \textbf{arithmétique} s'il existe un nombre $r$ tel que
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n \in \N, u_{n+1} = u_n + r
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Ce nombre $r$ est la \textbf{raison} de la suite
|
||||
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\columnbreak
|
||||
\begin{center}
|
||||
\large{\textbf{Suite Géométrique}}
|
||||
\end{center}
|
||||
Une suite géométrique modélise les situations où l'on répète une \textbf{multiplication}.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
|
||||
]
|
||||
%Nodes
|
||||
\node[roundnode] (premier) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
|
||||
\node[roundnode] (deuxieme) [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
|
||||
\node[roundnode] (troisieme) [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
|
||||
\node[roundnode] (ad) [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
|
||||
\node[roundnode] (der) [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};
|
||||
|
||||
%Lines
|
||||
\path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (deuxieme.west);
|
||||
\path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (troisieme.west);
|
||||
\path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
|
||||
\path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (der.west);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Suite géométrique]
|
||||
Une suite $(u_n)$ est \textbf{géométrique} s'il existe un nombre $q$ tel que
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n \in \N, u_{n+1} = q \times u_n
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Ce nombre $q$ est la \textbf{raison} de la suite
|
||||
|
||||
\end{definition}
|
||||
\columnbreak
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\paragraph{Exemple:}
|
||||
Un investisseur nous propose les deux placements suivants.
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{itemize}[leftmargin=*]
|
||||
\item \textbf{Placement 1}: rendement annuel à 17\% de l'investissement initial.
|
||||
\item \textbf{Placement 2}: rendement annuel à 10\% du solde de l'année courante.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
On veut faire un placement initial de \np{10000}\euro.
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Le placement 1 peut être modélisé par une suite arithmétique car
|
||||
|
||||
\afaire{Trouver la nature de la suite ainsi que les paramètres}
|
||||
|
||||
Représentation graphique
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
xlabel={$n$},
|
||||
ylabel={Solde (\euro)},
|
||||
xmin=-0.5, xmax=10.5,
|
||||
ymin=0, ymax=30000,
|
||||
xtick={0,2,4,6,8,10},
|
||||
ytick={0,10000,20000,30000},
|
||||
grid=major,
|
||||
width=8cm,
|
||||
height=6cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot[only marks, mark=*, color=blue] coordinates {
|
||||
(0,10000) (1,11700) (2,13400) (3,15100)
|
||||
(4,16800) (5,18500) (6,20200) (7,21900)
|
||||
(8,23600) (9,25300) (10,27000)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\item Le placement 2 peut être modélisé par une suite géométrique car
|
||||
|
||||
\afaire{Trouver la nature de la suite ainsi que les paramètres}
|
||||
|
||||
Représentation graphique
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
xlabel={$n$},
|
||||
ylabel={Solde (\euro)},
|
||||
xmin=-0.5, xmax=10.5,
|
||||
ymin=0, ymax=30000,
|
||||
xtick={0,2,4,6,8,10},
|
||||
ytick={0,10000,20000,30000},
|
||||
grid=major,
|
||||
width=8cm,
|
||||
height=6cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot[only marks, mark=*, color=red] coordinates {
|
||||
(0,10000) (1,11000) (2,12100) (3,13310)
|
||||
(4,14641) (5,16105) (6,17716) (7,19487)
|
||||
(8,21436) (9,23579) (10,25937)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{propriete}[Identification]
|
||||
|
||||
Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n \in \N \qquad u_{n+1} - u_{n} = r
|
||||
\]
|
||||
|
||||
|
||||
Cette constante $r$ est alors la raison de la suite.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\columnbreak
|
||||
\begin{propriete}[Identification]
|
||||
|
||||
Une suite $(u_n)$ est géométriques si et seulement si
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n \in \N \qquad \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = q
|
||||
\]
|
||||
si et seulement si
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n \in \N \qquad \frac{u_{n+1} - u_n}{u_{n}} = t
|
||||
\]
|
||||
|
||||
La constante $q$ est alors la raison de la suite et $t$ est le \textbf{taux d'évolution} correspondant.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,263 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\author{Benjamin Bertrand}
|
||||
\title{Suites arithmétiques et géométriques - Cours}
|
||||
\date{novembre 2025}
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\setcounter{section}{1}
|
||||
\section{Formules explicites}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{propriete}[Formule explicite]
|
||||
Si $(u_n)$ est une suite \textbf{arithmétique} de raison $r$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n \in \N, u_{n} = u_0 + n \times r
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n, m \in \N, u_{n} = u_m + (n - m)\times r
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\paragraph{Illustration:}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
|
||||
node distance=0.8cm
|
||||
]
|
||||
%Nodes
|
||||
\node[roundnode] (u0) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
|
||||
\node[roundnode] (u1) [right=of u0] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
|
||||
\node[roundnode] (u2) [right=of u1] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
|
||||
\node (dots1) [right=0.3cm of u2] {$\cdots$};
|
||||
\node[roundnode] (um) [right=0.3cm of dots1] {\makebox[0.5cm]{$u_m$}};
|
||||
\node (dots2) [right=0.3cm of um] {$\cdots$};
|
||||
\node[roundnode] (un) [right=0.3cm of dots2] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
|
||||
|
||||
%Arrows from u0
|
||||
\path[->, color=blue, thick] (u0.south) edge [bend right=45] node [above, pos=0.5] {$+r$} (u1.south);
|
||||
\path[->, color=blue, thick] (u0.south) edge [bend right=50] node [below, pos=0.6] {$+r + r = +2r$} (u2.south);
|
||||
\path[->, color=blue, thick] (u0.south) edge [bend right=60] node [below, pos=0.5] {$+r + r ... + r = +nr$} (un.south);
|
||||
|
||||
%Arrow from um to un
|
||||
\path[->, color=green!50!black, thick] (um.north) edge [bend left=50] node [above, pos=0.5] {$+(n-m)r$} (un.north);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\columnbreak
|
||||
|
||||
\begin{propriete}[Formule explicite]
|
||||
Si $(u_n)$ est une suite \textbf{géométrique} de raison $q$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n \in \N, u_{n} = u_0 \times q^n
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\mbox{pour tout } n, m \in \N, u_{n} = u_m \times q^{n-m}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\paragraph{Illustration:}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
|
||||
node distance=0.8cm
|
||||
]
|
||||
%Nodes
|
||||
\node[roundnode] (u0) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
|
||||
\node[roundnode] (u1) [right=of u0] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
|
||||
\node[roundnode] (u2) [right=of u1] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
|
||||
\node (dots1) [right=0.3cm of u2] {$\cdots$};
|
||||
\node[roundnode] (um) [right=0.3cm of dots1] {\makebox[0.5cm]{$u_m$}};
|
||||
\node (dots2) [right=0.3cm of um] {$\cdots$};
|
||||
\node[roundnode] (un) [right=0.3cm of dots2] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
|
||||
|
||||
%Arrows from u0
|
||||
\path[->, color=red, thick] (u0.south) edge [bend right=45] node [above, pos=0.5] {$\times q$} (u1.south);
|
||||
\path[->, color=red, thick] (u0.south) edge [bend right=50] node [below, pos=0.6] {$\times q \times q = \times q^2$} (u2.south);
|
||||
\path[->, color=red, thick] (u0.south) edge [bend right=60] node [below, pos=0.5] {$\times q \times q ... \times q = \times q^n$} (un.south);
|
||||
|
||||
%Arrow from um to un
|
||||
\path[->, color=green!50!black, thick] (um.north) edge [bend left=50] node [above, pos=0.5] {$\times q^{n-m}$} (un.north);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Evolution}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
|
||||
\begin{propriete}[Évolution]
|
||||
Une suite arithmétique modélise une \textbf{évolution linéaire} et peut être associée à un modèle continu modélisé par la fonction linéaire
|
||||
\[f(x) = r\times x + u_0\]
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\begin{propriete}[Représentation graphique]
|
||||
Le nuage de point représentant une suite arithmétique est constitué de points alignés
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1]
|
||||
% r > 0
|
||||
\begin{scope}[xshift=0cm]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
xlabel={$n$},
|
||||
ylabel={$u_n$},
|
||||
xmin=-0.5, xmax=5.5,
|
||||
ymin=-0.5, ymax=6,
|
||||
xtick={0,2,4},
|
||||
ytick={1,3,5},
|
||||
width=4cm,
|
||||
height=3.5cm,
|
||||
title={$r > 0$},
|
||||
title style={at={(0.5,0.95)}, anchor=north}
|
||||
]
|
||||
\addplot[only marks, mark=*, color=blue] coordinates {
|
||||
(0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5)
|
||||
};
|
||||
\addplot[color=blue, dashed, domain=0:4] {x + 1};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
% r = 0
|
||||
\begin{scope}[xshift=3cm]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
xlabel={$n$},
|
||||
xmin=-0.5, xmax=5.5,
|
||||
ymin=-0.5, ymax=6,
|
||||
xtick={0,2,4},
|
||||
ytick={1,3,5},
|
||||
width=4cm,
|
||||
height=3.5cm,
|
||||
title={$r = 0$},
|
||||
title style={at={(0.5,0.95)}, anchor=north}
|
||||
]
|
||||
\addplot[only marks, mark=*, color=blue] coordinates {
|
||||
(0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
|
||||
};
|
||||
\addplot[color=blue, dashed, domain=0:4] {3};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
% r < 0
|
||||
\begin{scope}[xshift=6cm]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
xlabel={$n$},
|
||||
xmin=-0.5, xmax=5.5,
|
||||
ymin=-0.5, ymax=6,
|
||||
xtick={0,2,4},
|
||||
ytick={1,3,5},
|
||||
width=4cm,
|
||||
height=3.5cm,
|
||||
title={$r < 0$},
|
||||
title style={at={(0.5,0.95)}, anchor=north}
|
||||
]
|
||||
\addplot[only marks, mark=*, color=blue] coordinates {
|
||||
(0,5) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)
|
||||
};
|
||||
\addplot[color=blue, dashed, domain=0:4] {-x + 5};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
|
||||
\columnbreak
|
||||
|
||||
\begin{propriete}[Évolution]
|
||||
Une suite géométrique modélise une \textbf{évolution exponentielle} et peut être associée à un modèle continu modélisé par la fonction puissance
|
||||
\[f(x) = u_0 \times q^x\]
|
||||
(ces fonctions seront étudiées plus tard dans l'année).
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\begin{propriete}[Représentation graphique]
|
||||
Le nuage de point représentant une suite géométrique est constitué de points non alignés (sauf pour le cas $q = 1$)
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1]
|
||||
% q > 1
|
||||
\begin{scope}[xshift=0cm]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
xlabel={$n$},
|
||||
ylabel={$u_n$},
|
||||
xmin=-0.5, xmax=5.5,
|
||||
ymin=-0.5, ymax=8,
|
||||
xtick={0,2,4},
|
||||
ytick={0,2,4,6,8},
|
||||
width=4cm,
|
||||
height=3.5cm,
|
||||
title={$q > 1$},
|
||||
title style={at={(0.5,0.95)}, anchor=north}
|
||||
]
|
||||
\addplot[only marks, mark=*, color=red] coordinates {
|
||||
(0,1) (1,1.5) (2,2.25) (3,3.375) (4,5.0625)
|
||||
};
|
||||
\addplot[color=red, dashed, domain=0:4, samples=50] {1.5^x};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
% q = 1
|
||||
\begin{scope}[xshift=3cm]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
xlabel={$n$},
|
||||
xmin=-0.5, xmax=5.5,
|
||||
ymin=-0.5, ymax=8,
|
||||
xtick={0,2,4},
|
||||
ytick={0,2,4,6,8},
|
||||
width=4cm,
|
||||
height=3.5cm,
|
||||
title={$q = 1$},
|
||||
title style={at={(0.5,0.95)}, anchor=north}
|
||||
]
|
||||
\addplot[only marks, mark=*, color=red] coordinates {
|
||||
(0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
|
||||
};
|
||||
\addplot[color=red, dashed, domain=0:4] {3};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
% 0 < q < 1
|
||||
\begin{scope}[xshift=6cm]
|
||||
\begin{axis}[
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axis lines=middle,
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||||
xlabel={$n$},
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||||
xmin=-0.5, xmax=5.5,
|
||||
ymin=-0.5, ymax=8,
|
||||
xtick={0,2,4},
|
||||
ytick={0,2,4,6,8},
|
||||
width=4cm,
|
||||
height=3.5cm,
|
||||
title={$0 < q < 1$},
|
||||
title style={at={(0.5,0.95)}, anchor=north}
|
||||
]
|
||||
\addplot[only marks, mark=*, color=red] coordinates {
|
||||
(0,6) (1,4.2) (2,2.94) (3,2.058) (4,1.4406)
|
||||
};
|
||||
\addplot[color=red, dashed, domain=0:4, samples=50] {6*0.7^x};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\end{propriete}
|
||||
\end{multicols}
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||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,39 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
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||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
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||||
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||||
\author{Benjamin Bertrand}
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||||
\title{Suites arithmétiques et géométriques - Cours}
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\date{novembre 2025}
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\pagestyle{empty}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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\setcounter{section}{3}
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\section{Programmes}
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||||
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 50200$ et de raison $q=0.8$.
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||||
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||||
\subsection*{Calcul d'un terme avec une formule de récurence}
|
||||
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||||
Soit $(u_n)$ une suite définie par récurrence. Pour calculer $u_n$, on doit calculer tous les termes précédents en utilisant la relation de récurrence.
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||||
|
||||
\lstinputlisting[language=Python]{code/formule_recurrence.py}
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||||
|
||||
\subsection*{Calcul d'un terme avec une formule explicite}
|
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|
||||
On peut calculer directement $u_n$ avec la formule explicite $u_n = u_0 \times q^n = 50200 \times 0,8^n$.
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||||
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||||
\lstinputlisting[language=Python]{code/formule_explicite.py}
|
||||
|
||||
\subsection*{Calcul d'un seuil}
|
||||
|
||||
Pour déterminer à partir de quel rang $n$ une suite vérifie une certaine condition (par exemple $u_n < s$), on utilise une boucle qui s'arrête quand la condition est atteinte.
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||||
|
||||
\lstinputlisting[language=Python]{code/calcul_seuil.py}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
@@ -0,0 +1,11 @@
|
||||
def seuil(s):
|
||||
u = 50200 # u_0
|
||||
n = 0
|
||||
while u >= s:
|
||||
u = u * 0.8
|
||||
n = n + 1
|
||||
return n
|
||||
|
||||
|
||||
# Exemple : à partir de quel rang u_n < 1000 ?
|
||||
print(seuil(1000))
|
||||
@@ -0,0 +1,8 @@
|
||||
def campagneA(annee):
|
||||
repetition = ...
|
||||
u = ...
|
||||
n = ...
|
||||
for i in range(...):
|
||||
u = ...
|
||||
n = ...
|
||||
return n
|
||||
@@ -0,0 +1,4 @@
|
||||
def campagneB(annee):
|
||||
n = ...
|
||||
u = ...
|
||||
return u
|
||||
@@ -0,0 +1,8 @@
|
||||
def u(n):
|
||||
u_0 = 50200
|
||||
q = 0.8
|
||||
return u_0 * q**n
|
||||
|
||||
|
||||
# Exemple : calcul de u_94
|
||||
print(u(94))
|
||||
@@ -0,0 +1,9 @@
|
||||
def u(n):
|
||||
u = 50200 # u_0
|
||||
for i in range(n):
|
||||
u = u * 0.8
|
||||
return u
|
||||
|
||||
|
||||
# Exemple : calcul de u_94
|
||||
print(u(94))
|
||||
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
def seuil():
|
||||
u = 60
|
||||
n = 0
|
||||
while u >= 0.25:
|
||||
u = u / 2
|
||||
n = n + 1
|
||||
return n
|
||||
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
def seuil():
|
||||
u = ...
|
||||
n = ...
|
||||
while ... >= ...:
|
||||
u = ...
|
||||
n = ...
|
||||
return n
|
||||
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
def seuil(s):
|
||||
u = ...
|
||||
n = ...
|
||||
while ....:
|
||||
u = ...
|
||||
n = ...
|
||||
return n
|
||||
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
def seuil(s):
|
||||
u = 400
|
||||
n = 0
|
||||
while u > s:
|
||||
u = u * 8 / 9
|
||||
n = n + 1
|
||||
return n
|
||||
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
def valeur_vehicule(annee):
|
||||
n = annee - 2006
|
||||
u_n = 50200 * (0.8)**n
|
||||
return u_n
|
||||
|
||||
# Pour 2100
|
||||
print(valeur_vehicule(2100))
|
||||
@@ -0,0 +1,3 @@
|
||||
n = 2100 - 2006
|
||||
u_n = 50200 * (0.8)**n
|
||||
print(u_n)
|
||||
@@ -1,5 +1,5 @@
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Alerte générale}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Suites arithmétiques et géométriques }, tags={ suite, tableur, évolution }, mode={\searchMode}]
|
||||
Faïza et Bob deux scientifiques de renom sont témoins ont intercepté une message extra-terrestre qui annonce une invasion imminente. Pour se préparer, ils doivent alerté toutes les personnes vivant sur terre (environ 7milliards de personnes). Ils envisagent deux méthodes:
|
||||
Faïza et Bob deux scientifiques de renom ont intercepté un message extra-terrestre qui annonce une invasion imminente. Pour se préparer, ils doivent alerter toutes les personnes vivant sur terre (environ 7 milliards de personnes). Ils envisagent deux méthodes:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item utiliser une invention de leur cru: le communicateur télépathe. Cette machine permet de diffuser un message à \np{1000000} de personnes par jour.
|
||||
\item que chaque jour toutes les personnes au courant alertent 2 nouvelles personnes.
|
||||
@@ -156,6 +156,61 @@
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=-2$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $u_{n+1} = u_n + r = u_n - 2$
|
||||
\item $u_n = u_0 + n \times r = 5 + n \times (-2) = 5 - 2n$
|
||||
\item $u_{25} = 5 - 2 \times 25 = 5 - 50 = -45$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Étude de la nature des suites :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $u_n = 3n - 2$
|
||||
|
||||
$u_{n+1} = 3(n+1) - 2 = 3n + 3 - 2 = 3n + 1$
|
||||
|
||||
$u_{n+1} - u_n = (3n + 1) - (3n - 2) = 3$
|
||||
|
||||
La suite est \textbf{arithmétique} de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = -2$.
|
||||
|
||||
\item $v_n = -n + 4$
|
||||
|
||||
$v_{n+1} = -(n+1) + 4 = -n - 1 + 4 = -n + 3$
|
||||
|
||||
$v_{n+1} - v_n = (-n + 3) - (-n + 4) = -1$
|
||||
|
||||
La suite est \textbf{arithmétique} de raison $r = -1$ et de premier terme $v_0 = 4$.
|
||||
|
||||
\item $w_n = n^2 + 1$
|
||||
|
||||
$w_0 = 1$, $w_1 = 2$, $w_2 = 5$, $w_3 = 10$
|
||||
|
||||
$w_1 - w_0 = 1$, $w_2 - w_1 = 3$, $w_3 - w_2 = 5$
|
||||
|
||||
Les différences ne sont pas constantes. La suite \textbf{n'est pas arithmétique}.
|
||||
|
||||
\item $a_n = \frac{n^2 + n}{n} = \frac{n(n+1)}{n} = n + 1$ (pour $n \geq 1$)
|
||||
|
||||
$a_{n+1} = n + 2$
|
||||
|
||||
$a_{n+1} - a_n = (n+2) - (n+1) = 1$
|
||||
|
||||
La suite est \textbf{arithmétique} de raison $r = 1$ et de premier terme $a_1 = 2$.
|
||||
|
||||
\item $b_n = \sqrt{n}$
|
||||
|
||||
$b_1 = 1$, $b_4 = 2$, $b_9 = 3$, $b_{16} = 4$
|
||||
|
||||
$b_4 - b_1 = 1$, $b_9 - b_4 = 1$, $b_{16} - b_9 = 1$
|
||||
|
||||
Mais $b_2 - b_1 = \sqrt{2} - 1 \neq 1$
|
||||
|
||||
La suite \textbf{n'est pas arithmétique}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Reconnaître une suite géométrique}, step={2}, origin={Sesa math}, topics={ suite arith geo }, tags={ suite, tableur }, mode={\trainMode}]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Soit $u$ une suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=0.9$.
|
||||
@@ -184,27 +239,155 @@
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=0{,}9$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $u_{n+1} = u_n \times q = 0{,}9 \times u_n$
|
||||
\item $u_n = u_0 \times q^n = 5 \times (0{,}9)^n$
|
||||
\item $u_{10} = 5 \times (0{,}9)^{10} \approx 5 \times 0{,}349 \approx 1{,}74$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Suite géométrique de raison $q=2$ et $u_2 = \frac{1}{4}$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $u_{n+1} = 2 \times u_n$
|
||||
\item On sait que $u_n = u_0 \times q^n = u_0 \times 2^n$
|
||||
|
||||
Comme $u_2 = \frac{1}{4}$, on a : $u_0 \times 2^2 = \frac{1}{4}$
|
||||
|
||||
Donc $u_0 \times 4 = \frac{1}{4}$, d'où $u_0 = \frac{1}{16}$
|
||||
|
||||
Ainsi : $u_n = \frac{1}{16} \times 2^n = \frac{2^n}{16} = \frac{2^n}{2^4} = 2^{n-4}$
|
||||
|
||||
\item $u_6 = 2^{6-4} = 2^2 = 4$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Étude de la nature des suites :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $u_n = 3n - 2$
|
||||
|
||||
$u_0 = -2$, $u_1 = 1$, $u_2 = 4$
|
||||
|
||||
$\frac{u_1}{u_0} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$, $\frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{1} = 4$
|
||||
|
||||
Les rapports ne sont pas constants. La suite \textbf{n'est pas géométrique}.
|
||||
|
||||
\item $v_n = n^2 + 1$
|
||||
|
||||
$v_0 = 1$, $v_1 = 2$, $v_2 = 5$
|
||||
|
||||
$\frac{v_1}{v_0} = 2$, $\frac{v_2}{v_1} = \frac{5}{2} = 2{,}5$
|
||||
|
||||
Les rapports ne sont pas constants. La suite \textbf{n'est pas géométrique}.
|
||||
|
||||
\item $w_n = 2^{n+1}$
|
||||
|
||||
$w_{n+1} = 2^{n+2} = 2 \times 2^{n+1} = 2 \times w_n$
|
||||
|
||||
La suite est \textbf{géométrique} de raison $q = 2$ et de premier terme $w_0 = 2^1 = 2$.
|
||||
|
||||
\item $a_n = \frac{1}{n}$ (pour $n \geq 1$)
|
||||
|
||||
$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{1}{3}$
|
||||
|
||||
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{2}$, $\frac{a_3}{a_2} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$
|
||||
|
||||
Les rapports ne sont pas constants. La suite \textbf{n'est pas géométrique}.
|
||||
|
||||
\item $b_n = \frac{1}{3^n} = 3^{-n}$
|
||||
|
||||
$b_{n+1} = 3^{-(n+1)} = 3^{-n-1} = 3^{-1} \times 3^{-n} = \frac{1}{3} \times b_n$
|
||||
|
||||
La suite est \textbf{géométrique} de raison $q = \frac{1}{3}$ et de premier terme $b_0 = 1$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Campagne publicitaire}, step={2}, origin={T1CMATH03610}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
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||||
En 2019, une entreprise souhaite réaliser une campagne de publicité pour promouvoir ses produits.
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||||
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Elle prend alors contact avec une agence de publicité, nommée A, qui lui indique qu’en 2019, selon ses tarifs, le coût d’une campagne de publicité s’élève à 10000euros pour 2019 mais que celui-ci augmentera ensuite de 750€ par an.
|
||||
\item Elle prend alors contact avec une agence de publicité, nommée A, qui lui indique qu’en 2019, selon ses tarifs, le coût d’une campagne de publicité s’élève à 10~000 euros pour 2019 mais que celui-ci augmentera ensuite de 750€ par an.
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||||
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||||
On note $u_n$le coût d’une campagne publicitaire pour l’entreprise suivant les tarifs de l’agence A pour l’année $(2019+n)$.Ainsi $u_0$=10000.
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||||
On note $u_n$ le coût d’une campagne publicitaire pour l’entreprise suivant les tarifs de l’agence A pour l’année $(2019+n)$. Ainsi $u_0 = 10000$.
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||||
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Quel sera le coût d’une campagne de publicité pour l’entreprise en 2025 si elle choisit l’agence A?
|
||||
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$? Argumenter la réponse et préciser les paramètres.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Quel sera le coût d’une campagne de publicité pour l’entreprise en 2025 si elle choisit l’agence A?
|
||||
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$? Argumenter la réponse et préciser les paramètres.
|
||||
\item Compléter le code ci-contre pour que la fonction calcule le coût d'une compagne pour une année donnée.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
||||
\lstinputlisting{code/campagneA_a_completer.py}
|
||||
\end{minipage}
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||||
|
||||
\item L’entreprise contacte une agence de publicité B qui lui dit que le coût d’une campagne de publicité pour l’année $(2019+n)$ est donné par: $v_n = n^2+200n+\np{10000}$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer la valeur de $v_2$ et de $v_{10}$.
|
||||
\item La suite $v$ est-elle arithmétique ou géométrique? Si oui préciser les paramètres.
|
||||
\item Quel sera le coût d’une campagne de publicité pour l’entreprise en 2025 si elle choisit l’agence B?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Compléter le code de la fonction suivante qui calcule le coût d'une compagne pour une année donnée.
|
||||
\end{enumerate} \end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
||||
\lstinputlisting{code/campagneB_a_completer.py}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Agence A
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 2025 correspond à $n = 2025 - 2019 = 6$
|
||||
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||||
Chaque année, le coût augmente de 750€.
|
||||
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||||
$u_6 = u_0 + 6 \times 750 = \np{10000} + \np{4500} = \np{14500}$€
|
||||
|
||||
Le coût en 2025 sera de \np{14500}€.
|
||||
|
||||
\item Chaque année, le coût augmente d'une valeur constante de 750€.
|
||||
|
||||
On a donc : $u_{n+1} = u_n + 750$
|
||||
|
||||
La suite $(u_n)$ est \textbf{arithmétique} de raison $r = 750$ et de premier terme $u_0 = \np{10000}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Agence B
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_2 = 2^2 + 200 \times 2 + \np{10000} = 4 + 400 + \np{10000} = \np{10404}$€
|
||||
|
||||
$v_{10} = 10^2 + 200 \times 10 + \np{10000} = 100 + \np{2000} + \np{10000} = \np{12100}$€
|
||||
|
||||
\item Vérifions si la suite est arithmétique :
|
||||
|
||||
$v_0 = 0 + 0 + \np{10000} = \np{10000}$
|
||||
|
||||
$v_1 = 1 + 200 + \np{10000} = \np{10201}$
|
||||
|
||||
$v_2 = \np{10404}$
|
||||
|
||||
$v_1 - v_0 = 201$ et $v_2 - v_1 = 203$
|
||||
|
||||
Les différences ne sont pas constantes, donc la suite \textbf{n'est pas arithmétique}.
|
||||
|
||||
Vérifions si elle est géométrique :
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||||
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||||
$\frac{v_1}{v_0} = \frac{\np{10201}}{\np{10000}} = 1{,}0201$ et $\frac{v_2}{v_1} = \frac{\np{10404}}{\np{10201}} \approx 1{,}0199$
|
||||
|
||||
Les rapports ne sont pas constants, donc la suite \textbf{n'est pas géométrique}.
|
||||
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||||
\item 2025 correspond à $n = 6$
|
||||
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||||
$v_6 = 6^2 + 200 \times 6 + \np{10000} = 36 + \np{1200} + \np{10000} = \np{11236}$€
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Suites}, step={2}, origin={T1CMATH03614}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
|
||||
\noindent
|
||||
@@ -235,18 +418,69 @@
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\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item $u(1) = u(0) + 20 = 200 + 20 = 220$
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\item La relation de récurrence $u(n+1) = u(n) + 20$ montre que l'on ajoute à chaque étape une valeur constante de 20.
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La suite $u$ est donc \textbf{arithmétique} de raison $r = 20$ et de premier terme $u(0) = 200$.
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\item $u(2) = u(1) + 20 = 220 + 20 = 240$
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On place le point de coordonnées $(2, 240)$ sur le graphique.
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\item Analysons chaque situation :
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\begin{itemize}
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\item Situation A : Vente augmente de 10\% chaque année.
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Année 0 : 200 unités
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Année 1 : $200 \times 1{,}10 = 220$ unités
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Année 2 : $220 \times 1{,}10 = 242$ unités
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||||
Ce modèle correspond à une suite géométrique, pas à $u$.
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\item Situation B : Vente augmente de 20\% chaque année.
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Année 0 : 200 unités
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Année 1 : $200 \times 1{,}20 = 240$ unités
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Année 2 : $240 \times 1{,}20 = 288$ unités
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Ce modèle correspond à une suite géométrique, pas à $u$.
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\item Situation C : Vente augmente de 20 unités chaque année.
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Année 0 : 200 unités
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Année 1 : $200 + 20 = 220$ unités
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Année 2 : $220 + 20 = 240$ unités
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Ce modèle correspond exactement à la suite $u$.
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\end{itemize}
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\textbf{Réponse : La situation C} peut être modélisée par la suite $u$, car elle représente une évolution à accroissement constant de 20 unités par an.
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\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation d'un véhicule}, step={2}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
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Un transporteur a acheté en 2006 un véhicule fourgon de 9 tonnes au prix de \np{50200}\euro, taxes comprises. Compte tenu du nombre de kilomètres parcourus, le véhicule a perdu 20\% de sa valeur chaque année.
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||||
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\begin{enumerate}
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||||
\item Calculer la valeur du véhicule après 1an puis après 3 ans.
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||||
\item Pour tout entier $n$, on note $u_n$, la valeur résiduelle du véhicule l'année "2006+n".
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||||
\item Calculer la valeur du véhicule après 1 an puis après 3 ans.
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||||
\item Pour tout entier $n$, on note $u_n$ la valeur résiduelle du véhicule l'année « 2006+n ».
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||||
\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
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||||
\item Calculer $u_2$. Interpréter le résultat.
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||||
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction $u_n$.
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||||
\item Quel est la nature de la suite $(u_n)$? Préciser les paramètres.
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||||
\item Exprimer $u_n$ en fonction $n$.
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||||
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
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||||
\columnbreak
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||||
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$? Préciser les paramètres.
|
||||
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{multicols}
|
||||
\item Calculer la valeur résiduelle du véhicule en 2012. Puis en 2050. Arrondir à l'euro.
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@@ -254,6 +488,48 @@
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Valeur après 1 an : le véhicule perd 20\% de sa valeur, il reste donc 80\% de sa valeur.
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Après 1 an : $\np{50200} \times 0{,}8 = \np{40160}$€
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Après 3 ans : $\np{50200} \times (0{,}8)^3 = \np{50200} \times 0{,}512 = \np{25702{,}4}$€
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||||
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||||
\item Pour tout entier $n$, $u_n$ est la valeur résiduelle du véhicule l'année « 2006+n ».
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\begin{enumerate}
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||||
\item $u_2 = \np{50200} \times (0{,}8)^2 = \np{50200} \times 0{,}64 = \np{32128}$€
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||||
\textbf{Interprétation :} En 2008 (2006 + 2), le véhicule vaut \np{32128}€.
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||||
\item Chaque année, le véhicule perd 20\% de sa valeur, il conserve donc 80\% de sa valeur.
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||||
$u_{n+1} = 0{,}8 \times u_n$
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||||
\item La suite $(u_n)$ est \textbf{géométrique} de raison $q = 0{,}8$ et de premier terme $u_0 = \np{50200}$.
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||||
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||||
\item $u_n = u_0 \times q^n = \np{50200} \times (0{,}8)^n$
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\end{enumerate}
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||||
\item En 2012 : $n = 2012 - 2006 = 6$
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||||
$u_6 = \np{50200} \times (0{,}8)^6 \approx \np{50200} \times 0{,}262 \approx \np{13152}$€
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||||
En 2050 : $n = 2050 - 2006 = 44$
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||||
$u_{44} = \np{50200} \times (0{,}8)^{44} \approx \np{50200} \times 0{,}0001 \approx 5$€
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||||
\item Programme Python :
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\lstinputlisting{code/valeur_vehicule.py}
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ou plus simplement :
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\lstinputlisting{code/valeur_vehicule_simple.py}
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Le résultat sera extrêmement proche de 0€ (environ $10^{-9}$€).
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\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Rosace}, step={3}, origin={sesamath}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
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||||
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||||
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
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||||
@@ -263,10 +539,10 @@
|
||||
\end{itemize}
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||||
Elle continue ainsi en ajoutant à chaque étape un pétale entre deux pétales consécutifs.
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||||
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||||
On note $u_n$ le nombre de pétales l'étape $n$. On a $u_0 = 3$.
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||||
On note $u_n$ le nombre de pétales à l'étape $n$. On a $u_0 = 3$.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Calculer les valeurs de $u_1$ et de $u_2$.
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||||
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction $u_n$.
|
||||
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
|
||||
\item En déduire la nature et les paramètres de la suite $u$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
@@ -276,6 +552,30 @@
|
||||
\end{minipage}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item À l'étape 0, il y a 3 pétales.
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||||
À l'étape 1, on ajoute 1 pétale entre chacun des 3 pétales existants, donc on ajoute 3 pétales.
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$u_1 = u_0 + u_0 = 3 + 3 = 6$ pétales
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||||
À l'étape 2, on ajoute 1 pétale entre chacun des 6 pétales existants, donc on ajoute 6 pétales.
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||||
$u_2 = u_1 + u_1 = 6 + 6 = 12$ pétales
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||||
\item À chaque étape, on ajoute autant de pétales qu'il y en avait à l'étape précédente (un pétale entre chaque paire de pétales consécutifs).
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Donc : $u_{n+1} = u_n + u_n = 2 \times u_n$
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\item La relation $u_{n+1} = 2 \times u_n$ montre que l'on multiplie par 2 à chaque étape.
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La suite $u$ est donc \textbf{géométrique} de raison $q = 2$ et de premier terme $u_0 = 3$.
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||||
Son terme général est : $u_n = 3 \times 2^n$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Demi-vie}, step={3}, origin={frederic-junier.org}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
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||||
La scintigraphie cardiaque est une technique d’imagerie qui permet d’examiner la qualité de l’irrigation du cœur par les artères coronaires. Lors de cet examen, on injecte au patient un échantillon d’un isotope de Thallium d’activité radioactive 60 MBq (Méga Becquerel).
|
||||
@@ -283,21 +583,76 @@
|
||||
On appelle demi-vie le temps mis par une substance radioactive pour perdre la moitié de son activité. Ainsi, après une demi-vie, l’activité radioactive de cet échantillon de Thallium est de 30 MBq et après deux demi-vies, l’activité radioactive de cet échantillon est de 15 MBq.
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||||
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||||
On note $u_0$ l’activité radioactive de cet échantillon (en MBq) à l’injection et $u_n$ l’activité radioactive de cet échantillon (en MBq) après n demi-vies avec n entier naturel.
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||||
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||||
\noindent
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||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Donner les valeurs de $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
|
||||
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
|
||||
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item Déterminer l'activité radioactive de cet échantillon après 5 demi-vies.
|
||||
\item Compléter la fonction seuil() qui retourne le plus petit entier $n$ à partir duquel $u_n < 0{,}25$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
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||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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||||
\lstinputlisting{code/seuil_demi_vie_a_completer.py}
|
||||
\end{minipage}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Donner les valeurs de u0, u1, u2 et u3.
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||||
\item Exprimer un+1 en fonction de un . En déduire la nature de la suite (un ).
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||||
\item Exprimer un en fonction de n.
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||||
\item Déterminer l’activité radioactive de cet échantillon après 5 demi-vies.
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||||
\item Écrire en Python une fonction seuil() qui retourne le plus petit entier n à partir duquel un < 0, 25.
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||||
\item Sachant que la demi-vie de cet isotope de Thallium est d’environ 3 jours, déterminer le nombre de jours au bout desquels on est certain que l’activité radioactive de cet échantillon est strictement inférieure à 0,25 MBq.
|
||||
\setcounter{enumi}{5}
|
||||
\item Sachant que la demi-vie de cet isotope de Thallium est d’environ 3 jours, déterminer le nombre de jours au bout desquels on est certain que l’activité radioactive de cet échantillon est strictement inférieure à 0{,}25 MBq.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item À l'injection : $u_0 = 60$ MBq
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||||
Après 1 demi-vie : $u_1 = \frac{60}{2} = 30$ MBq
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||||
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||||
Après 2 demi-vies : $u_2 = \frac{30}{2} = 15$ MBq
|
||||
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||||
Après 3 demi-vies : $u_3 = \frac{15}{2} = 7{,}5$ MBq
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||||
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||||
\item À chaque demi-vie, l'activité est divisée par 2 :
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$u_{n+1} = \frac{u_n}{2} = 0{,}5 \times u_n$
|
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||||
La suite $(u_n)$ est \textbf{géométrique} de raison $q = 0{,}5 = \frac{1}{2}$ et de premier terme $u_0 = 60$.
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||||
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||||
\item $u_n = u_0 \times q^n = 60 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{60}{2^n}$
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||||
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||||
\item $u_5 = 60 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 60 \times \frac{1}{32} = \frac{60}{32} = 1{,}875$ MBq
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||||
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||||
\item Fonction Python :
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\lstinputlisting{code/seuil_demi_vie.py}
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||||
On cherche le plus petit $n$ tel que $60 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n < 0{,}25$
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||||
Par calculs successifs :
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\begin{itemize}
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||||
\item $u_7 = 60 \times \left(\frac{1}{2}\right)^7 \approx 0{,}469$ MBq
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||||
\item $u_8 = 60 \times \left(\frac{1}{2}\right)^8 \approx 0{,}234$ MBq
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
La fonction retourne $n = 8$.
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||||
\item Si la demi-vie est de 3 jours, après $n$ demi-vies, il s'est écoulé $3n$ jours.
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Comme $n = 8$ demi-vies sont nécessaires, il faut :
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||||
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$3 \times 8 = 24$ jours
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||||
Au bout de 24 jours, l'activité sera inférieure à 0{,}25 MBq.
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\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Tapis de Sierpiński}, step={3}, origin={frederic-junier.org}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}, mode={\trainMode}]
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||||
Une institutrice propose un atelier découpage pour ses élèves à partir d'une feuille de \np{400}~cm$^2$.
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\begin{itemize}
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||||
\item \textbf{Étape 1 :} l'élève partage d'abord la feuille en 9 carrés et découpe le carré central
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||||
\item \textbf{Étape 2 :} l'élève partage alors les 8 carrés restant en 9 carrés égaux et découpe le carré central
|
||||
\item \textbf{Étape 2 :} l'élève partage alors les 8 carrés restants en 9 carrés égaux et découpe le carré central
|
||||
\item \textbf{Étapes suivantes :} l'élève répète le même procédé \ldots
|
||||
\end{itemize}
|
||||
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||||
@@ -345,16 +700,8 @@
|
||||
\item Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique et déterminer sa raison.
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||||
\item Que peut-on conjecturer pour les valeurs de $u_n$ lorsque $n$ devient aussi grand que l'on veut ?
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||||
\item Recopier et compléter la fonction \texttt{seuil(s)} pour qu'elle retourne le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leq s$.
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||||
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% \begin{lstlisting}[language=Python]
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||||
% def seuil(s):
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% u = ...
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||||
% n = ...
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||||
% while ....:
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||||
% u = ...
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||||
% n = ...
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% return n
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||||
% \end{lstlisting}
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||||
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||||
\lstinputlisting{code/seuil_exercice_incomplet.txt}
|
||||
|
||||
Programmer cette fonction, quelle est la valeur retournée par \texttt{seuil(10)} ?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
@@ -387,15 +734,7 @@
|
||||
|
||||
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leq s$.
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}[language=Python]
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||||
def seuil(s):
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||||
u = 400
|
||||
n = 0
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||||
while u > s:
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||||
u = u * 8 / 9
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||||
n = n + 1
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||||
return n
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\lstinputlisting{code/seuil_solution.py}
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||||
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||||
En programmant cette fonction, on obtient : \texttt{seuil(10)} = 33
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -27,15 +27,22 @@ Capacités attendues
|
||||
- Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer le sens de variation.
|
||||
- Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
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Commentaires
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Algorithmes
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-----------
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C'est l'occasion de revoir la manipulation des taux d'évolutions.
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Il faudra continuer à travailler les algorithmes.
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||||
- Calcul de termes d’une suite, de sommes de termes, de seuil.
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Progression
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===========
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Étape 1: Comparer deux évolutions
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---------------------------------
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Étape 2: Reconnaitre la nature d'une suite
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------------------------------------------
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||||
Étape 3: Modéliser avec une suite
|
||||
---------------------------------
|
||||
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||||
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||||
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||||
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||||
Binary file not shown.
@@ -24,13 +24,14 @@
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer le sens de variation.
|
||||
\item Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
|
||||
\item Algorithmes: Calcul de termes d’une suite, de seuil.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\section{Deux modèles d'évolutions}
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||||
|
||||
\listsectionexercises
|
||||
|
||||
\section{Reconnaitre la nature d'une suite}
|
||||
\section{Reconnaître la nature d'une suite}
|
||||
|
||||
\listsectionexercises
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||||
|
||||
@@ -38,9 +39,9 @@
|
||||
|
||||
\listsectionexercises
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||||
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||||
\medskip
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\hline
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||||
\medskip
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||||
% \medskip
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||||
% \hline
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% \medskip
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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BIN
1G_math/06_Suites_arithmetiques_et_geometriques/solutions.pdf
Normal file
BIN
1G_math/06_Suites_arithmetiques_et_geometriques/solutions.pdf
Normal file
Binary file not shown.
@@ -5,7 +5,7 @@
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||||
\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Suites arithmétiques et géométriques - Solutions}
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\tribe{1G_math}
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\tribe{1G math}
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\date{novembre 2025}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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Reference in New Issue
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