Cours/2025-2026
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, origin={<++>}, topics={}, tags={ dérivation, fonction, information chiffrée, polynômes, représentation graphique, évolution }, points=6]
\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité suivante en donnant le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\begin{fleqn}
2 + \dfrac{9}{4}\times\dfrac{8}{15} =
\end{fleqn}
\item Une quantité diminue deux fois de 50\%. Par combien a-t-elle été multipliée?
\vfill
\item Une paire de chaussures coûte 120 €.Pendant les soldes, elle est vendue à 90 €. Calculer le taux d'évolution associé en pourcentage.
\vfill
\item Écrire $A = 5,89\times 10^4$ en écriture décimale.
\vfill
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item Quelle est l'équation de la droite?
\vspace{2cm}
\item Tracer le tableau de signe de la fonction représenté par cette droite.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]{3-1.5*x};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Calcul de la fraction :
\begin{align*}
2 + \dfrac{9}{4}\times\dfrac{8}{15} &= 2 + \dfrac{9 \times 8}{4 \times 15}\\
&= 2 + \dfrac{72}{60}\\
&= 2 + \dfrac{6}{5}\\
&= \dfrac{10}{5} + \dfrac{6}{5}\\
&= \mathbf{\dfrac{16}{5}}
\end{align*}
\item Diminuer de 50\% revient à multiplier par $1 - 0,5 = 0,5$.
Deux diminutions successives de 50\% donnent : $0,5 \times 0,5 = 0,25$
La quantité a été multipliée par \textbf{0,25}.
\item Le taux d'évolution se calcule par :
\[
t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i} = \dfrac{90 - 120}{120} = \dfrac{-30}{120} = -0,25
\]
Le taux d'évolution est de \textbf{-25\%}.
\item $A = 5,89 \times 10^4 = 5,89 \times 10\,000 = \mathbf{58\,900}$
\item La droite passe par les points $(0; 3)$ et $(2; 0)$.
Le coefficient directeur est : $a = \dfrac{0 - 3}{2 - 0} = \dfrac{-3}{2} = -1,5$
L'ordonnée à l'origine est $b = 3$.
L'équation de la droite est : $\mathbf{y = -1,5x + 3}$
\item La droite s'annule en $x = 2$ (car $-1,5 \times 2 + 3 = 0$).
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, Signe de $f(x)$/1}{$-\infty$, $2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, z, -,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Placements}, step={2}, origin={<++>}, topics={}, tags={ dérivation, fonction, information chiffrée, polynômes, représentation graphique, évolution }, points=4]
\begin{enumerate}
\item Sa copine Sarah a fait un placement similaire qui a débuté en 2015. On note $v_n$ la suite qui modélise le solde de son compte. On supposera qu'elle est géométrique et on a les valeurs suivantes
\[
u_1 = 2500 \qquad \qquad u_3 = 2700
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la valeur de $u_2$ est d'environ \np{2598}.
%\item Démontrer que la raison de la suite est $q=1,39$.
\item En déduire le taux d'évolution annuel associé placement de Sarah.
\end{enumerate}
\item Un troisième ami Bob a fait un placement sur 2ans à taux variable. La première année son placement lui a rapporté 5\% et la deuxième année 1\%. Quel est le taux moyen de son placement sur ces deux années?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour une suite géométrique, on a : $u_2^2 = u_1 \times u_3$
Donc : $u_2 = \sqrt{u_1 \times u_3} = \sqrt{2500 \times 2700} = \sqrt{6\,750\,000} \approx \mathbf{2598,08}$\euro
\item La raison de la suite est : $q = \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{2598,08}{2500} \approx 1,0392$
Le taux d'évolution annuel est donc : $t = q - 1 = 1,0392 - 1 = 0,0392$
Soit environ \textbf{3,92\%} par an.
\end{enumerate}
\item Le coefficient multiplicateur global est : $CM = 1,05 \times 1,01 = 1,0605$
Le taux moyen annuel $t_m$ vérifie : $(1 + t_m)^2 = 1,0605$
Donc : $1 + t_m = \sqrt{1,0605} \approx 1,0298$
Le taux moyen est : $t_m \approx 0,0298$ soit environ \textbf{2,98\%}.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Naissances}, step={2}, origin={<++>}, topics={}, tags={ dérivation, fonction, information chiffrée, polynômes, représentation graphique, évolution }, points=3]
Voici un aperçu d'une feuille de calcul regroupant le nombre de naissances dans un département français de 2009 à 2016.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline
1 &Année &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015&2016\\ \hline
3&Nombre de naissances $y_i$&\np{8304} &\np{8111} &\np{8041}&\np{7833} &\np{7644}&\np{7466}&\np{7199}&\np{6927}\\ \hline
4 &Indice &100 & & & & & & &\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\small \emph{Source: INSEE - État civil - Données mises en ligne le $12/10/2017$}}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer l'indice de l'année 2012.
\item Parmi les quatre formules proposées, laquelle peut-on saisir dans la cellule C4 pour obtenir, par recopie vers la droite, les indices jusqu'en 2016 ?
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textcircled{1} = C3*B4/\$B\$3&\textcircled{2} =\$C\$3*\$B\$4/B3&\textcircled{3}
=C3*\$B\$4/\$B\$3 &\textcircled{4} =\$C\$3*B4/B3
\end{tabularx}
\medskip
\item Déterminer le taux d'évolution du nombre de naissances entre 2009 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
%\item Expliquer pourquoi le taux d'évolution annuel moyen sur cette période est de $-2,6$\,\%, au dixième près.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Pour calculer un indice base 100 en 2009, on utilise la formule :
\[
\text{Indice} = \dfrac{\text{Valeur}}{\text{Valeur de référence}} \times 100
\]
Pour l'année 2012 (cellule E3) :
\[
\text{Indice}_{2012} = \dfrac{7833}{8304} \times 100 \approx \mathbf{94,3}
\]
\item En cellule C4, on veut : $\dfrac{\text{C3}}{\text{B3}} \times \text{B4}$
Pour que la formule fonctionne par recopie vers la droite :
\begin{itemize}
\item C3 doit varier (C3, D3, E3...) donc pas de \$
\item B3 doit rester fixe donc \$B\$3
\item B4 doit rester fixe donc \$B\$4
\end{itemize}
La bonne formule est : \textbf{\textcircled{3} =C3*\$B\$4/\$B\$3}
\item Le taux d'évolution entre 2009 et 2016 est :
\[
t = \dfrac{6927 - 8304}{8304} = \dfrac{-1377}{8304} \approx -0,1658
\]
Le taux d'évolution est d'environ \textbf{-16,6\%}.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Etude des variations des polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, points=6]
Une entreprise fabrique et vend des canapé. Le bénéfice mensuel (en euros) réalisé pour la production de $x$ canapés est modélisé par la fonction pour $x \in \intFF{0}{100}$.
\[B(x) = -51x^2 + 4590x-1000\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $B(0)$ et $B(100)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer la dérivée $B'(x)$ de la fonction $B$.
\item Étudier le signe de $B'(x)$ et dresser le tableau de signes. Puis en déduire le tableau de variations de $B(x)$.
\item Les phases suivantes sont-elles vraies ou fausses? Vous justifierez vos réponses en utilisant vos réponses aux questions précédentes.
\begin{enumerate}
\item Le maximum de la fonction $B(x)$ est atteint pour $x=50$.
\item La fonction $B(x)$ est croissante quand la production de canapé est comprise entre 10 et 40 canapés.
%\item Quand l'entreprise produit 80 canapés, elle perd de l'argent.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Calcul de $B(0)$ et $B(100)$ :
$B(0) = -51 \times 0^2 + 4590 \times 0 - 1000 = \mathbf{-1000}$\euro
$B(100) = -51 \times 100^2 + 4590 \times 100 - 1000 = -510\,000 + 459\,000 - 1000 = \mathbf{-52\,000}$\euro
\textbf{Interprétation :}
\begin{itemize}
\item Sans production (0 canapé), l'entreprise perd \np{1000}\euro{} (charges fixes).
\item Avec une production de 100 canapés, l'entreprise perd \np{52000}\euro{} (surproduction).
\end{itemize}
\item Calcul de la dérivée :
$B(x) = -51x^2 + 4590x - 1000$
$\mathbf{B'(x) = -102x + 4590}$
\item Étude du signe de $B'(x)$ :
$B'(x) = 0 \Leftrightarrow -102x + 4590 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{4590}{102} = 45$
$B'(x) > 0 \Leftrightarrow -102x + 4590 > 0 \Leftrightarrow x < 45$
\textbf{Tableau de signes de $B'(x)$ :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, Signe de $B'(x)$/1}{$0$, $45$, $100$}
\tkzTabLine{, +, z, -,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Calcul de $B(45)$ :
$B(45) = -51 \times 45^2 + 4590 \times 45 - 1000 = -103\,275 + 206\,550 - 1000 = 102\,275$
\textbf{Tableau de variations de $B(x)$ :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $B(x)$/2}{$0$, $45$, $100$}
\tkzTabVar{-/$-1000$, +/$102\,275$, -/$-52\,000$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Analyse des affirmations :
\begin{enumerate}
\item \textbf{FAUX.} D'après le tableau de variations, le maximum est atteint pour $x = 45$ (et non $x = 50$).
\item \textbf{VRAI.} D'après le tableau de variations, $B(x)$ est croissante sur $\intFO{0}{45}$. L'intervalle $\intFF{10}{40}$ est inclus dans cet intervalle, donc la fonction est bien croissante entre 10 et 40 canapés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}

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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
% Title Page
\title{DS3 \hfill Solution}
\tribe{Tstmg}
\date{18 novembre 2025}
\duree{1h}
% Tags: dérivation, fonction, information chiffrée, polynômes, représentation graphique, évolution
\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
\xsimsetup{
exercise/print=false,
solution/print=true,
}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DS3}
\tribe{Tstmg}
\date{18 novembre 2025}
\duree{1h}
% Tags: dérivation, fonction, information chiffrée, polynômes, représentation graphique, évolution
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\title{DS3}
\tribe{Tstmg}
\date{18 novembre 2025}
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% Tags: dérivation, fonction, information chiffrée, polynômes, représentation graphique, évolution
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\medskip
{\Large Nom - Prénom: \dotfill}
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