Import Work from 2012/2013

1S/DS/DS_130000/DS_Trigo.tex

@@ -0,0 +1,91 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
+\usepackage{wrapfig}
+
+% Title Page
+\title{Devoir surveillé: Trigonométrie}
+\author{}
+\date{}
+
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+% Manipulation d'angles et géometrie
+\begin{Exo}(7 points)\\
+    Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre $O$. Soit $A$ un point de $\mathcal{C}$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Donner la mesure principale des angles suivants
+            \begin{eqnarray*}
+                \left( \vec{OA}, \vec{OP} \right) = - \frac{\pi}{3} + k \times 2\pi\\
+                \left( \vec{OA}, \vec{OQ} \right) = \frac{70\pi}{3} + k \times 2\pi\\
+                \left( \vec{OP}, \vec{OR} \right) = \frac{2013\pi}{6} + k \times 2\pi
+            \end{eqnarray*}
+        \item Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur $\mathcal{C}$.
+        \item Determiner la mesure principale des angles suivants:
+            \begin{eqnarray*}
+                \left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right) , \left( \vec{OQ}, \vec{OR} \right)
+            \end{eqnarray*}
+        \item Quelle est la nature du triangle $OPQ$? En déduire la mesure principale de l'angle $\left( \vec{PA}, \vec{PO} \right)$.
+        \item Quelle est la mesure principale de l'angle $\left( \vec{PQ}, \vec{PA} \right)$?
+    \end{enumerate}
+    
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}(6 points)\\
+    On veut résoudre l'équation suivante $\sqrt{2} \cos x - 1 \geq 0$ sur $]\;-\pi \; ; \; \pi\;[$.
+        \begin{enumerate}
+            \item Résoudre l'équation suivante $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$.
+            \item Placer sur le cercle trigonométrique les points $A$ et $B$ associés aux deux solutions.
+            \item Colorier en rouge l'arc de cerle correspondant aux $x$ tel que $\cos x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
+            \item En déduire l'ensemble des solutions dans $] \; -\pi \; ; \; \pi \; [$ de l'équation $\sqrt{2} \cos x - 1 \geq 0$.
+        \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+% Équation trigonométriques
+\begin{Exo}(4 points)\\
+    Résoudre dans $\R$ l'équation suivante (penser à factoriser)
+    \begin{eqnarray*}
+        2 \sin^2 x - \sin x = 0
+    \end{eqnarray*}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}(3 points)\\
+    \begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth}
+         \vspace{-20pt}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{fig/fig1}
+  \end{center}
+ \vspace{-10pt}
+\end{wrapfigure}
+    Soient $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ quatres points. On suppose que $AEB$ et
+    $BCD$ sont isocèles et que $BDE$ est équilatéral. Enfin on pose que
+    $\left( \vec{AE},\vec{AB} \right) = \left( \vec{CB}, \vec{CD} \right) =
+    \frac{2\pi}{3} + k \times 2\pi$ .
+    \begin{enumerate}
+        \item Donner la mesure principale de $\left( \vec{BA}, \vec{BC} \right)$.
+        \item En déduire $\left( \vec{AC}, \vec{AB} \right)$.
+        \item Démontrer que $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
+    \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+% % Somme des angles d'un triangle
+% \begin{Exo}(3 points)\\
+%     Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatres points.
+%     \begin{enumerate}[a.]
+%         \item Démontrer que $(\vec{AB}, \vec{AD}) +(\vec{BC}, \vec{BA}) +(\vec{CD}, \vec{CB}) + (\vec{DA}, \vec{DC}) = k \times 2\pi$.
+%         \item Énoncer la propriété démontrée.
+%         \item Peut-on avoir un énoncé similaire avec 3 points?
+%     \end{enumerate}
+% \end{Exo}
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1S/DS/DS_130000/DS_Trigo_Corr.tex

@@ -0,0 +1,151 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
+\usepackage{wrapfig}
+
+% Title Page
+\title{Devoir surveillé: Trigonométrie (Correction)}
+\author{}
+\date{}
+
+\fancyhead[L]{$1^{ere}S7$ : \Thetitle}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+
+% Manipulation d'angles et géometrie
+\begin{Exo}(7 points)\\
+    \begin{enumerate}
+        \item (2points)
+            \begin{itemize}
+                \item La mesure principale de $\left( \vec{OA}, \vec{OP} \right) = - \frac{\pi}{3} + k \times 2\pi$ (c'est à dire la mesure de l'angle comprise entre $-\pi$ et $\pi$) est $\frac{-\pi}{3}$.
+                \item La mesure principale de $\left( \vec{OA}, \vec{OQ} \right) = \frac{70\pi}{3} + k \times 2\pi$ se trouve de la manière suivante
+                    \begin{eqnarray*}
+                        \frac{70}{3} \pi = 24\pi + \pi + \frac{\pi}{3} = 24\pi + \frac{4\pi}{3}
+                    \end{eqnarray*}
+                    C'est donc $\frac{-2\pi}{3}$.
+                \item La mesure principale de $\left( \vec{OP}, \vec{OR} \right) = \frac{2013\pi}{6} + k \times 2\pi$ se trouve de la manière suivante
+                    \begin{eqnarray*}
+                        \frac{2013}{6} \pi = 334\pi + \pi + \frac{3\pi}{6} = 334\pi + \frac{9\pi}{6}
+                    \end{eqnarray*}
+                    C'est donc $\frac{-\pi}{2}$.
+            \end{itemize}
+        \item (1 point) Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur $\mathcal{C}$.
+            \begin{center}
+                \includegraphics{fig/cercle_trigo_exo1}
+            \end{center}
+        \item (2 points)
+            \begin{itemize}
+                \item Calcul de la mesure principale de $\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right)$
+                    \begin{eqnarray*}
+                        \left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right) &=& \left( \vec{OP}, \vec{OA} \right) + \left( \vec{OA}, \vec{OQ} \right)\\
+                        &=& -\left( \vec{OA}, \vec{OP} \right) + \left( \vec{OA}, \vec{OQ} \right)\\
+                        &=& - \frac{-\pi}{3} + \frac{-2\pi}{3}\\
+                    \end{eqnarray*}
+                    Donc la mesure principale de $\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right)$ est $\frac{-\pi}{3}$.
+
+                \item Calcul de la mesure principale de $\left( \vec{OQ}, \vec{OR} \right)$
+                    \begin{eqnarray*}
+                        \left( \vec{OQ}, \vec{OR} \right) &=& \left( \vec{OQ}, \vec{OP} \right) + \left( \vec{OP}, \vec{OR} \right)\\
+                        &=& -\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right) + \left( \vec{OP}, \vec{OR} \right)\\
+                        &=& -\frac{-\pi}{3} + \frac{-\pi}{2} \\
+                    \end{eqnarray*}
+                    Donc la mesure principale de $\left( \vec{OQ}, \vec{OR} \right)$ est $\frac{-\pi}{6}$.
+            \end{itemize}
+        \item (1 point) Comme $P$ et $Q$ sont 2 points du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$, $OPQ$ est un triangle isocèle en $O$. De plus, comme $\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right) = \frac{-\pi}{3}$ $OPQ$ est un triangle équilatérale. De la même façon on montre que $OPA$ est un trangle équilatérale donc $\left( \vec{PA}, \vec{PO} \right) = \frac{\pi}{3}$.
+        \item (1 point) Calcul de la mesure principale de $\left(  \vec{PQ}, \vec{PA}\right)$
+            \begin{eqnarray*}
+                \left(  \vec{PQ}, \vec{PA}\right) &=& \left( \vec{PQ}, \vec{PO} \right) + \left( \vec{PO}, \vec{PA} \right)\\
+                &=& \frac{-\pi}{3} + \frac{-\pi}{3}\\
+            \end{eqnarray*}
+            Donc la mesure principale de cet angle est $\frac{-2\pi}{3}$.
+    \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}(6 points)\\
+        \begin{enumerate}
+            \item (2 points) Résolution de l'équation $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$.
+                \begin{eqnarray*}
+                    \sqrt{2} \cos x - 1 = 0 &\equiv& \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\
+                    &\equiv& \cos x = \cos \frac{\pi}{4}\\
+                    &\equiv& x = \frac{\pi}{4} + k\times 2\pi \mbox{ ou } \frac{-\pi}{4} + k\times2\pi \qquad k \in \Z
+                \end{eqnarray*}
+            Donc les solutions sur $]-\pi, \pi[$ sont $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{-\pi}{4}$.
+            \item (1 points) 
+            \item (1,5 points) 
+            \begin{center}
+                \includegraphics{fig/cercle_trigo_exo3}
+            \end{center}
+            \item (1,5 points) On en déduit donc que les solutions de cette inéquation sont $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
+        \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+% Équation trigonométriques
+\begin{Exo}(4 points)\\
+    Résolution dans $\R$ l'équation $2\sin^2 x - \sin x = 0$.
+    \begin{eqnarray*}
+        2 \sin^2 x - \sin x = 0 &\equiv& \sin x \left( 2 \sin x - 1 \right) = 0\\
+        &\equiv& \sin x = 0 \mbox{ ou } 2\sin x - 1 = 0 \\
+        &\equiv& \sin x = 0 \mbox{ ou } \sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}\\
+        &\equiv& x = 0 + k\times 2\pi \mbox{ ou } \pi + k\times2\pi \\
+        && \quad \mbox{ ou } \frac{\pi}{6} + k\times 2\pi \mbox{ ou } \frac{5\pi}{6} + k\times2\pi \qquad k \in \Z
+    \end{eqnarray*}
+    Donc les solutions sur $\R$ sont
+    \begin{eqnarray*}
+        x = 0 + k\times 2\pi \mbox{ ou } \pi + k\times2\pi \mbox{ ou } \frac{\pi}{6} + k\times 2\pi \mbox{ ou } \frac{5\pi}{6} + k\times2\pi \qquad k \in \Z
+    \end{eqnarray*}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}(3 points)\\
+    \begin{enumerate}
+        \item D'après la relation de Chasles, on a la relation suivante
+            \begin{eqnarray*}
+                \left( \vec{BA}, \vec{BC} \right) = \left( \vec{BA}, \vec{BE} \right) + \left( \vec{BE}, \vec{BD} \right) + \left( \vec{BD}, \vec{BC} \right)
+            \end{eqnarray*}
+            Plaçons nous dans le triangle $ABE$. Comme il est isocèle en $A$, on a l'égalité suivante $\left(\vec{BA}, \vec{BE} \right) = \left( \vec{EB}, \vec{EA} \right)$. Or la somme des angles d'un triangle est égale à $\pi$. On en déduit donc
+            \begin{eqnarray*}
+                \left( \vec{BA}, \vec{BE} \right) &=& \frac{1}{2} \times \left( \pi - \left( \vec{AE}, \vec{AB} \right) \right) \\
+                &=& \frac{\pi}{6}
+            \end{eqnarray*}
+            De la même manière on en déduit que $\left( \vec{BD}, \vec{BC} \right) = \dfrac{\pi}{6}$.
+
+            Comme $BDE$ est un triangle équilatéral, ses angles sont égaux à $\dfrac{\pi}{3}$. Donc $\left( \vec{BE}, \vec{BD} \right)= \dfrac{\pi}{3}$.
+
+            Donc finalement,
+            \begin{eqnarray*}
+                \left( \vec{BA}, \vec{BC} \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Les triangles $ABE$ et $BCD$ ont les mêmes angles et un coté de même longueur, ce sont donc les mêmes. Donc on a $AB = BC$ et donc $ABC$ est un triangle isocèle. De la même façon que dans la première question, on est déduit la mesure de $\left( \vec{AC}, \vec{AB} \right)$.
+            \begin{eqnarray*}
+                \left( \vec{AC}, \vec{AB} \right) = \frac{\pi}{12}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Démontrons que $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles. Pour cela on va chercher la mesure de l'angle $\left( \vec{AC}, \vec{DE} \right)$.
+            \begin{eqnarray*}
+                \left( \vec{AC}, \vec{DE} \right) &=& \left( \vec{AC}, \vec{AB} \right) + \left( \vec{AB}, \vec{AE} \right) + \left( \vec{AE}, \vec{DE} \right)\\
+                &=& \frac{\pi}{6} + \frac{-2\pi}{3} +  \left( \vec{EA}, \vec{ED} \right)\\
+                &=& \frac{\pi}{6} + \frac{-2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\\
+                &=& -\pi
+            \end{eqnarray*}
+            Donc l'angle $\left( \vec{AC}, \vec{DE} \right)$ est un angle plat, donc les droites $(AC)$ et $(ED)$ sont parallèles.
+
+    \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+% % Somme des angles d'un triangle
+% \begin{Exo}(3 points)\\
+%     Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatres points.
+%     \begin{enumerate}[a.]
+%         \item Démontrer que $(\vec{AB}, \vec{AD}) +(\vec{BC}, \vec{BA}) +(\vec{CD}, \vec{CB}) + (\vec{DA}, \vec{DC}) = k \times 2\pi$.
+%         \item Énoncer la propriété démontrée.
+%         \item Peut-on avoir un énoncé similaire avec 3 points?
+%     \end{enumerate}
+% \end{Exo}
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo1.tex

@@ -0,0 +1,26 @@
+\begin{pspicture*}[showgrid=bottom](-3,-3)(3,3)
+    %\psset{xunit=1 cm, algebraic=true}
+    %\psgrid[xunit=0.5, yunit=0.5, subgriddiv=0, gridcolor=lightgray]
+    \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
+
+    \pscircle(0,0){2}
+    \SpecialCoor
+    \psdots(2;-60)(2;-120)(2;-150)(2;0)
+
+    \uput[ur](2;0){$A$}
+
+
+    \uput[r](2;-60){$P \; \frac{-\pi}{3}$}
+    \psline(0;0)(2;-60)
+    \psarc{<-}(0,0){0.8}{-60}{0}
+
+    \uput[l](2;-120){$Q \; \frac{-2\pi}{3}$}
+    \psline(0;0)(2;-120)
+    \psarc{<-}(0,0){0.6}{-120}{0}
+
+    \psline(0;0)(2;-150)
+    \uput[l](2;-150){$R \; \frac{-5\pi}{6}$}
+    \psarc{<-}(0,0){1}{-150}{-60}
+
+
+\end{pspicture*}

1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo3.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\begin{pspicture*}[showgrid=bottom](-3,-3)(3,3)
+    %\psset{xunit=1 cm, algebraic=true}
+    %\psgrid[xunit=0.5, yunit=0.5, subgriddiv=0, gridcolor=lightgray]
+    \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
+
+    \pscircle(0,0){2}
+    \SpecialCoor
+    \psarc[linecolor=red,linewidth=2pt]{-}(0,0){2}{-45}{45}
+    \psdots(2;45)(2;-45)
+
+    \uput[r](2;45){$A \; \frac{\pi}{4}$}
+    \psline(0;0)(2;45)
+    \uput[r](2;-45){$B \; \frac{-\pi}{4}$}
+    \psline(0;0)(2;-45)
+
+
+\end{pspicture*}

1S/DS/DS_130000/fig/pstricks.sh

@@ -0,0 +1,25 @@
+#!/bin/sh
+# on enlève l’extension du 1er argument
+FILE=${1%.*}
+TMPFILE=pstemp
+# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
+cat > $TMPFILE.tex <<EOF
+    \documentclass{article}
+    \usepackage{pstricks}
+    \usepackage{pstricks-add}
+    \usepackage{pst-eps}
+    \thispagestyle{empty}
+    \begin{document}
+    \begin{TeXtoEPS}
+    \input{$FILE}
+    \end{TeXtoEPS}
+    \end{document}
+EOF
+# Création du fichier dvi
+latex $TMPFILE
+# Création du fichier eps
+dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
+# Création du fichier pdf
+epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
+# effacement des fichiers temporaires
+rm -f $TMPFILE.*

1S/DS/DS_130000/index.rst

@@ -0,0 +1,29 @@
+Notes sur DS 130000
+###################
+
+:date: 2013-07-01
+:modified: 2013-07-01
+:tags: DS, Géométrie
+:category: 1S
+:authors: Benjamin Bertrand
+:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
+
+
+
+    `Lien vers DS_Trigo.pdf <DS_Trigo.pdf>`_
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+    `Lien vers DS_Trigo_Corr.pdf <DS_Trigo_Corr.pdf>`_
+
+    `Lien vers DS_Trigo_Corr.tex <DS_Trigo_Corr.tex>`_
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+    `Lien vers fig/cercle_trigo_exo3.pdf <fig/cercle_trigo_exo3.pdf>`_