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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
\usepackage{variations}
\usepackage{multirow}
% Title Page
\title{Devoir surveillé: Probabilités}
\author{}
\date{6 fervrier 2013}
\fancyhead[L]{$2^{nd}12$ \Thetitle}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
Toutes les réponses doivent être \textbf{justifiées}.
\begin{Exo}(4 points) \\
% non équiprobabilité, univers, stratégie
On lance deux dés équilibrés et on s'intéresse à la somme des deux résultats.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant en indiquant la somme des numéros dans chaque case.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{7}{ p{1cm} |}}
\cline{3-8}
\multicolumn{2}{c|}{}& \multicolumn{6}{|c|}{Premier dé} \\
\cline{3-8}
\multicolumn{2}{c|}{}& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\multirow{6}{*}{Deuxième dé} & 1 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 2 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 3 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 4 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 5 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 6 &&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Quel est l'univers de cette expérience? Les évènements sont-ils équiprobables?
\item Quel est le résultat le plus probable (indiquer sa probabilité)? Le/les moins probable(s) (indiquer la probabilité)?
\item Un joueur joue à un jeu de société où à chaque tour deux dés sont lancés. La somme de ces deux dés indique quel territoire gagne des ressources (il y a un numéro sur chaque territoire). Quel est le numéro du territoire que le joueur à intérêt de choisir pour avoir le plus de ressources?
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo} (4 points) \\
% Équiprobabilité, pourcentage
La tableau suivant indique les quantités de poissons d'un étang ayant certaines caractéristiques.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
& nageoires & ailerons & pattes & total \\
\hline
bleu & 54 & 10 & 30 & 94 \\
\hline
vert & 20 & 50 & 34 & 104 \\
\hline
total & 74 & 60 & 64 & 198 \\
\hline
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item Les poissons ont autant de chance de se faire pêcher. Donner la probabilité des événements suivant arrondis à $10^{-1}$ près.
\begin{itemize}
\item $A = \left\{ \mbox{ le poisson est bleu } \right\} $
\item $B = \left\{ \mbox{ le poisson a des pattes } \right\} $ (étrange ce type de poissons!)
\item $C = \left\{ \mbox{ le poisson a des ailerons vert } \right\} $
\item $D = \left\{ \mbox{ le poisson est rouge } \right\} $
\end{itemize}
\item Si on pêche uniquement les poissons à nageoires, quelle est la probabilité d'attraper un poisson vert?
\end{enumerate}
\end{center}
\end{Exo}
\begin{Exo} (6 points)\\
% Arbre
Un premier tas de carte contient 3 cartes: un roi ($R$), une dame ($D$) et un valet ($V$). Une deuxième tas contient aussi 3 cartes: un as ($A$), une dame ($D$) et un valet ($V$).
Un joueur tirer au hasard une carte dans le premier tas, puis \textbf{sans remettre} la première carte il en tire une deuxième et enfin il tire une dernière carte dans le deuxième tas.
Une issue est un triplet, par exemple $(R;D;V)$ que l'on notera plus simplement $RDV$.
\begin{enumerate}
\item Dessiner (en grand) l'arbre correspondant à cette experience).
\item Calculer le nombre total d'issue.
\item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré $RDV$?
\item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré au moins une dame?
\item Quelle est la probabilité que le joueur ait obtenu deux fois la même carte?
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo} (6 points)\\
% Intersection, contraire, univers
Le schéma suivant représente les défauts présent sur un ensemble de 300 voitures. Les effectifs de chaque groupe sont indiqués.
On choisit au hasard une voiture parmi toutes ces voitures.
On note $M$ et $P$ les événements:
\begin{itemize}
\item $M = \left\{ \mbox{ Le moteur est cassé } \right\}$
\item $P = \left\{ \mbox{ le pneu est crevé } \right\}$
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{fig/patates_proba_2nd}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Combien de voitures n'ont pas de défauts?
\item Décrire (en français) les ensembles suivants
\begin{eqnarray*}
M \cup P \qquad M \cup \bar{P} \qquad \overline{M \cap P}
\end{eqnarray*}
\item Calculer la probabilité de $M$, $P$, $M\cup P$.
\item En déduire la probabilité de $\overline{M \cap P}$;
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
\usepackage{variations}
\usepackage{multirow}
% Title Page
\title{Devoir surveillé: Probabilités}
\author{}
\date{1é mars 2013}
\fancyhead[L]{$2^{nd}12$ \Thetitle}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
Toutes les réponses doivent être \textbf{justifiées}.
\begin{Exo}(3 points) \\
% non équiprobabilité, univers, stratégie
On lance deux dés équilibrés ($D_1$ et $D_2$) et on s'intéresse à la différence du résultat de $D_1$ et de $D_2$ (on fait $D_1 - D_2$)
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant en indiquant la différence des numéros dans chaque case.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{7}{ p{1cm} |}}
\cline{3-8}
\multicolumn{2}{c|}{}& \multicolumn{6}{|c|}{Dé 1 ($D_1$)} \\
\cline{3-8}
\multicolumn{2}{c|}{}& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\multirow{6}{*}{Dé 2 ($D_2$)} & 1 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 2 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 3 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 4 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 5 &&&&&&\\
\cline{2-8}
& 6 &&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Quel est l'univers de cette expérience? Les évènements sont-ils équiprobables?
\item Quel est le résultat le plus probable (indiquer sa probabilité)? Le/les moins probable(s) (indiquer la probabilité)?
\item Un joueur joue à un jeu de société où à chaque tour deux dés sont lancés. La différence de ces deux dés indique quel territoire se fait voler des ressources (il y a un numéro sur chaque territoire). Quels numéro, le joueur à intérêt de choisir s'il ne veut pas se faire voler?
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo} (5 points) \\
% Équiprobabilité, pourcentage
La tableau suivant indique les quantités de pièces d'un jeu de construction ayant certaines caractéristiques dans une boite.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
& brique & plaque & bonhomme & total \\
\hline
bleu & 30 & 2 & 30 & \\
\hline
rouge & & & 34 & \\
\hline
total & 74 & 60 & 64 & 198 \\
\hline
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau avec les quantités manquantes.
\item On tire aléatoirement une pièce dans cette boite. Donner la probabilité des événements suivant arrondis à $10^{-1}$ près.
\begin{itemize}
\item $A = \left\{ \mbox{ Une brique bleu } \right\} $
\item $B = \left\{ \mbox{ Un bonhomme} \right\} $
\item $C = \left\{ \mbox{ Une pièce rouge } \right\} $
\item $D = \left\{ \mbox{ Un bonhomme vert } \right\} $
\end{itemize}
\item Si on ne tire que des bonhommes, quelle est la probabilité d'en tirer un bleu?
\end{enumerate}
\end{center}
\end{Exo}
\begin{Exo} (6 points)\\
% Arbre
Une première urne contient 3 boules: une rouge ($R$), un verte ($V$) et une bleu ($B$). Une deuxième urne contient aussi 3 boules: une jaune ($J$), une verte ($V$) et une rouge ($B$).
Un joueur tirer au hasard une boule dans la première urne, puis une deuxième dans la deuxième urne et sans \textbf{remettre} les boules tirées, il en tire une autre dans la deuxième urne.
Une issue est un triplet, par exemple $(R;V;J)$ (rouge - vert - jaune) que l'on notera plus simplement $RVJ$.
\begin{enumerate}
\item Dessiner (en grand) l'arbre correspondant à cette expérience).
\item Calculer le nombre total d'issue.
\item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré $RVB$?
\item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré au moins une une boule verte?
\item Quelle est la probabilité que le joueur ait deux boule de la même couleur?
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo} (6 points)\\
% Intersection, contraire, univers
Le schéma suivant représente les épices présentes sur un ensemble de 100 plats. Les effectifs de chaque groupe sont indiqués.
On choisit au hasard un plat parmi tous les plats.
On note $C$ et $P$ les événements:
\begin{itemize}
\item $C = \left\{ \mbox{ Plat avec de la cannelle } \right\}$
\item $P = \left\{ \mbox{ Plat avec du piment } \right\}$
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{fig/patates_proba_2nd_bis}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Combien de plat n'ont pas d'épices?
\item Décrire avec les mots de l'énoncé les ensembles suivants
\begin{eqnarray*}
C \cup P \qquad \bar{C} \cap P \qquad \bar{C} \cap \bar{P}
\end{eqnarray*}
\item Calculer la probabilité de $C$, $P$, $M \cup P$.
\item En déduire la probabilité de $\bar{M} \cap P$;
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

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@@ -0,0 +1,115 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/base}
\usepackage{variations}
\usepackage{multirow}
% Title Page
\title{Correction: Probabilités}
\author{}
\date{}
% Les en-têtes
\pagestyle{fancy}
\setlength{\headheight}{15.2pt}
\setlength{\headsep}{5pt}
\fancyhead[L]{$2^{nd}12$ \Thetitle}
\fancyhead[R]{6 fervrier 2013}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{Exo}(4 points) \\
% non équiprobabilité, univers, stratégie
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant en indiquant la somme des numéros dans chaque case.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{7}{ p{1cm} |}}
\cline{3-8}
\multicolumn{2}{c|}{}& \multicolumn{6}{|c|}{Premier dé} \\
\cline{3-8}
\multicolumn{2}{c|}{}& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\multirow{6}{*}{Deuxième dé} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\cline{2-8}
& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\cline{2-8}
& 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\cline{2-8}
& 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\cline{2-8}
& 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
\cline{2-8}
& 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item L'univers de l'experience est $E = \left\{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \right\}$. Les eévénements ne sont pas équiprobable car il y a plus de façon de faire un 7 qu'un 10 ou un 12.
\item Le résultat le plus probable est 7 car il apparait 6 fois dans le tableau. On a donc $p\left( \left\{ 7 \right\} \right) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
Les résultats les moins probables sont 2 et 12 car ils n'apparaissent qu'une fois dans le tableau. On a donc $p\left( \left\{ 2 \right\} \right) = p\left( \left\{ 12 \right\} \right) = \dfrac{1}{36}$.
\item D'après ce que l'on vient de faire, le territoire qui a la plus de ahnce de tomber est le 7. LE joueur a donc interet à choisir ce territoire.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo} (4 points) \\
% Équiprobabilité, pourcentage
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item $p(A) = \dfrac{94}{198} = 0.5$ car il y a 94 poissons bleu.
\item $p(B) = \dfrac{64}{198} = 0.3$ car il y a 64 poissons à pattes.
\item $p(C) = \dfrac{50}{198} = 0.3$ car il y a 50 poissons avec un aileron vert.
\item $p(D) = 0$ car il n'y a pas de poissons rouges.
\end{itemize}
\item On pêche uniquement les poissons à nageoires, il y en a 74. Parmis eux il y a 20 poissons vert. DOnc $p\left( \mbox{poisson vert} \right) = \dfrac{20}{74} = 0.3$.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\pagebreak
\begin{Exo} (6 points)\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,scale=1]{fig/arbre}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item D'après l'arbre, il y a 18 issues.
\item $RDV$ n'apparait qu'une seule fois(en rouge). La probabilité de le tirer est donc $p\left( \left\{ RDV \right\} \right) = \dfrac{1}{18}$.
\item Il y a 14 issues avec au moins une dame (entourés). Donc $p\left( \left\{ \mbox{au moins une dame} \right\} \right) = \dfrac{14}{18} = \dfrac{7}{8}$.
\item Il y a 8 issues avec 2 fois le même symbôle (en bleu). Donc $p\left( \left\{ \mbox{2 fois le même symbôle} \right\} \right) = \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9}$.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo} (6 points)\\
% Intersection, contraire, univers
\begin{enumerate}
\item Il y a 84 voitures avec un defaut et 300 voitures en tout. Donc il y a 216 voitures sans défauts.
\item
\begin{itemize}
\item $M \cup P$: les voiture avec le moteur cassé ou un pneu crevé.
\item $M \cup \overline{P}$: les voitures qui on le moteur cassé ou qui n'ont pas de pneu crevé.
\item $\overline{M \cap P}$: les voitures qui n'ont pas à la fois un moteur cassé et un pneu crevé.
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
\item Il y a $32+10 = 42$ voitures dans $M$ donc $p(M) = \dfrac{42}{300} = \dfrac{7}{50}$.
\item Il y a $42+10 = 52$ voitures dans $P$ donc $p(P) = \dfrac{52}{300} = \dfrac{13}{75}$.
\item Il y a $42+32+10 = 84$ voitures dans $M\cup P$ donc $p(M \cup P) = \dfrac{84}{300} = \dfrac{7}{25}$.
\end{itemize}
\item $p(\overline{M \cap P}) = 1 - p(M \cap P)$. Or d'après le dessin, il y a 10 voitures dans $M \cap P$ donc
\begin{eqnarray*}
p(\overline{M \cap P}) = 1 - \frac{10}{300} = \frac{290}{300} = \frac{29}{30}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
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# on enlève lextension du 1er argument
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# création dun fichier temporaire psttemp.tex
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\usepackage{pstricks-add}
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\usepackage{pst-tree}
\thispagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{TeXtoEPS}
\input{$FILE}
\end{TeXtoEPS}
\end{document}
EOF
# Création du fichier dvi
latex $TMPFILE
# Création du fichier eps
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
# Création du fichier pdf
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
# effacement des fichiers temporaires
rm -f $TMPFILE.*

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@@ -0,0 +1,31 @@
Notes sur DS 130206
###################
:date: 2013-07-01
:modified: 2013-07-01
:tags: DS, Proba
:category: 2nd
:authors: Benjamin Bertrand
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers fig/patates_proba_2nd_bis.png <fig/patates_proba_2nd_bis.png>`_
`Lien vers fig/arbre.tex <fig/arbre.tex>`_