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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/2014_2015}
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\usepackage{multicol}
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% Title Page
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\titre{7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\seconde}
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\date{8 avril 2015}
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\duree{1 heure}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DS}
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\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{questions}
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\question[8]
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\begin{parts}
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\part Développer puis réduire les expressions suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{subparts}
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\subpart $A = 4x(5x - 1)$
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\begin{solution}
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\begin{align*}za
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A &= 4x(5x - 1) \\
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A &= 4x \times 5x + 4x \times (-1) \\
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A &= 20x^2 - 4x
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\end{align*}
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\end{solution}
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\columnbreak
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\subpart $B = 4(1+x)^2 + 2(x+1) - 1$
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\begin{solution}
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\begin{align*}
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|
B &= 4(1+x)^2 + 2(x+1) - 1 \\
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B &= 4(1 + 2x + x^2) + 2x + 2 - 1 \\
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|
B &= 4 + 4\times 2x + 4x^2 + 2x + 1 \\
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B &= 4x^2 + 8x + 2x + 4 + 1 \\
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B &= 4x^2 + 10x + 5
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\end{align*}
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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|
\part Factoriser l'expression suivante
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$C = 5x - 3x^2$
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\begin{solution}
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\begin{align*}
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|
C &= 5x - 3x^2 \\
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|
C &= x (5 - 3x)
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|
\end{align*}
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|
\end{solution}
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%\subpart $D = 16x^2 - 24x + 9$
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%\begin{solution}
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% \begin{align*}
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% B &= 16x^2 - 24x + 9 \\
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|
% B &= (4x - 3)^2
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% \end{align*}
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%\end{solution}
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\part Résoudre les équations suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{subparts}
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\subpart $-3x + 2 = 0$
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|
\begin{solution}
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|
\begin{align*}
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|
& -3x + 2&=&0 \\
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\equiv & -3x + 2 - 2 &=& 0 - 2 \\
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\equiv & -3x &=& -2 \\
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\equiv & \frac{-3x}{-3} &=& \frac{-2}{-3} \\
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|
\equiv & x &=& \frac{2}{3}
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|
\end{align*}
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|
Donc la solution est $\mathcal{S} = \left\{ \frac{2}{3} \right\}$
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\end{solution}
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|
\columnbreak
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\subpart $(4x - 1)(9x + 18) = 0$
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\begin{solution}
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|
On sépare l'équation en deux équations
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\begin{align*}
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|
4x - 1 = 0 & \mbox{ ou } & 9x + 18 = 0 \\
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|
4x = 1 & \mbox{ ou } & 9x = -18 \\
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|
|
x = \frac{1}{4} & \mbox{ ou } & x = \frac{-18}{9} = -2 \\
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|
\end{align*}
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|
Les solutions sont $\mathcal{S} = \left\{ -2 ; \frac{1}{4} \right\}$
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\end{solution}
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|
\end{subparts}
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|
\end{multicols}
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|
\part Tracer le tableau de signe de la fonction suivante
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\begin{eqnarray*}
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|
f(x) = -2x + 100
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|
\end{eqnarray*}
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|
\begin{solution}
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|
On commence par chercher les valeurs de $x$ telles que $f(x)$ est positif
|
||
|
|
\textit{(On a divisé par -2, on a changé le sens de l'inégalité)} \\
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|
|
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à 50
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|
On en déduit le tableau de signe de $f$
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|
\begin{center}
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||
|
|
\begin{tikzpicture}
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||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
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||
|
|
{$x$/1, Signe de $f$/2}%
|
||
|
|
{$-\infty$, $50$ , $+\infty$}
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||
|
|
\tkzTabLine{, +, z , -,}
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||
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|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
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||
|
|
\end{solution}
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|
%\subpart $g(x) = 100 x + 50$
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%\begin{solution}
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|
% On commence par chercher les valeurs de $x$ telles que $g(x)$ est positif
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% \begin{align*}
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% &f(x) > 0 \\
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% \equiv & 100x + 50 > 0 \\
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% \equiv & 100x + 50 -50 > 0 - 50 \\
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|
% \equiv & 100x > -50 \\
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|
% \equiv & \frac{100x}{100} > \frac{-50}{100} \\
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|
% \equiv & x > -2
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|
% \end{align*}
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|
% \textit{(On a divisé par 100, on n'a pas changé le sens de l'inégalité)} \\
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|
|
% Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à -2
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|
|
% On en déduit le tableau de signe de $f$
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|
% \begin{center}
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|
% \begin{tikzpicture}
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|
% \tkzTabInit[espcl=2]%
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||
|
|
% {$x$/1, Signe de $f$/2}%
|
||
|
|
% {$-\infty$, $-2$ , $+\infty$}
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|
|
% \tkzTabLine{, -, z , +,}
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||
|
|
% \end{tikzpicture}
|
||
|
|
% \end{center}
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|
%\end{solution}
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|
\end{parts}
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\question[4]
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|
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
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\begin{eqnarray*}
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|
f(x)= (2x + 5)(1 - x)
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\end{eqnarray*}
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\begin{parts}
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\part Calculer $f(-1)$ et $f(2)$.
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\begin{solution}
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\begin{align*}
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f(-1) = (2\times (-1) + 5)(1 - (-1)) = (-2 + 5)(1 + 1) = 3\times 2 = 6 \\
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||
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|
f(2) = (2\times 2 + 5)(1-2) = 9\times (-1) = -9
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|
\end{align*}
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\end{solution}
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|
\part Développer $f$
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\begin{solution}
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\begin{align*}
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|
f(x) &= (2x + 5)(1 - x) \\
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&= 2x \times 1 + 2x \times (-x) + 5\times 1 + 5 \times (-x) \\
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&= 2x -2x^2 + 5 -5x \\
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&= -2x^2 - 3x + 5
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\end{align*}
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\end{solution}
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|
\part Résoudre l'équation $f(x) = 5$ \textit{(Astuce: passer par la forme développée)}
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\begin{solution}
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\begin{align*}
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|
f(x) = 5 &\equiv -2x^2-3x + 5 = 5 \\
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&\equiv -2x^2 - 3x + 5 - 5 = 5 - 5 \\
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|
&\equiv -2x^2 -3x = 0 \\
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|
|
&\equiv x(-2x - 3) = 0 \\
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&\equiv x = 0 \mbox{ ou } -2x - 3 = 0 \\
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&\equiv x = 0 \mbox{ ou } 2x = 3 \\
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|
&\equiv x = 0 \mbox{ ou } x = \frac{3}{2}
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|
|
\end{align*}
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Donc les solutions de cette équation sont $\mathcal{S} = \left\{ 0; \frac{3}{2} \right\}$.
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\end{solution}
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% \part Tracer le tableau de signe de $f$.
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% \begin{solution}
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|
% Tableau de signe de $f$
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% \begin{multicols}{2}
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|
% On cherche les valeurs de $x$ telles que $2x + 5$ soit positif
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% \begin{align*}
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% 2x + 5 &>& 0 \\
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||
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|
% 2x &>& -4 \\
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|
% x &>& \frac{-4}{2} = -2
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|
% \end{align*}
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||
|
|
% \textit{(On a divisé par 2, on n'a pas changé le sens de l'inégalité)}\\
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|
|
% $2x + 5$ est positif quand $x$ est supérieur à -2
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|
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% \columnbreak
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||
|
|
% On cherche les valeurs de $x$ telles que $1-x$ soit positif
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% \begin{align*}
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||
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|
% 1-x &>& 0 \\
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||
|
|
% -x &>& -1 \\
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||
|
|
% x &<& 1
|
||
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|
% \end{align*}
|
||
|
|
% \textit{(On a divisé par -1, on a changé le sens de l'inégalité)}\\
|
||
|
|
% $1-x$ est positif quand $x$ est inférieur à 1
|
||
|
|
% \end{multicols}
|
||
|
|
% On en déduit le tableau de signe de $f$
|
||
|
|
% \begin{center}
|
||
|
|
% \begin{tikzpicture}
|
||
|
|
% \tkzTabInit[espcl=2]%
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||
|
|
% {$x$/1,Signe de $2x+5$/2, Signe de $1-x$/2, Signe de $f$/2}%
|
||
|
|
% {$-\infty$, $-2$ ,$1$, $+\infty$}
|
||
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|
% \tkzTabLine{, -, z,+ ,t, +,}
|
||
|
|
% \tkzTabLine{, +, t,+ ,z, -,}
|
||
|
|
% \tkzTabLine{, -, z,+ ,z, -,}
|
||
|
|
% \end{tikzpicture}
|
||
|
|
% \end{center}
|
||
|
|
% \end{solution}
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|
% \part Résoudre l'inéquation $f(x) \geq 0$.
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|
% \begin{solution}
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|
% Les solutions de cette inéquations se trouvent là où il y a des $+$ dans le tableau de signe. Donc $\mathcal{S} = \intFF{-2}{1}$.
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% \end{solution}
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\end{parts}
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\question[5]
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Le taux de réussite au Bac STMG en France en 2012 a été de 67,3\%. On s'intéresse à une classe de 35 élèves.
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\begin{parts}
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\part Quel est l'échantillon étudié? Quelle est sa taille?
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\begin{solution}
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L'échantillon est la classe de stmg. Ça taille est de 35 élèves.
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\end{solution}
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\part Dans au moins 95\% des cas, dans quelle intervalle le taux de réussite de cette classe se trouvera-t-il?
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\begin{solution}
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|
On calcule l'intervalle de fluctuation
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\begin{align*}
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|
I_f = \intFF{p - \frac{1}{\sqrt{n}}}{p + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \intFF{0,673 - \frac{1}{\sqrt{35}}}{0,673 + \frac{1}{\sqrt{35}}} = \intFF{0,50}{0,84}
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||
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|
\end{align*}
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|
\end{solution}
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|
\part Semble-t-il possible que 80\% de la classe ait son bac?
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\begin{solution}
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|
Si $\hat{p} = 0,8$ alors on a bien $\hat{p} \in \intFF{0,50}{0,84}$. Il semble donc possible que 80\% de la classe ait son bac.
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|
\end{solution}
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|
%\part On s'intéresse maintenant à l'ensemble des élèves en STMG du lycée c'est à dire 92 élèves.
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|
%\begin{subparts}
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|
% \subpart Dans au moins 95\% des cas, dans quelle intervalle le taux de réussite du lycée se trouvera-t-il?
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|
% \subpart Semble-t-il possible que 80\% du lycée ait son bac?
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|
%\end{subparts}
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|
\end{parts}
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\question[3]
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% Échantillonnage
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Après plusieurs années d'expérience, M.Qualcultou estime qu'un élève est en retard avec probabilité $p = 0,05$.
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|
Un de ses élèves, Antoine Laivepato, est arrivé 30 fois en retard sur les 160 jours de cours. Inquiet, M.Qualcultou cherche a savoir si le comportement d'Antoine est "normal".
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\begin{parts}
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|
\part Est-ce que M.Qualcultou peut utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation? Justifier
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|
\begin{solution}
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|
Pour utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation il faut que
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\begin{itemize}
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\item $n > 25$
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\item $0,2 < p < 0,8$
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\end{itemize}
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|
Ici $n = 160$ donc la première condition est vérifiée et $p = 0,05$ la deuxième condition n'est pas vérifiée. On ne peut donc pas utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation.
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|
\end{solution}
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\textit{Si vous estimez qu'il ne peut pas, ne répondez pas aux questions qui suivent.}
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|
\part Calculez l'intervalle de fluctuation.
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|
|
\part Pensez vous que le comportement d'Antoine est normal?
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|
\end{parts}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{questions}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|
||
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|
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%%% Local Variables:
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|
|
%%% mode: latex
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|
|
%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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