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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{Conditionnement}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\TSTMG}
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\date{Mars 2015}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Probabilité et évènement}
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\begin{Def}
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Soit $A$ un évènement (une partie) de l'univers $\Omega$.
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La probabilité de $A$ noté $P(A)$ se calcule grâce à
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\begin{eqnarray*}
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P(A) & = & \frac{\mbox{ Nbr elem dans } A}{\mbox{Nbr élém dans }\Omega}
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\end{eqnarray*}
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\end{Def}
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\begin{Rmq}
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Quelque soit $A$, $P(A)$ est toujours compris entre 0 et 1.
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\end{Rmq}
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\begin{Def}
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\textbf{Contraire}: les éléments de $\bar{A}$ sont tous les éléments qui ne sont pas dans $A$.
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\begin{eqnarray*}
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P(\bar{A}) & = & 1 - P(A)
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\end{eqnarray*}
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\end{Def}
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\begin{Def}
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Soient $A$ et $B$ deux ensembles
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Union}: Les éléments de $A\cup B$ sont les éléments qui sont soit dans $A$ soit dans $B$ soit dans les deux.
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\item \textbf{Intersection}: Les éléments de $A\cap B$ sont les éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$.
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\end{itemize}
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Pour calculer ces probabilités on peut utiliser la formule suivante
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\begin{eqnarray*}
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P(A \cap B) & = & P(A) + P(B) - P(A \cup B)\\
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P(A \cup B) & = & P(A) + P(B) - P(A \cap B)
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\end{eqnarray*}
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\end{Def}
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\section{Probabilité conditionnelle}
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\begin{Def}
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Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $A$ non impossible ($P(A) \neq 0$). La \textbf{probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$} est notée $P_A(B)$ et se calcule par
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\begin{eqnarray*}
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P_A(B) & = & \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{\mbox{ Nbr élém dans }A\cap B}{\mbox{Nbr élém dans } A}
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\end{eqnarray*}
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\end{Def}
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\section{Arbres pondérés}
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On peut représenter les situations mettant en jeu des probabilités conditionnelles avec un arbre.
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Soit $A$ et $B$ deu évènements. On représente a situation de la façon suivante. \textit{On y mettra les inforations $P(A)$, $P_A(A)$...}
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Cet arbre est soumis à quelques règles:
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\begin{itemize}
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\item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
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\item La probablité d'un chemin est égal au produit des probablités des branches parcouruts.
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\item La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet évènement.
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\end{itemize}
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\paragraph{Illustration:}
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On met sous forme d'arbre une situation et on répond aux questions 'types' suivantes
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\begin{itemize}
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\item Connaître la probabilité d'un branche connaissant la proba des autres
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\item Calculer la probabilité d'une intersection.
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\item Calculer une probabilité d'un évènement "feuille".
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\end{itemize}
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\begin{Prop}
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Soit $A$ et $B$ deux évènements, alors
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\begin{eqnarray*}
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P(A\cap B) & = & P(A) \times P_A(B)
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\end{eqnarray*}
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\end{Prop}
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\begin{Prop}
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Formule des probabilités totale
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\textit{ Je ne suis pas convaincu de son utilité quand on a déjà l'arbre.}
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\end{Prop}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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