2014-2015/1S/Analyse/Tangente/Tracer_fct/tracer_fct.tex

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2017-06-16 06:48:07 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
\usepackage{tikz}
% Title Page
\titre{Tracer le graphique d'une fonction}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{septembre 2014}
%\fancyhead[L]{<++classes++> : \Thetitle}
\begin{document}
\maketitle
\paragraph{Objectif:} Tracer le graphique de la fonction $f:x \mapsto x^2 - x - 3$, en utilisant quelques de ses tangentes.
\paragraph{Tableau de valeurs:} On complete le tableau suivant
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
\hline
$x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
$f(x)$ & 3 & -1 & -3 & -3 & -1 \\
\hline
Nombre dérvé & &&&& \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Calcul du nombre dérivé en -2:
On commence par la simplification de $\dfrac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}$
\begin{eqnarray*}
f(-2 + h) & = & (-2 + h)^2 - (-2 + h) - 3 \\
& = & (-2)^2 + 2\times (-2)\times h + h^2 + 2 - h - 3 \\
& = & 4 -4h + h^2 - 1 - h \\
& = & h^2 - 5h + 3
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} & = & \frac{ h^2 - 5h + 3 - 3}{h} \\
& = & \frac{h^2 - 5h}{h} \\
& = & \frac{h(h-5)}{h} \\
& = & h - 5
\end{eqnarray*}
Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}$ s'approche de $-5$. On en déduit que
\begin{eqnarray*}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} & = & -5
\end{eqnarray*}
\item Calcul du nombre dérivé en -1:
On commence par la simplification de $\dfrac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}$
\begin{eqnarray*}
f(-1 + h) & = & (-1 + h)^2 - (-1 + h) - 3 \\
& = & (-1)^2 + 2\times (-1)\times h + h^2 + 1 - h - 3 \\
& = & 1 -2h + h^2 - 2 - h \\
& = & h^2 - 3h - 1
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h} & = & \frac{ h^2 - 3h - 1 - (-1)}{h} \\
& = & \frac{h^2 - 3h}{h} \\
& = & \frac{h(h-3)}{h} \\
& = & h - 3
\end{eqnarray*}
Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}$ s'approche de $-3$. On en déduit que
\begin{eqnarray*}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h} & = & -3
\end{eqnarray*}
\item Calcul du nombre dérivé en 0:
On commence par la simplification de $\dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h}$
\begin{eqnarray*}
f(0 + h) & = & (0 + h)^2 - (0 + h) - 3 \\
& = & h^2 - h - 3 \\
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} & = & \frac{ h^2 - h - 3 - (-3)}{h} \\
& = & \frac{h^2 - h}{h} \\
& = & \frac{h(h-1)}{h} \\
& = & h - 3
\end{eqnarray*}
Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h}$ s'approche de $-1$. On en déduit que
\begin{eqnarray*}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} & = & -1
\end{eqnarray*}
\item Calcul du nombre dérivé en 1:
On commence par la simplification de $\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}$
\begin{eqnarray*}
f(1 + h) & = & (1 + h)^2 - (1 + h) - 3 \\
& = & 1^2 + 2\times 1\times h + h^2 - 1 - h - 3 \\
& = & 1 + 2h + h^2 - 4 - h \\
& = & h^2 + h - 3
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} & = & \frac{ h^2 + h - 3 - (-3)}{h} \\
& = & \frac{h^2 + h}{h} \\
& = & \frac{h(h+1)}{h} \\
& = & h + 1
\end{eqnarray*}
Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ s'approche de $1$. On en déduit que
\begin{eqnarray*}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} & = & 1
\end{eqnarray*}
\item Calcul du nombre dérivé en 2:
On commence par la simplification de $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$
\begin{eqnarray*}
f(2 + h) & = & (2 + h)^2 - (2 + h) - 3 \\
& = & 2^2 + 2\times 2\times h + h^2 - 2 - h - 3 \\
& = & 4 + 4h + h^2 - 5 - h \\
& = & h^2 + 3h - 1
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} & = & \frac{ h^2 + 3h - 1 - (-1)}{h} \\
& = & \frac{h^2 + 3h}{h} \\
& = & \frac{h(h+3)}{h} \\
& = & h + 3
\end{eqnarray*}
Donc quand $h$ s'approche de $0$, $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ s'approche de $3$. On en déduit que
\begin{eqnarray*}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} & = & 3
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
Le tableau devient donc
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
\hline
$x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
$f(x)$ & 3 & -1 & -3 & -3 & -1 \\
\hline
Nombre dérvé & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\paragraph{Graphique de la fonction $f$}
~\\
Cette partie a été traitée en cours.
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[scale=2]
% \draw [color = red, domain=0:2.5] plot (\x, {- \x - 3 + \x^2});
% \draw [color = red, domain=-2.5:0] plot (\x, {- \x - 3 + \x^2});
% \draw[->] (-3,0) -- (3.5,0);
% \draw[->] (0,-4) -- (0,4.5);
% \draw[dotted] (-3,-4) grid (3,4);
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: