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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{\Var{infos.num}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
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\begin{parts}
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\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
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\begin{multicols}{2}
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\begin{parts}
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\Block{set denom1 = choice([2, 3, 4, 6])}
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\Block{set num1 = randint(-50, 50)}
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\part $\alpha = \frac{\Var{num1}\pi}{\Var{denom1}}$
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\Block{set denom2 = choice([3, 4, 6])}
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\Block{set num2 = randint(-50, 50)}
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\part $\beta= \frac{\Var{num2}\pi}{\Var{denom2}}$
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\Block{set denom3 = choice([3, 4, 6])}
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\Block{set num3 = randint(-50, 50)}
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\part $\delta = \frac{\Var{num3}\pi}{\Var{denom3}}$
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\Block{set denom4 = choice([3, 6])}
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\Block{set num4 = randint(-50, 50)}
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\part $\sigma = \frac{\Var{num4}\pi}{\Var{denom4}}$
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\end{parts}
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\end{multicols}
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\begin{solution}
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\begin{tikzpicture}
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\cercleTrigo
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\draw (\Var{num1*180/denom1}:1) node[rotate = \Var{num1*180/denom1}] {-} node[above] {$\alpha$};
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\draw (\Var{num2*180/denom2}:1) node[rotate = \Var{num2*180/denom2}] {-} node[below] {$\beta$};
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\draw (\Var{num3*180/denom3}:1) node[rotate = \Var{num3*180/denom3}] {-} node[right] {$\delta$};
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\draw (\Var{num4*180/denom4}:1) node[rotate = \Var{num4*180/denom4}] {-} node[left] {$\sigma$};
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\end{tikzpicture}
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\end{solution}
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\Block{set u, v = random_str("{u},{v}",conditions = ["{u} > 0", "{v} > 0"]).split(',')}
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\Block{set c = round(2*random()-1,1)}
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\part On pose $||\vec{u}|| = \Var{u} $, $||\vec{v}|| = \Var{v} $ et $\vec{u}.\vec{v} = \Var{round(int(u)*int(v)*c, 1)}$ calculer les quantités suivantes
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\Block{set a, b = random_str("{a},{b}",conditions = ["{a} > 1", "{b} > 0"]).split(',')}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{subparts}
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\subpart $(\vec{u} - \Var{b} \vec{v})(\vec{v} + \Var{a} \vec{u})$
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\subpart $||\Var{a}\vec{u} - \Var{b} \vec{v}||$
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\end{parts}
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\question
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\Block{from "poly2Deg.tex" import solveEquation}
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\begin{parts}
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\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
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% Il y aura toujours 2 racines
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\Block{set P = Polynom.random(degree = 2, conditions = ["{b**2-4*a*b} > 0"])}
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% Il y aura toujours 2 racines
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\Block{set Q = Polynom.random(degree = 2, conditions = ["{b**2-4*a*b} > 0"])}
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% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
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\Block{set R = Polynom.random(degree = 1, letter = "\\sqrt{x}", conditions = ["{a*b}<0"])}
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\begin{multicols}{3}
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\begin{subparts}
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\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{\Var{P}}$
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\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{\Var{R}}$
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\subpart $h:x \mapsto \sqrt{\Var{Q}}$
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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On constate que $f$ est une fonction de la forme
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\begin{eqnarray*}
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f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = \Var{P}
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\end{eqnarray*}
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Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
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On résout l'équation $\Var{P} = 0$:
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\Var{solveEquation(P)}
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Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \Var{P.roots()[0]}, \Var{P.roots()[1]} \right\}$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\part Soit $f$ un fonction définie par
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\Block{set P = Polynom.random(degree = 2 )}
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\Block{set Q = Polynom.random(degree = 1 , conditions = ["{a+b} != 0"])}
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\begin{eqnarray*}
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f:x\mapsto \frac{\Var{P}}{\Var{Q}}
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\end{eqnarray*}
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\begin{subparts}
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\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
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\Block{set N = (P.derivate() * Q - P * Q.derivate()).simplify()}
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\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{\Var{N}}{(\Var{Q})^2}$
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\subpart Étudier le signe de $f$.
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\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\question
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\Block{set u0 = random_str("{u}")}
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\Block{set u = Polynom.random(degree = 1, conditions=["{a} != 1"], letter = "u_n")}
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\Block{set a,b = u._coef[1], u._coef[0]}
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Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
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\begin{eqnarray*}
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u_0 = \Var{u0} \hspace{2cm} u_{n+1} = \Var{u}
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\end{eqnarray*}
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\begin{parts}
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\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
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\Block{set pt_fixe = Fraction(b, (1-a)).simplify()}
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\Block{set v = Polynom([-pt_fixe, 1], letter = "u_n")}
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\part On pose $v_n = \Var{v}$.
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
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\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \Var{a}$.
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\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
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\Block{set explicite = Expression([int(u0) - pt_fixe, a, "n", "^", "*", pt_fixe, "+"])}
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\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \Var{explicite}$
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\end{subparts}
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\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
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\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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