Import work from year 2014-2015
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Benjamin Bertrand
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% Title Page
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\title{}
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\author{}
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\date{28 mai 2015}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\begin{document}
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\sujet
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\begin{enumerate}
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\item Soit $u$ une fonction définie sur $\mathcal{D}_u$ et $f$ une fonction telle que pour tout $x$ $f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$ alors le domaine de définition de $f$ est
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\\[0.5cm]
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\\[0.3cm]
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\item Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ alors la dérivée de $u \times v$ est
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\\[0.5cm]
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\\[0.3cm]
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\item Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors la dérivée de $\dfrac{1}{v}$ est
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\\[0.5cm]
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\\[0.3cm]
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\item Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $k$ un réel et $f$ une fonction telle que pour tout $x \in I ,\; f(x) = k\times u(x)$. Quelles sont les variations de $f$ en fonction de celles de $u$ et des valeurs de $k$?
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\end{enumerate}
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\sujet
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\begin{enumerate}
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||||
\item Soit $u$ une fonction définie sur $\mathcal{D}_u$ et $f$ une fonction telle que pour tout $x$ $f(x) = \sqrt{u(x)}$ alors le domaine de définition de $f$ est
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\\[0.5cm]
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\\[0.3cm]
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\item Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivable sur un intervalle $I$ alors la dérivée de $u + v$ est
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\\[0.5cm]
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\\[0.3cm]
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\item Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivable sur un intervalle $I$ alors la dérivée de $\dfrac{u}{v}$ est
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\\[0.5cm]
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\\[0.3cm]
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\item Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $k$ un réel et $f$ une fonction telle que pour tout $x \in I ,\; f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$. Quelles sont les variations de $f$ en fonction de celles de $u$ et des valeurs de $k$?
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\\[0.5cm]
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\\[0.5cm]
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\end{enumerate}
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\end{document}
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% Title Page
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\titre{Opération sur les fonctions}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{Mai 2015}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Opérations sur les fonction}
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\subsection{Fonctions du type $u + k$ et $k \times u$}
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\begin{Prop}
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Soit $u$ une fonction, $k$ un réél et $f$ telle que $f(x) = u(x) + k$ alors
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\begin{itemize}
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||||
\item $u$ et $f$ ont le même ensemble de définition
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||||
\item $u$ et $f$ ont les mêmes variations
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\end{itemize}
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\end{Prop}
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\begin{Prop}
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||||
Soit $u$ une fonction, $k$ un réél et $f$ telle que $f(x) = k \times u(x)$ alors
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $u$ et $f$ ont le même ensemble de définition.
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||||
\item Si $k>0$ alors $u$ et $f$ ont les mêmes variations.
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||||
\item Si $k<0$ alors $u$ et $f$ ont des variations contraires.
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\end{itemize}
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\end{Prop}
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\subsection{Fonctions du type $\dfrac{1}{u}$}
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\begin{Prop}
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Soit $u$ une fonction et $f$ telle que $f(x) = \frac{1}{u(x)}$ alors
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $f$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ tels que $u(x) \neq 0$ (ces valeurs s'appellent \textbf{valeurs interdites}).
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||||
\item $u$ et $f$ on des variations contraires.
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\end{itemize}
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||||
\end{Prop}
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||||
\subsection{Fonctions du type $\sqrt{u}$}
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\begin{Prop}
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||||
Soit $u$ une fonction et $f$ telle que $f(x) = \sqrt{u(x)}$ alors
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $f$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ tels que $u(x) \geq 0$.
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||||
\item $u$ et $f$ ont les mêmes variations.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{Prop}
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\section{Dérivées et opérations}
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||||
\textit{Tableau des dérivées et quelques exemples.}
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\begin{Prop}
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Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$
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\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
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\hline
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Fonction & Dérivée \\
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\hline
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||||
$f(x) = u(x) + v(x)$ & $f'(x) = u'(x) + v'(x)$ \\
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\hline
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||||
$f(x) = u(x) \times v(x)$ & $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ \\
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||||
\hline
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||||
$f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$ & $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)^2}$\\
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||||
\hline
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||||
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ & $f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ \\
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\hline
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{Prop}
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\begin{Ex}
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\begin{itemize}
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||||
\item Dériver puis étudier les variations de $f(x) = \sqrt{x}(2x+1)$
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||||
\item Dériver puis étudier les variations de $g(x) = \dfrac{1}{2x^2 + 4x - 1}$
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||||
\item Dériver puis étudier les variations de $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1}$
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{Ex}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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% Title Page
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\titre{Opération sur les fonctions}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{Mai 2015}
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\begin{document}
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||||
\thispagestyle{empty}
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||||
\begin{center}
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\Ovalbox{Dériver puis étudier les variations de $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1}$}
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||||
\end{center}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item \textbf{Domaine de définition de $h$.}
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||||
On constate que $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1} = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec
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\begin{eqnarray*}
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||||
u(x) = 3x^2 - x - 1 &\hspace{1cm} & v(x) = 4x - 1
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
Ces deux fonctions sont des polynômes donc sont définis sur $\R$. Les valeurs interdites arrivent quand $u(x) = 0$. On résout cette équation
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\begin{eqnarray*}
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||||
u(x) = 0 & \equiv & 4x - 1 = 0 \\
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& \equiv & 4x = 1 \\
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||||
& \equiv & x = \frac{1}{4}
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\end{eqnarray*}
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Donc le domaine de définition de $h$ est $D_h = \R \backslash \left\{ \dfrac{1}{4} \right\}$.
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\item \textbf{Dérivation}
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||||
Comme nous l'avons vu plus haut, $h$ est de la forme $h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ nous allons donc utiliser la dernière formule du tableau pour dériver. Pour cela nous avons besoin de dériver $u$ et $v$
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||||
\begin{eqnarray*}
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u(x) = 3x^2 - x - 1 & \mbox{ donc } & u'(x) = 6x - 1 \\
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v(x) = 4x - 1 & \mbox{ donc } & v'(x) = 4
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\end{eqnarray*}
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||||
On applique la formule
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\begin{eqnarray*}
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h'(x) &=& \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} \\
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||||
&=& \frac{(6x - 1)(4x - 1) - (3x^2 - x - 1)\times 4}{(4x-1)^2} \\
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||||
&=& \frac{24 x^{ 2 } - 6 x - 4x + 1 - ( 12 x^{ 2 } - 4 x - 4 )}{(4x-1)^2} \\
|
||||
&=& \frac{24 x^{ 2 } - 10 x + 1 - 12 x^{ 2 } + 4 x + 4}{(4x-1)^2} \\
|
||||
&=& \frac{( 24 - 12 ) x^{ 2 } + ( -10 + 4 ) x + 1 + 4}{(4x-1)^2} \\
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||||
h'(x) &=& \frac{12 x^{ 2 } - 6 x + 5}{(4x-1)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item \textbf{Étude des variations de $h$}
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Comme le dénominateur de $h'$ est un carré (toujours positif), $h'$ a le même signe que le numérateur $12x^2 - 6x + 5$. Pour déterminer le signe de ce polynôme, on utilise la méthode du discriminant
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta = b^2 - 4ac &=& (-6)^2 - 4\times 12 \times 5 \\
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&=& 36 - 240 \\
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||||
&=& -204
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
$\Delta < 0$, il n'y donc pas de racine et le polynôme est du signe de $a = 12 > 0$. Donc $12x^2 - 6x + 5$ est toujours positif donc $h'(x)$ est toujours positif. On en déduit le tableau de variation suivant
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit{$x$/1, Signe de $h'$ / 2, Variations de $h$ / 2}{$-\infty$, $\frac{1}{4}$, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, +, d, +, }
|
||||
\tkzTabVar{-/{}, +D-/{}/{}, +/{}}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
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\end{itemize}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/Analyse/Operation_fct/Cours/index.rst
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1S/Analyse/Operation_fct/Cours/index.rst
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||||
Notes sur le cours Opération sur les fonctions
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:date: 2015-07-01
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:modified: 2015-07-01
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:tags: Cours,Analyse, Dérivation
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers tlb_derivee.pdf <tlb_derivee.pdf>`_
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`Lien vers Operation_fct.tex <Operation_fct.tex>`_
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`Lien vers corr_exemple.tex <corr_exemple.tex>`_
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`Lien vers Operation_fct.pdf <Operation_fct.pdf>`_
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`Lien vers tlb_derivee.tex <tlb_derivee.tex>`_
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`Lien vers corr_exemple.pdf <corr_exemple.pdf>`_
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1S/Analyse/Operation_fct/Cours/tlb_derivee.pdf
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1S/Analyse/Operation_fct/Cours/tlb_derivee.pdf
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1S/Analyse/Operation_fct/Cours/tlb_derivee.tex
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1S/Analyse/Operation_fct/Cours/tlb_derivee.tex
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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
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% Title Page
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\titre{Opération sur les fonctions}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{Mai 2015}
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\begin{document}
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||||
\thispagestyle{empty}
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||||
\begin{center}
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\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
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\hline
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||||
Fonction & Dérivée \\
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||||
\hline
|
||||
$f(x) = u(x) + v(x)$ & $f'(x) = u'(x) + v'(x)$ \\
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||||
\hline
|
||||
$f(x) = u(x) \times v(x)$ & $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$ & $f'(x) = \dfrac{-u'(x)}{u(x)^2}$\\
|
||||
\hline
|
||||
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ & $f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{Ex}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Dériver puis étudier les variations de $f(x) = \sqrt{x}(2x+1)$
|
||||
\item Dériver puis étudier les variations de $g(x) = \dfrac{1}{2x^2 + 4x - 1}$
|
||||
\item Dériver puis étudier les variations de $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Ex}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
|
||||
\hline
|
||||
Fonction & Dérivée \\
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||||
\hline
|
||||
$f(x) = u(x) + v(x)$ & $f'(x) = u'(x) + v'(x)$ \\
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||||
\hline
|
||||
$f(x) = u(x) \times v(x)$ & $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$ & $f'(x) = \dfrac{-u'(x)}{u(x)^2}$\\
|
||||
\hline
|
||||
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ & $f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{Ex}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Dériver puis étudier les variations de $f(x) = \sqrt{x}(2x+1)$
|
||||
\item Dériver puis étudier les variations de $g(x) = \dfrac{1}{2x^2 + 4x - 1}$
|
||||
\item Dériver puis étudier les variations de $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Ex}
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||||
|
||||
\vfill
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||||
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
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||||
\hline
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||||
Fonction & Dérivée \\
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||||
\hline
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||||
$f(x) = u(x) + v(x)$ & $f'(x) = u'(x) + v'(x)$ \\
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||||
\hline
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||||
$f(x) = u(x) \times v(x)$ & $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ \\
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||||
\hline
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||||
$f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$ & $f'(x) = \dfrac{-u'(x)}{u(x)^2}$\\
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||||
\hline
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||||
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ & $f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
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||||
\end{center}
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||||
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||||
\begin{Ex}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Dériver puis étudier les variations de $f(x) = \sqrt{x}(2x+1)$
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||||
\item Dériver puis étudier les variations de $g(x) = \dfrac{1}{2x^2 + 4x - 1}$
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||||
\item Dériver puis étudier les variations de $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1}$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Ex}
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\end{document}
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