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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{Opération sur les fonctions}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{Mai 2015}
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center}
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\Ovalbox{Dériver puis étudier les variations de $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1}$}
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\end{center}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Domaine de définition de $h$.}
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On constate que $h(x) = \dfrac{3x^2 - x - 1}{4x - 1} = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec
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\begin{eqnarray*}
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u(x) = 3x^2 - x - 1 &\hspace{1cm} & v(x) = 4x - 1
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\end{eqnarray*}
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Ces deux fonctions sont des polynômes donc sont définis sur $\R$. Les valeurs interdites arrivent quand $u(x) = 0$. On résout cette équation
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\begin{eqnarray*}
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u(x) = 0 & \equiv & 4x - 1 = 0 \\
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& \equiv & 4x = 1 \\
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& \equiv & x = \frac{1}{4}
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\end{eqnarray*}
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Donc le domaine de définition de $h$ est $D_h = \R \backslash \left\{ \dfrac{1}{4} \right\}$.
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\item \textbf{Dérivation}
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Comme nous l'avons vu plus haut, $h$ est de la forme $h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ nous allons donc utiliser la dernière formule du tableau pour dériver. Pour cela nous avons besoin de dériver $u$ et $v$
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\begin{eqnarray*}
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u(x) = 3x^2 - x - 1 & \mbox{ donc } & u'(x) = 6x - 1 \\
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v(x) = 4x - 1 & \mbox{ donc } & v'(x) = 4
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\end{eqnarray*}
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On applique la formule
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\begin{eqnarray*}
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h'(x) &=& \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} \\
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&=& \frac{(6x - 1)(4x - 1) - (3x^2 - x - 1)\times 4}{(4x-1)^2} \\
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&=& \frac{24 x^{ 2 } - 6 x - 4x + 1 - ( 12 x^{ 2 } - 4 x - 4 )}{(4x-1)^2} \\
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&=& \frac{24 x^{ 2 } - 10 x + 1 - 12 x^{ 2 } + 4 x + 4}{(4x-1)^2} \\
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&=& \frac{( 24 - 12 ) x^{ 2 } + ( -10 + 4 ) x + 1 + 4}{(4x-1)^2} \\
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h'(x) &=& \frac{12 x^{ 2 } - 6 x + 5}{(4x-1)^2}
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\end{eqnarray*}
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\item \textbf{Étude des variations de $h$}
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Comme le dénominateur de $h'$ est un carré (toujours positif), $h'$ a le même signe que le numérateur $12x^2 - 6x + 5$. Pour déterminer le signe de ce polynôme, on utilise la méthode du discriminant
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\begin{eqnarray*}
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\Delta = b^2 - 4ac &=& (-6)^2 - 4\times 12 \times 5 \\
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&=& 36 - 240 \\
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&=& -204
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\end{eqnarray*}
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$\Delta < 0$, il n'y donc pas de racine et le polynôme est du signe de $a = 12 > 0$. Donc $12x^2 - 6x + 5$ est toujours positif donc $h'(x)$ est toujours positif. On en déduit le tableau de variation suivant
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit{$x$/1, Signe de $h'$ / 2, Variations de $h$ / 2}{$-\infty$, $\frac{1}{4}$, $+\infty$}
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\tkzTabLine{, +, d, +, }
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\tkzTabVar{-/{}, +D-/{}/{}, +/{}}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{itemize}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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