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TeX
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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{Dérivation - révision}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\TSTMG}
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\date{Juin 2015}
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%\duree{1 heure}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Other
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\typedoc{Other}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Tangente et dérivée}
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\begin{Prop}
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Tableau des dérivées
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|m{5cm}|m{5cm}|}
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\hline
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Fonction & Dérivée \\
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\hline
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$f(x) = a$ & $f'(x) = $ \\
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\hline
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$f(x) = ax$ & $f'(x) = $ \\
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\hline
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$f(x) = ax^n$ & $f'(x) = $ \\
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\hline
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$f(x) = \frac{a}{x} $ & $f'(x) = $ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{Prop}
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\begin{Ex}
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Dérivation de $f(x) = 4x + 20 - \frac{10}{x}$
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\\[2cm]
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\end{Ex}
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\begin{Prop}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
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ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[thick,color=red,samples=30,domain = -3:3]{-\x*\x + 1}
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\draw (-2,-2) node[above left] {$\mathcal{C}_f$};
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\tkzFct[thick,color=blue,samples=30,domain = -3:3]{-2*\x+2}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hspace{0.5cm}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Soit $f$ une fonction, $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique et $a$ un nombre.
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Alors l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par
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\\[2cm]
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\end{minipage}
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\end{Prop}
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\begin{Ex}
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Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 quand la fonction est $f(x) = -x^2 + 1$
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\end{Ex}
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\clearpage
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\begin{questions}
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\question
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\begin{center}
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\textbf{Exercice 4 du bac métropole septembre 2014}
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\end{center}
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\textbf{Partie A}
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On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle [4~;~16] par :
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\[f(x) = - x + 20 - \dfrac{64}{x}.\]
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On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que pour tout $x$ de l’intervalle [4~;~16], on a :
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\[f'(x) =\dfrac{64 - x^2}{x^2}.\]
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que le tableau de signes de $f'$ sur l’intervalle [4~;~16] est :
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[]{$x$/1,$f'(x)$/1}{4, 8, 16}
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\tkzTabLine{, +, z, -,}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l’intervalle [4~;~16].
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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Une entreprise produit et commercialise entre 4 et 16 tonnes d’engrais par jour.
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On admet que toute sa production est vendue.
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Le bénéfice total (exprimé en centaines d’euros) réalisé pour une production de $x$ tonnes d’engrais, est modélisé à l’aide de la fonction $B$ définie par :
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\[B(x) = - x^2 + 20x - 64.\]
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\begin{enumerate}
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\item En étudiant les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [4~;~16], déterminer la production permettant de réaliser un bénéfice total maximal.
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Quel est ce bénéfice total ?
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\item Le bénéfice unitaire pour une production de $x$ tonnes d’engrais est donné par $\dfrac{B(x)}{x}$.
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Le bénéfice total et le bénéfice unitaire sont-ils maximaux pour la même production d’engrais ? On pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
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\end{enumerate}
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\question
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On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5~;~3]$ dont la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessous.
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Soit A le point de $\mathcal{C}_{f}$ de coordonnées $(0~;~- 3)$, B et C les points de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisses respectivement égales à $1$ et à $- 3$. La tangente $T_{0}$ en A à $\mathcal{C}_{f}$ passe par le point C. Les tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ aux points B et C sont horizontales.
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{parts}
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\part $f(1)$ est égal à :
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\begin{multicols}{2}
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\begin{subparts}
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\subpart $-3$
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\subpart $2,3$
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\subpart $-1$
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\subpart $-4,6$
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\part Le nombre dérivé en 1 de la fonction $f$ est égal à :
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\begin{multicols}{2}
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\begin{subparts}
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\subpart $-4,7$
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\subpart $-3$
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\subpart $0$
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\subpart $1$
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\part Une équation de la tangente $T_{0}$ est :
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\begin{multicols}{2}
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\begin{subparts}
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\subpart $y = - 3x - 3$
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\subpart $y = - x - 3$
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\subpart $y = - 3x$
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\subpart $y = - 3$
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\part On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
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Sur l'intervalle $[-4~;~-2]$, on peut affirmer que :
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\begin{multicols}{2}
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\begin{subparts}
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\subpart$f'$ est positive
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\subpart$f'$ change de signe
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\subpart$f'$ est partout nulle
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\subpart$f'$ est négative
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\end{parts}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale = 0.7]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=3,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=7,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[thick,color=red,samples=100,domain = -5:3]{\x*\x*\x/3 + \x*\x - 3*\x - 3}
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\draw (3,6) node[below left] {$\mathcal{C}_f$};
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\draw (0,-3) node {$\bullet$} node[above right] {$A$};
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\draw (1,-4.65) node {$\bullet$} node[above] {$B$};
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||
\draw (-3,6) node {$\bullet$} node[above right] {$C$};
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||
\tkzFct[thick,color=blue,samples=30,domain = -5:3]{-3*\x - 3}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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||
\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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