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% exo de geometrie comme au brevet blanc.
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%- set AC, AD, DC = random_pythagore()
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%- set tourACDA = AC+AD+DC
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%- set AE, AF = round(tourACDA/2*random(), 1), round(tourACDA/2*random(), 1)
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%- set EF = round(tourACDA - AE - AF - randint(20,40)*0.2, 1)
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%- set tourAEFA = round(AE+EF+AF, 1)
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%- set rapport = randint(2,5)
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%- set AE1, AF1, EF1 = round(AE/rapport,2) , round(AF/rapport,2), round(EF/rapport,2)
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%- set objectif = randint(floor(tourAEFA), tourACDA)
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%- if objectif > 100
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%- set unit = "m"
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%- else
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%- set unit = "km"
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%- endif
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Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipale, schématisés ci-dessous:
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\begin{itemize}
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\item Le parcours ACDA
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\item Le parcours AEFA
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\end{itemize}
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Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s'approche le plus possible de \Var{objectif}\Var{unit}.
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Peux-tu les aider à choisir le parcours? Justifie
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\textbf{Attention: La figure proposée au conseil municipale n'est pas à l'échelle, mais les codages et les dimension données sont correctes.}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\includegraphics[scale = 0.4]{./fig/parcours}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item $AC = \Var{AC}\Var{unit}$
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\item $CD = \Var{DC}\Var{unit}$
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\item $AE' = \Var{AE1}\Var{unit}$
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\item $AE = \Var{AE}\Var{unit}$
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\item $AF = \Var{AF}\Var{unit}$
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\item $E'F' = \Var{EF1}\Var{unit}$
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\item $(E'F') // (EF)$
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\item L'angle $\widehat{EAF}$ vaut $30^o$
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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\item Parcours ACDA:
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D'après la figure, on voit que le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a
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\begin{align*}
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AD^2 &= AC^2 + DC^2 \\
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AD^2 &= \Var{AC}^2 + \Var{DC}^2 \\
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AD^2 &= \Var{AC**2} + \Var{DC**2} \\
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AD^2 &= \Var{AC**2 + DC**2} \\
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AD &= \sqrt{\Var{AC**2 + DC**2}} = \Var{AD}\Var{unit}
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\end{align*}
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Donc le parcours ACDA mesure
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\begin{align*}
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AD + AC + CD = \Var{AD} + \Var{AC} + \Var{DC} = \Var{tourACDA}\Var{unit}
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\end{align*}
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\item Parcours AEFA:
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D'après les données, on sait que $(EF) // (E'F')$. On voit aussi que $A$, $E'$ et $E$ sont alignés. Il en est de même pour les points $A$, $F'$ et $F$. Donc d'après le théorème de Thalès
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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Triangle AEF & AE = \Var{AE} & AF = \Var{AF} & EF \\
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\hline
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Triangle AE'F' & AE' = \Var{AE1} & AF' & E'F' = \Var{EF1} \\
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\hline
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\end{tabular}
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est un tableau de proportionnalité. Donc on peut faire un produit en croix pour calcul $EF$.
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\begin{align*}
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EF = \frac{E'F' \times AE}{AE'} = \frac{\Var{EF1} \times \Var{AE}}{\Var{AE1}} = \Var{EF} \Var{unit}
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\end{align*}
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Donc le parcours AEFA mesure
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\begin{align*}
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AF + AE + EF = \Var{AF} + \Var{AE} + \Var{EF} = \Var{tourAEFA}\Var{unit}
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\end{align*}
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\item Choix du parcours:
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%- if abs(tourACDA - objectif) < abs(tourAEFA - objectif)
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Il faudra choisir le tour $ACDA$ car sa longueur est plus proche de \Var{objectif}\Var{unit}.
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%- else
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Il faudra choisir le tour $AFEA$ car sa longueur est plus proche de \Var{objectif}\Var{unit}.
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%- endif
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\end{itemize}
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\end{solution}
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