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TES/Logarithme/Relation_fonctionnelle/1B_definition_ln.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Logarithme - relation fonctionnelle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Mars 2020}
+
+\begin{document}
+
+\section{Logarithme népérien}
+
+\subsection*{Définition}
+
+Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $e^b = a$.
+
+$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
+\[
+    e^b = a \qquad \equiv \ln(a) = b
+\]
+
+La fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$, est la fonction qui à tout $x > 0$ associe $\ln(x)$
+
+\subsection*{Valeurs particulières du logarithme}
+
+\afaire{Calculer les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$}
+
+\subsection*{Propriétés}
+
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$
+    \item Pour tout $x \in \R$, $\ln(e^x) = x$
+\end{itemize}
+
+\section{Utilisation pour résoudre des équations}
+
+Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
+
+\subsection*{Propriétés}
+Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
+    \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
+    \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Exemple}
+\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
+
+\end{document}

TES/Logarithme/Relation_fonctionnelle/1E_eq_exp.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Équation avec l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Équations et exponentielle}]
+    Résoudre les équations et inéquation suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+       \begin{enumerate}
+           \item $e^{3x} = e^{2x-1}$
+           \item $e^{x^2} = e^{4x + 1}$
+           \item $1 = e^{x^2 + 2x + 4}$
+           \item $e^{3x} \geq e^{-2x-4}$
+           \item $e^{x^2 - 2} > 1 $
+           \item $e^{x^2 + 2x + 4} < 0$
+       \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Y a-t-il toujours des solutions?}]
+    On souhaite résoudre les équations du type
+    \[
+        e^x = a
+    \]
+    En vous aidant de la représentation graphique de la fonction exponentielle, conjecturer des réponses aux deux premières questions. 
+    \begin{enumerate}
+        \item À quelles conditions sur $a$, cette équation a-t-elle une solution?
+        \item Est-il possible que cette équation ait 2 solutions ou plus?
+        \item (*) Soit $a \in \intOO{0}{+\infty} = \R^{+*}$ démontrer que l'équation une unique solution sur $\R$ que l'on nommera $b$.
+    \end{enumerate}
+    La dernière question de l'exercice démontre pour tout $a\in \intOO{0}{+\infty}$ il existe un unique $b \in \R$ tel que $e^{b} = a$. On peut alors définition la fonction qui à $a$ associe $b$, c'est le logiciel népérien: $\ln(a) = b$.
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{3}
+    \item (*) Démontrer que pour tout $x \in \R^{+*}$ on a $e^{\ln(x)} = x$.
+    \item (*) En déduire que pour tout $x \in \R^{+*}$ on a $\ln(e^x) = x$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Retour aux équations}]
+    Résoudre les équations et inéquation suivantes
+    \begin{multicols}{4}
+       \begin{enumerate}
+           \item $e^{x} = 5$
+           \item $e^{x} = 1$
+           \item $e^{x} = -10$
+           \item $e^{2x} = 3$
+
+           \item $e^{-3x} = 10$
+           \item $e^{5x+1} = 10$
+           \item $2e^{x} = 6$
+           \item $-3e^{x} = -9$
+
+           \item $4e^{x} + 1 = 6$
+           \item $-5e^{-x} + 1 = -1$
+           \item $4e^{x^2} - 3 = 6$
+           \item $-4e^{x+1} - 3 = 1$
+       \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+\end{document}

TES/Logarithme/Relation_fonctionnelle/2B_relation_fonctionnelle.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Logarithme - relation fonctionnelle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Mars 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Relation fonctionnelle}
+
+\subsection*{Propriétés}
+
+Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et $n$ un entier naturel.
+\begin{align*}
+    \ln(a \times b) &= \ln(a) + \ln(b)\\
+    \ln(a^n) &= n\ln(a) \\
+    \ln\left( \frac{a}{b} \right) &= \ln(a) - \ln(b) \\
+    \ln\left( \frac{1}{a} \right) &= - \ln(a) \\
+\end{align*}
+
+\subsection*{Exemples}
+\afaire{Écrire sous la forme d'une seul logarithme $A = 3\ln(8) - \ln(2) + 4\ln(5)$}
+\afaire{Démontrer l'égalité $\ln(6x) + \ln(\frac{x}{2}) +\ln(\frac{x}{3}) = 3\ln(x)$}
+
+\end{document}

TES/Logarithme/Relation_fonctionnelle/2E_rel_fonctionnelle.tex

@@ -0,0 +1,93 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Équation avec l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Relation fonctionnelle}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer les quantités suivantes arrondis au millième et conjecturer des formules avec le Logarithme.
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $A = \ln(6)$
+                    \item $B = \ln(32)$
+                    \item $C = \ln(21)$
+                    \item $D = \ln(27)$
+
+                    \item $E = \ln(2) + \ln(3)$
+                    \item $F = \ln(3) + \ln(7)$
+                    \item $G = \ln(2) + \ln(16)$
+                    \item $H = \ln(63) - \ln(3)$
+
+                    \item $I = \ln(108) - \ln(4)$
+                    \item $J = 5\ln(2)$
+                    \item $K = 3\ln(3)$
+                    \item $L = - \ln(\frac{1}{6})$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+
+            \begin{multicols}{2}
+            \item (*) Soient $x$ et $y$ strictement positif. Après avoir calculer séparément
+                \[
+                    e^{\ln(x) + \ln(y)} \qquad \qquad e^{\ln(x\times y)}
+                \]
+                Démontrer que $\ln(x \times y) = \ln(x) + \ln(y)$.
+            \item (*) Démontrer que pour tout $n \in \N$, $\ln(a^n) = n \ln(a)$.
+            \item (*) Démontrer que $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$.
+            \item (*) En déduire une formule pour $\ln(\frac{1}{a})$
+
+            \end{multicols}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Manipulation du logarithme}]
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item Écrire les nombres suivants avec un seul logarithme
+                \begin{multicols}{2}
+                    \begin{enumerate}
+                        \item $\ln(6) + 2\ln(5)$
+                        \item $\ln(2) - \ln(\frac{1}{2})$
+                        \item $3\ln(5) - 4\ln(10)$
+                        \item $1+\ln(4)$
+                            %\item $2 - 2 \ln(2)$
+                            %\item $\ln(2^3) + 3\ln(4)$
+                    \end{enumerate}
+                \end{multicols}
+            \item Démontrer les égalités suivantes
+                \begin{enumerate}
+                    \item $\ln(2e^3) + \ln(e) - \ln(2) = 4$
+                    \item $\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(x^2+x)$
+                    \item $\ln(x^2) + \ln(\frac{1}{x}) - \ln(2) = \ln(\frac{x}{2})$
+                    \item $\ln(x^3) + \ln(\frac{e^2}{x}) = 2\ln(x) + 2$
+                \end{enumerate}
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Retour aux équations}]
+    Résoudre les équations suivantes
+    \begin{multicols}{4}
+    \begin{enumerate}
+        \item $x^4 = 5$
+        \item $5x^3 = 10$
+        \item $(x+1)^{10} = 0.4$
+        \item $(1 + \frac{t}{100})^{10} = 2.5$
+    \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+\end{document}

TES/Logarithme/Relation_fonctionnelle/3E_equations.tex

@@ -0,0 +1,82 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Équation avec l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Équations avec logarithme}]
+    Résoudre les équations et inéquations suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\ln(x) = 4$
+            \item $\ln(x) + 1 = 0$
+            \item $5\ln(x) -3 = 5$
+            \item $\ln(x) =3\ln(5)$
+            \item $\ln(2x+3) = 0$
+            \item $(x+1)\ln(x) = 0$
+            \item $\ln(x+2) + \ln(3) = \ln(x)$
+            \item $\ln(2x+1) = 2\ln(x)$
+            \item $\ln(x) + \ln(x+2) = \ln(9x-12)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\arediger{Un exercice parmi les 3 suivants. Le premier est le plus proche d'un exercice type bac, le 2e demande de la prise d'initiative et le 3e en plus d'actualité}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Renard}]
+    Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de \np{1240} renards à la fin de l'année 2016.
+
+    Les études ont montré que cette population diminue de 15\% par an.
+
+    Pour compenser cette diminution, le parc décide d'introduire chaque année 30 renards.
+
+    On modélise alors la population de renard par la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence suivante \\$u_{n+1} = 0.85u_n +30$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $u_1$ et $u_2$
+        \item Est-ce que la suite  $(u_n)$ est géométrique?
+    \end{enumerate}
+    On veut chercher une formule explicite pour cette suite $(u_n)$. Pour cela, on passe par une suite annexe $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 200$
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item Calculer $v_0$ et $v_1$
+        \item La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
+        \item Démontrer que $u_n = 1040\times 0.85^n + 200$
+        \item Par le calcul, déterminer quand la population va atteindre 500 individus.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation}]
+    Une entreprise achète une machine neuve dont le prix est de \np{84000}\euro. On estime qu'elle se déprécie de 12\% par an.
+    \begin{enumerate}
+        \item Modéliser la situation avec une suite en précisant sa formule explicite.
+        \item Sans utiliser le tableur de la calculatrice, calculer au bout de combien d'années la valeur de la machine passera en dessous de \np{20000}\euro.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Taux d'évolution moyen}]
+    D'après Wikipédia, le nombre de cas constaté d'infectés par le Covid-19 en France est passé de 130 cas au premier mars à \np{44550} le 30 mars. 
+    
+    \includegraphics[scale=0.5]{./fig/evo_covid}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le taux d'évolution du nombre de cas constatés entre le 1 mars et le 30 mars.
+    \end{enumerate}
+
+    On souhaite calculer le taux d'évolution moyenne journalier du nombre d'infectés. Pour cela, on modélise cette quantité par une suite géométrique $(u_n)$ où $n$ désigne le nombre de jours depuis le 1mars. On a donc
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item D'après les données de l'énoncé (pas le graphique) déterminer $u_0$ et $u_{29}$.
+        \item On note $q$ la raison de cette suite (qui est inconnue). Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
+        \item En déduire des deux questions précédente la valeur de $q$.
+        \item $q$ Représente le coefficient multiplicateur moyen journalier du nombre d'infectés. En déduire, le taux d'évolution moyen.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+
+\end{document}

TES/Logarithme/Relation_fonctionnelle/index.rst

@@ -0,0 +1,54 @@
+Découverte du logarithme pour l'année 2019-2020 en terminale ES
+###############################################################
+
+:date: 2020-03-31
+:modified: 2020-03-31
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: TESL
+:tags: Logarithme, 
+:summary: Découverte de la fonction logarithme pour inverser l'exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale ESL
+
+Étape 1: Résolution d'équation avec l'exponentielle
+===================================================
+
+.. image:: 1E_eq_exp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Résolution d'équations avec exp
+
+On commence par des résolutions d'équations et d'inéquations avec des exponentielles des deux côtés comme révision de ce qui avait déjà été fait dans les chapitres précédents. On arrive ensuite à une équation où il n'y a de l'exponentielle que d'un côté...
+
+On explique que pour résoudre ce genre d'équation, on a besoin d'une nouvelle fonction le logarithme. On montre comment cette fonction annule l'exponentielle. Ensuite, en fonction des besoins des élèves, certains pourront aller résoudre des exercices techniques tandis que d'autres pourront s'attaquer aux démonstrations sur l'existence du logarithme.
+
+Cours: Définition du logarithme et relations avec l'exponentielle.
+
+.. image:: 1B_definition_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Définition du logarithme et propriétés liées aux équations.
+
+Devoir: relire le premier chapitre sur l'exponentielle (relation fonctionnelle)
+
+Étape 2: Relation fonctionnelle du logarithme
+=============================================
+
+.. image:: 2E_rel_fonctionnelle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Relation fonctionnelle et logarithme
+
+
+On donne les relations fonctionnelles du logarithme et des exercices de transformation d'écriture. Les élèves cherchent à les résoudre. Les plus rapides pourront allez démontrer ces relations fonctionnelles à partir de celle de l'exponentielle.
+
+Cours: Relations fonctionnelles
+
+.. image:: 2B_relation_fonctionnelle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan autour de la relation fonctionnelle du logarithme.
+
+Devoir: revoir le chapitre sur les suites.
+
+Étape 3: Équation avec log et Logarithme dans d'autres contextes
+================================================================
+
+.. image:: 3E_equations.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Équations avec logarithme et logarithme dans d'autres contextes
+