60 lines
1.5 KiB
TeX
60 lines
1.5 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\title{Polynômes du 3e degré - Cours}
|
|
\tribe{1ST}
|
|
\date{Mai 2020}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\setcounter{section}{3}
|
|
\section{Les fonctions $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$}
|
|
|
|
\subsection*{Propriété}%
|
|
|
|
Certains polynômes de degré 3 peuvent se mettre sous la forme \textbf{factorisée} suivante
|
|
\[
|
|
P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
|
|
\]
|
|
Comme pour les polynômes de degré 2, $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont des \textbf{racines} du polynôme.
|
|
|
|
\subsubsection*{Démonstration}%
|
|
\afaire{Démontrer que $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont des \textbf{racines} du polynôme $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$.}
|
|
|
|
\subsubsection*{Exemple}%
|
|
Montrons que $-1$, $-2$ et $1$ sont des racines de
|
|
\[
|
|
P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2
|
|
\]
|
|
On en déduit la forme factorisée de $P(x)$
|
|
\afaire{}
|
|
|
|
|
|
\subsection*{Définition}%
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item On appelle \textbf{racine double} une racine qui apparait 2 fois dans la forme factorisé. On a alors dans le cas où $x_1$ est une racine double
|
|
\[
|
|
P(x) = a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_3) = a(x-x_1)^2(x-x_3)
|
|
\]
|
|
\item On appelle \textbf{racine triple} une racine qui apparait 3 fois dans la forme factorisé. On a alors dans le cas où $x_1$ est une racine triple
|
|
\[
|
|
P(x) = a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_1) = a(x-x_1)^3
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsection*{Méthode: étude de signe}%
|
|
Étudions le signe de $P(x) = 2(x+1)(x+2)(x-1)$
|
|
|
|
\afaire{}
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
|
%%% End:
|
|
|