2020-2021/TST/02_Modelisation_suite/exercises.tex

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2020-08-24 12:32:34 +00:00
\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Cas de covid en mars}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Ci-contre, un tableau reportant le nombre de cas cumulé de Covid autour du début du mois de mars 2020.
\begin{enumerate}
\item Représenter les données du tableau avec un nuage de points (jour en abcisse et nombre de cas en ordonnée).
\item À partir des données du tableau, faire une estimation du nombre de cas pour le 2 mars puis pour le 10mars.
\item Au 16mars, on dénombrait 6633 cas. Que pensez-vous de votre estimation?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|l|c|}\hline%
\bfseries Jour & \bfseries Nombre de cas
\csvreader[head to column names]{./covid_0226_0301.csv}{}%
{\\\jours & \cas}%
\\\hline
\end{tabular}
\smallskip
\textbf{Document:} Nombre de cas cumulé de covid
\end{minipage}
2020-08-24 12:32:34 +00:00
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Modèle de propagation de l'épidémie, R0}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}]
Pour suivre un épidémie, un paramètre important est $R0$. Ce nombre décrit le nombre de personne que l'on risque d'infecter si l'on est malade.
\begin{enumerate}
\item Supposons que $R0$ soit égal à 2. C'est à dire que chaque personne malade risque de transmettre le virus à 2 autres personnes en une journée.
\begin{enumerate}
\item Supposons qu'au premier jour, il y ai 10 personnes malades. Combien seront malade le deuxième jour? Le 3e? et le 10e?
\item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour.
\item (*) Trouver une formule pour calculer le nombre de malades au 100e jour.
\item (*) En combien de jours, l'épidémie aura touchée plus de 1000 personnes?
\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que $R0 = 1,2$ et qu'il y a 20 malades au premier jour.
\begin{enumerate}
\item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour?
\item Combien de peronnes seront malade après 1 moi (31jours)?
\end{enumerate}
\item Finalement, on suppose que $R0 = 0.8$ et qu'il y a 100 malades.
\begin{enumerate}
\item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour?
\item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour.
\end{enumerate}
\item (*) Comment se comporte l'épidémie suivant la valeur de $R0$?
\end{enumerate}
\end{exercise}
2020-08-24 12:32:34 +00:00
\begin{exercise}[subtitle={Calculs et reconnaissance}, step={2}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Techniques}]
Pour les suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_{10}$ puis reconnaître la nature de la suite.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_0 = 1$
\item $u_{n+1} = -2 + u_n$ et $u_0 = 100$
\item $u_{n+1} = 3u_n$ et $u_0 = 1$
\item $u_{n+1} = 0.5u_n$ et $u_0 = 10$
\item $u_{n} = 2n + 5$
\item $u_{n+1} = 0.5n - 1$
\item $u_{n+1} = 2u_n-5$ et $u_0 = 10$
\item $u_{n} = 0.3\times 4^n$
\item $u_{n+1} = 2u_n - n + 2$ et $u_0 = 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Calculs encore!}, step={2}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Techniques}]
Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_{10}$ pour les suites suivantes
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(u_n)$ suite arithmétique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r = -0.1$
\item $(v_n)$ suite géométrique de premier terme $u_0=100$ et de raison $q = 5$
\item $(w_n)$ suite arithmétiques de premier terme $u_0=1$ et de raison $r = 5$
\item $(x_n)$ suite géométrique de premier terme $u_0=100$ et de raison $q = 0.1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Continuer la suite}, step={2}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Techniques}]
\begin{enumerate}
\item À partir des premiers termes, identifier la nature de la suite puis calculer les 2 termes suivants
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_0 = 4$, $u_1 = 8$, $u_2 = 12$, $u_3 = 16$
\item $u_0 = 5$, $u_1 = 15$, $u_2 = 45$, $u_3 = 135$
\item $u_0 = 140$, $u_1 = 210$, $u_2 = 315$
\item $u_0 = 140$, $u_1 = 210$, $u_2 = 280$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Proposer une méthode pour identifier les suites arithmétiques.
\item Proposer une méthode pour identifier les suites géométriques.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}