2020-2021/TST/01_Derivation/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Une grande piscine}, step={1}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Tache complexe}]
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        On veut construire une piscine rectangle la plus grande possible sur un terrain triangulaire.

        \vspace{1cm}

        Où placer la piscine? Quelles seront ses dimensions?
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
            \draw (0, 0) -- node [midway, above, rotate=90] {3m}
            (0,3) -- 
            (5, 0) -- node [midway, below] {5m} cycle;
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Tableaux pour décrire les fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}]
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}

    Ci-contre, le graphique d'une fonction.

    \begin{enumerate}
        \item Décrire ce graphique avec un tableau de signes.
        \item Décrire ce graphique avec un tableau de variations.
        \item (*) Décrire votre méthode pour construire un tableau de signes à partir du graphique.
        \item (*) Décrire votre méthode pour construire un tableau de variations à partir du graphique.
    \end{enumerate}
        
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-5,ymax=3,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \draw (-4, 1) node [above left] {$\mathcal{C}_f$};
        \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,1) (-4,0) (-3, -3) (-2, -1) (-1, -3) (0, -4) (1, -2.5) (2, 0) (3, 1) (4, 0) (5, 2) };
    \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Faire des tableaux}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}]
    Pour toutes les fonctions ci-dessous, tracer le tableau de signes puis le tableau de variations.

    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item 
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.5]
                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=3,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,2) (-4,-2) (-3, -3) (-2, -2) (-1, 0) (0, 0) (1, -2.5) (2, 0) (3, 2) (4, 1) (5, 2) };
                    \draw (-4, 1) node [above left] {$\mathcal{C}_f$};
                \end{tikzpicture}
            \item  $h(x) = x^3 - 2x + 1$
            \item  $i(x) = -2(x-2)(x+1)(x+2)$
        \columnbreak
            \item 
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.4]
                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \draw (-4, 1) node [above left] {$\mathcal{C}_g$};
                    \tkzFct[color=red,very thick]%
                    { x*cos(x*pi/2) };
                \end{tikzpicture}
            \item (sti2d) $\qquad j(x) = \cos(x)$
            \item (sti2d) $\qquad k(x) = \sin(x)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Du tableau au graphique}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}]
    Tracer des graphiques qui correspondent aux tableaux suivants

    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item 
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/1}{-3, 1, 0, 5 }
                    \tkzTabVar{ +/4, -/3, +/0, -/-1}
                \end{tikzpicture}
            \item 
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ z(t) $/1}{-5, -1, 3, 4, $+\infty$}
                    \tkzTabLine{, +, z, -, z, -, z, + , }
                \end{tikzpicture}
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Signe -> Variations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Technique}]
    Tracer le tableau de signes et le tableau de variations pour les fonctions représentée en dessous puis trouver un lien entre les tableaux des fonctions et celui de leur dérivée.

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.6]
                    \tkzInit[xmin=-6,xmax=6,xstep=1,
                    ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \tkzFct[domain = -6:6,color=red,very thick]%
                    {0.1*(4*x**3 - 9*x**2 - 12*x +  8)}
                    \draw (-5, 1) node [above right, color=black] {$\mathcal{C}_{f}$};
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \hspace{0.5cm}
            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.6]
                    \tkzInit[xmin=-6,xmax=6,xstep=1,
                    ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \tkzFct[domain = -6:6,color=red,very thick]%
                    {0.1*(12*x**2-18*x-12)}
                    \draw (-5, 1) node [above right, color=black] {$\mathcal{C}_{f'}$};
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
        \item 
            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.6]
                    \tkzInit[xmin=-6,xmax=6,xstep=1,
                    ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \tkzFct[domain = -6:6,color=red,very thick]%
                    {(x+5)*(x+2)*(x-1)*(x-2)/25}
                    \draw (-5, 1) node [above right, color=black] {$\mathcal{C}_{g}$};
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \hspace{0.5cm}
            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.6]
                    \tkzInit[xmin=-6,xmax=6,xstep=1,
                    ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \tkzFct[domain = -6:6,color=red,very thick]%
                    {(4*x**3+12*x**2-18*x-16)/25}
                    \draw (-5, 1) node [above right, color=black] {$\mathcal{C}_{g'}$};
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={$f$ -> $f'$}, step={3}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Technique}]
    Dériver les fonctions suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = x^3 + x$
            \item $g(x) = 4x^3 - 2x + 4$
            \item $h(x) = 10x + 4 - 2x^2$

            \item $i(x) = -0.3x^3 - 2x + 2$
            \item $j(x) = -5x^3 - 2x + x + 3$
            \item $k(x) = \dfrac{5}{6}x^3 - 2x + \dfrac{1}{2}$

            \item $i(x) = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{4}{9}x^3 + 10$
            \item $j(x) = (0.2x + 2)(0.1x - 10)$
            \item $k(x) = (2x + 1)(x-3)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={$f'$ -> tableau de signe}, step={3}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Technique}]
    \begin{enumerate}
        \item Résoudre les inéquations suivantes et faire une phrase pour décrire les solutions.
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $2x + 4 > 0$
                    \item $5x + 15 < 0$

                    \item $-2x + 3 > 0$
                    \item $-x - 4 < 0$

                    \item $\dfrac{2}{3}x + 5 \geq 0$
                    \item $6x + 15 \leq 5x$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}

        \item Tracer les tableaux de signes des fonctions suivantes
            \begin{multicols}{3}
            \begin{enumerate}
                \item $f(x) = 2x + 4 $
                \item $g(x) = 5x + 15$

                \item $h(x) = 3x - 12$
                \item $i(x) = -15x + 10$

                \item $j(x) = \frac{2}{3}x - 1$
                \item $k(x) = 2 - \frac{6}{5}x$
            \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}



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